新课标必修4同步训练3平面向量的数量积

1、新课标必修4同步训练3平面向量的数量积一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的 括号内.)1. 设i, j是互相垂直的单位向量，向量a= (m + 1)i 3j, b = i+ (m 1)j, (a+ b)丄(a b)，则实数m的值为()B. 21D.不存在C. 2解析：由题设知：a= (m+ 1， 3), b= (1, m 1), a+ b= (m+ 2, m-4),a b= (m, m 2).(a + b)丄(a b), (a + b) (a b)= 0, m(m + 2) + (m 4)( m 2) = 0,解之得m= 2.故应选A.答案：A2. 设

2、a, b是非零向量，若函数 f(x)= (xa + b) (a xb)的图象是一条直线，则必有 ()B. a/ bC. |a|=|b|D. |a|M |b|解析：f(x) = (xa + b) (a xb)的图象是一条直线,即f(x)的表达式是关于x的一次函数.而(xa + b) (a xb)= x|a|2 x2a b + a b x|b|2,故a b = 0,又/ a, b为非零向量, a丄b,故应选A.答案：A3. 向量a = ( 1,1)，且a与a+ 2b方向相同，则a b的范围是()A . (1,+s ) B. ( 1,1)C. ( 1 ,+8 ) D. ( s, 1)解析：/ a与a

3、+ 2b同向,可设 a + 2b=入 a 0),则有 b=ya，又 |a|=p 12 +12 =羽,11 2 11- a b= 2 |a| = 2 X 2 = 11 1, a b的范围是（一1+ 8），故应选C.答案：C4.已知 ABC 中，AB =a,AC =b, a b0 , Saabc=乎,|a|= 3, |b| = 5,则/ BAC 等于()B . - 150C. 150D . 30 或 1507115解析：/ Saabc = 2|a|b|sin/ BAC = , sin/ BAC = 1,又a b 2. OA(OB +OC)的最小值为一2.答案：2三、解答题：（本大题共3小题，11、

4、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步11. 已知旧|=72, |b|= 1, a与b的夹角为45 求使向量（2a +入b与（a 3b）的夹角是 锐角的入的取值范围.解：由旧|=2, |b|= 1, a与b的夹角为45则 a b = |a|b|cos45 =72 1爭=1.而(2a + b (入 a 3b) = 2 入 a 6a b + a b 3 Xb=入+ 6.设向量（2a +入b与（入a 3b）的夹角为 0,(2a + 入 b (入 a 3b)贝y cos 0=0，且 cos 0M 1,|2a + 入 b 入 a 3b| (2a +入 1(入 a 3b)0 , +- 60, ?

5、2 或 X 3.假设 cos 0= 1,则 2a + 入=k(入3b)(k0),I 入=3k,2 2解得k23.故使向量2a +入1和入a3b夹角为0勺入不存在.所以当 2或 k 3时，向量（2a +入b与（入a 3b）的夹角是锐角.a b评析：由于两个非零向量a,b的夹角0满足180所以用cos0=丽去判断0cos 0= 1, 0= 180 cos 00且cos 0* 1, 0为锐角.12.设在平面上有两个向量a = （cos a sin a（0M a360 ),b= (1 当（1）求证：向量 a + b与a b垂直；a的大小.当向量 逅a+ b与a-（3b的模相等时，求解：(1)证明：因为

6、(a + b) (a b)=旧|2卜|2 = (cos2a + sin2 a)已+= 0，故 a+ b 与 a一 b垂直.由 n/3a+ b|=|a73b|，两边平方得 3a f + /sa b+ |b|2= |a|2 3a b+ 3|b|2, 所以 2(|a|2 |b|2) + 4屈 b= 0，而 |a|= |b|,所以 a b = 0,则(罗 cosa+爭 sin a= 0,即 COS(a+ 60 = 0, a+ 60 = k 180 + 90即 a= k 180 + 30 k Z ,又 0 a360 贝U a= 30或 a= 21013.已知向量 a = (cos(氛 si n( 0), b =仙si ng朋 (1)求证：a丄b;若存在不等于0的实数k和t,使x= a + (t2+ 3)b, y= ka+ tb满足x丄y，试求此时宇的最小值.解：(1)证明：/ a b= cos( 0 cosg 0+ sin( 0) si ng- 0= si n0cos0- sin 0cos 0= 0. a 丄 b.由X丄y,得x y = 0,即a + (t2 + 3)b (- ka+ tb)= 0, ka2 + (t3+ 3t)b2 + t k(t2 + 3)a b = 0, k|a|2 + (t3 + 3t