方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附解析

1、方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附解析一、选择题2X1.解方程：y23y 10【答案】【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成X=-1-y，代入方程1,得到一个关于y的一元二次方程，求出【详解】y值，进而求X.2X解：X由(2)得:把(3)代入(1)y( 3)(1 y)2y23- X 1原方程组的解是【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法 求解.2.直角坐标系XOy中，有反比例函数 y 8 x0上的一动点P,以点P为圆心的圆X始终与y轴相切，设切点为 A(1) 如图1,0 P运动到与X轴相切时，求 0P2的值.(2) 设

2、圆P运动时与X轴相交，交点为 B C,如图2,当四边形ABCP是菱形时， 求出A、B、C三点的坐标. 设一抛物线过 A、B C三点，在该抛物线上是否存在点Q,使QBP的面积是菱形 ABCP1面积的一？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由.2(14, 16苗),(8, 23)和(6 , 0).存在，满足【解析】【分析】(1 )当0 P分别与两坐标轴相切时，PAIy轴，PK丄x轴，x轴丄y轴，且PA= PK,进而得出PK2,即可得出OP2的值；(2)连接PB,设AP= m,过P点向x轴作垂线，垂足为 H,贝y PH=J3sin60 BPm , P( m, m )，进而得出答案;

3、2 2 求直线PB的解析式，利用过 A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联 立，列方程组求满足条件的Q点坐标即可.【详解】解：(1)vO P分别与两坐标轴相切， PA丄OA, PK丄OK./ PAO=/ OKP= 90又/ AOK= 90/ PAO=/ OKP=/ AOK= 90四边形OKPA是矩形.又 AP=KP,四边形OKPA是正方形，.OP2= OK2+ pk2= 2PK?OK= 2xy= 2x8316/3 ；(2)连结BP,则AP=BP,由于四边形 ABCP为菱形，所以 AB= BP= AP, AABP为正三角形, 设AP= m,过P点向x轴作垂线，垂足为 H,则 PH=s

4、in60 BP 亟 m , p (m，血2 2将P点坐标代入到反比例函数解析式中，则m2= 85/3 ,2解得：m = 4,( m=- 4舍去)，故 P (4, 2 眼),则 AP= 4, OA= 2 胎,OB= BH= 2, CH= BH= 2,0);故 A (0, 2 苗),B (2, 0), C( 6, 设过A、B、C三点的抛物线解析式为週6 ,迟2品,3I抛物线于点Q ,y= a (X 2)( X 6),将A点坐标代入得，a故解析式为y x26过A点作BP的平行线则Q点为所求.设BP所在直线解析式为：y= kx+d,2k则4k解得:J3x 2J3，直线I与抛物线的交点是方程组故BP所在

5、的直线解析式为：y J3x同理，过C点作BP的平行线交抛物线于点 则设其解析式为：y J3x+e,则 故其解析式为：y J3x-63 ,0 = 6/3Qi,e,解得:e=- 6 73 ,y返2xW3x2/363的解，y73x2/3Xi0x214解得:yi243y 1673故得Q (0 ,2/3),Q (14 , 163),故直线I的解析式为y其直线与抛物线的交点是方程组75 一x63Tax 6/3可求得Qi (8, 273) 和(6, 0).故所求满足条件的 Q点有(0, 2/3 ),( 14, 163),( 8, 2J3 )和(6, 0).本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和

6、正方形的判定以及菱形的性质 等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题.3.已知A, B两地公路长300km，甲、乙两车同时从 A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A地相距105km的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往B地(取货物的时间忽略不计)，结果两下车同时到达B地，两车的速度始终保持不变，设两车山发X小时后，甲、乙两车距离 A地的路程分y1(km)和y2(km).它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR.求乙车从A地到B地所用的时问；求图中线段PQ的解析式(不要求写自变量的取值范围)；x=，两车相距25千米的路程.别为(1)(2

7、)【解析】67(3)30(1 )由图可知，求甲车 2小时行驶了A地到B地所花时间；即可求出乙车从求甲车从知，求出线段PQ的解析式；(3)由路程，速度,(1)解：由图知，甲车 2小时行驶了 180千米,77h30180千米的速度，甲车行驶的总路程，再A地到B地所用的时间；(2)由题意可 时间的关系求出X的值.其速度为180 290 (km/h )甲车行驶的总路程为：2 180 105 300 450 (km)甲车从A地到B地所花时间为：450 90 5 ( h)又.两车同时到达B地，乙车从A地到B地所用用的时间为 5h.5（h）, 2-6把(2, 180)和（105,1801717 ）代入得：6

8、 1082k17kb，解得 k 90, b 360， b线段PQ的解析式为y90x 360.点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意, 用数型结合的思想解答问题.找出所求问题需要的条件，利4.解方程组:2X2X2x*2*【答案】xiX2X3y2*3X4*425(2)由题意可知，甲返回的路程为180 105 75 ( km)，所需时间为75 90-61717. Q点的坐标为(105, ).设线段PQ的解析式为：* kx b , 6*1【解析】试题分析:变形方程组中的方程组即可.得两个元一次方程，与组中的联立得方程组，求解2试题解析：解:X 2x*2 2X *由得：（X- *） 2=9X

9、- *=- 3所以X- *=3与联立得:35,X解方程组2X5，得:X1X2*1*2X解方程组2X*23 , 得:5X3X4所以原方程组的解为:X1*3*421, *2X2X32x41*31*4 2点睛：本题考查了二元二次方程组的解法, 变形组中的一个二次方程为两个一元由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用 次方程用代入法求解.5.解方程组:xy2x y2y23X2【答案】原方程组的解为y2y26535【解析】分析：由得出(x+y)(x-2y) =0,即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可.2x2x y=3由得：(x+y)详解:xy 2y2=0 (x-2y) =0,x+y=0, x

10、-2y=0,即原方程组化为2xy=0y=3，2x2y=0y=3，解得：y2y2即原方程组的解为XiX2y2y253 .5点睛：本题考查了解高次方程组, 解此题的关键.运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是6.如图，已知抛物线 y= ax2+bx+1经过A (- 1, 0), B (1, 1)两点.(1 )求该抛物线的解析式；(2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线11： y= k1x+b1 (k1, b1为常数，且k1M0 ,直线l2： y =k2x+b2 (k2, b2为常数，且 k2M0，若 l1 丄l2，贝u k1?k2=- 1.解决问题： 若直线y= 2x- 1与直线y=

11、 mx+2互相垂直，则 m的值是_; 抛物线上是否存在点 P,使得ARAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方(不与 A, B重合)，求点 M到直线AB的距离的最大值.AjQ1 1 1I答案】(1)尹巧2)方；点P的坐标(6，- 14)(4，- 5)；(3)並.5【解析】【分析】(1 )根据待定系数法，可得函数解析式；(2) 根据垂线间的关系，可得 PA PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；(3) 根据垂直于X的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ，根 据三角形的面积，可得二次函数

12、，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值【详解】(1)将A, B点坐标代入，解:0(1)1(2)解得12121X22(2) 由直线y= 2x- 1与直线y= mx+2互相垂直，得抛物线的解析式为y=2m =- 1,即 m =-2故答案为-1;21-X2当PA丄AB时，PA的解析式为y=- 2x- 2,AB的解析式为y1 21,y x X1联立PA与抛物线，得y22y 2x 2x 1y 14解得(舍)，y 0即 P (6, - 14)当PB丄AB时，PB的解析式为y=- 2x+3,联立PB与抛物线,1 2 y 2xy 2x1x 123解得(

13、舍)(4,-5),综上所述:PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标(6,- 14)( 4, - 5)；1 1MQ =- t2+ 2 21 (-3 ).22 2 2= -1t2+1,2 2当t = 0时，S取最大值-，即M (0, 1).2由勾股定理，得设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得点M到直线AB的距离的最大值是25【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程 组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键7.解方程组:y 6,3xy 2y20.【答案】yi4,2；X23,y2 3.【解析】【分析】先对x2-3xy+2

14、y2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成两个二元一次方程组，解之即可.【详解】将方程x2 3xy2y20的左边因式分解,得 x 2y 0或 x y 0 .原方程组可以化为y2y60或6,0.解这两个方程组得Xiyi4,2；X2y23,3.所以原方程组的解是Xiyi4,2；3, y23.X2【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键.33沿x轴翻折后，与x轴交于点A,与yy=-x- &如图，在平面直角坐标系中，直线I:422 ,与y轴交于点D,与直线 AB交于点 E点F （点F在点y = -X-h轴交于点B,抛物线 3E的右侧）.(3)如图，在(2)的条件下，

15、过F作FH丄x轴于点G,与直线I交于点H,在抛物线上是 否存在P、Q两点(点P在点Q的上方)，PQ与AF交于点M，与FH交于点N,使得直线P、Q的坐标，右不存在，请【答案】；(3)1, 3 ),( 3, 0)PQ既平分AFH的周长，又平分 AFH面积，如果存在，求出 说明理由.【解析】【分析】3V X(1) 设直线AB的解析式为y=kx+b,先求出直线4 2与x轴、y轴交点坐标，根据 沿x轴翻折，得到 A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线 AB的解析式y=kx+b，即可求出 直线AB的解析式；(2) 设抛物线的顶点为 P (h, 0),得出抛物线解析式为：2 ,242 ,yx -hx + -h

16、3 333 ,根据dF/ x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线 AB的解析式即可求出 h的值，即可得到答案；(3) 过 M 作 MT 丄 FH 于 T,得到 RtAMTF RtAGF,得到 FT: TM : FM=FG: GA: FA=3:4: 5，设FT=3k, TM=4k, FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出 AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线 MN的解析式为:6 12十1、N (6, -4)，代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线4 + 4 v =3 和3的解即可得出P、Q的坐标.式，解由方程【详解】(1)解：设直线 AB的解析式为y=kx+b3

17、3y =X 直线 42与X轴、y轴交点分别为(-2, 0),( 0,33y 直线42,直线AB与X轴交于同一点(-2, 0)32)与点B关于X轴对称 A (-2, 0).与y轴的交点(0, 3 B (0，血，f-2fe + Z=03g-3解得 k=4, b = 43 3 y = -x + -4 2直线AB的解析式为(2)解：设抛物线的顶点为 Q ( h,2 , 2 y=(疋-血)上=TX 抛物线解析式为：补32h23).点F ( 2h,i2 -h23),又点F在直线AB上,-33 - 4=-2A2 = 3解得hi=3, h2= 4MNF 和y=kx+b,把MN的解析32 ),沿x轴翻折,0),

18、742 ,33(舍去)，2 2 .y=(jt - 3)2 = -” - 4x + 6抛物线的解析式为33(3)解：过M作MT丄FH于T, RtAMTFs RSGF. FT: TM: FM=FG: GA: FA=3: 4: 5, 设 FT=3k, TM=4k, FM=5k,贝U FN=2AH+HF+AF)-FM=16-5k, Smnf=2(AH+HF+AF)-FM=16-5k,又T SMNF= 2SZAFH.(16-$町4片=24,6I解得k= =5或k=218FT尽, FM=6,(舍去)，24MT= S , GN=4,12TG帀,612 6M (5,离）、N （6, -4），代入得：k+b 且

19、-4=6k+b,4解得：k= 3,4b=4,y =3x+4,4=联立y=3x+4与y=8求得 P (1, $1), Q (3,0).8Q的坐标是（3, 0）.本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二 元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行 计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度.X y 6129.解方程组:2 2X 3xy 10y0【答案】Xiyi【解析】【分析】先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可.【详解】解： 2XX y 63xy 10y20由得:X 2y

20、X 5y 0原方程组可化为X y 6X 2y 0X y 6X 5y 0解得：*12* 6原方程组的解为X112* 6X-,5y11【点睛】本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键.10.解方程组:2x 3y 5, X2 2xy 3y20.X2【答案】yiy2【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二 元一次方程组，分别解方程组即可.【详解】由得:X y X 3y 0 ；所以，Xy 0 或 X 3y 0 ；整理得:2x 3y 5 2x 3y 5或X y 0 X 3y 05X 1x解得：或y 1y所以，原方程组的解为X1 1y1

21、 1X255 ；y2【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法, 关键.能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的11.解方程组:xy222y 0【答案】X1X2【解析】【分析】2注意到xy2y2可分解为?c-y)iU-2yj,从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解【详解】解：由X2xy2y22y0，即 x y 0 或 x 2y 0 ,原方程组可化为y2y原方程组的解为X1y1;解y2y12.解方程组:X2y26xy 9y24(1)X 2y 3(2)X15X213或*1y25【答案】【解析】【分析】先将中的X2-6xy+9y 2分解因式为：(x-3y)，则x-3y= 2与组合成两个方程

22、组,解出即可【详解】x3y -2解：由，得（X-X- 3y= 23y) 2= 4,原方程组可转化为:322y 3解得X11X22所以原方程组的解为:13XiX213yi2【点睛】此题考查二元二次方程组的解,解题关键在于掌握运算法则13.解方程组:2x2X2(xy)【答案】X111,1X2X323123点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法,解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第【解析】分析：转化为两个一次方程，再分别和第一方程把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解 详解：由方程X2 y22(x)可得，X 0, X则原方程组转

23、化为2x2解方程组（I）得解方程组（n）得原方程组的解是1X33X,1,1;1,1;1,1;3,0.X22X44X2(I)或3J232125232,322xX312,523,2.(n)，2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；(2)将两个新的方程组消去 y，即可得到关于 X的一元二次方程.14.解方程组:X y 42X xy【答案】yi【解析】【分析】x的值，得方程组的解.把X y= 4变形为用含X的代数式表示y，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次 方程求出【详解】解:X2Xy 4xy 8由得,y=4- X 把代入，得X2- x(4- x)

24、= 8整理，得 x2-2x-4= 0解得：Xi=i J5, x2=i-J5 ,把x=i代入，得（1 V5）=&75 ；把x=i-J5代入，得丫2=牟（Z5）=3 75 ；所以原方程组的解为:Xiy1y21 753 45【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法,代入法是解决本题的关键y X15,x2xy 2【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数 y，求出未知数X的值后，进而求得这个方程组的解.【详解】 解：由得：y X 1把代入，得2x2 x(x 1)2整理得：0,解得X|1 ,X2当Xi1 时，yi当x22 时，y2原

25、方程组的解为X11X2y10y2【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是 次”、消元”将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组.转化”即通过降2X16. 2X3xy 4y24xy 4y2X1【答案】y12316X2y22316X31X41y31 ，y41【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二 元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可.【详解】4y24y22解:X 3xy X2 4xy将因式分解得:(X4y)(xy) X4y 0或 X将因式分解得:2y 1或(X2y2y)21

26、原方程化为:4y2y解这些方程组得:X1y123丄6X2y24y2y2316X3y3X y 0X 2y 1X4y4X y 0X 2y 1原方程组的解为:【点睛】Xiyi2316y22316% 1Ya1x41Y41本题考查了二元二次方程组的解法, 方程组.解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个17. (1)解方程组:xy2y2(2)解方程组:x y151 12x y2 6x y【答案】(【解析】【分析】(1 )由 x别求出对应的2 丄；(2)21213将其代入xy 2y20求出y的值，再根据y的值分x的值即可;1(2 )设x y程组，再求出x,【详解】y即可.解：(1)由x1得:1代入x2xy整理得:-22y y解得：y1或y=-2将y 1代入x y1将y=-2代入x故原方程组的解为:-B，方程组变形后求出A,y2y2B的值，然后得到关于 x, y的方y 1,y 2y20 ,1(2 )设x y1则原方程组变为:5A B 1215A 2B 6，A解得：B6x 6y 51x y 61x 2解得：1y 1x经检验，12是方程组的解.13【点睛】本题考查了解二元二次方程组