方程与不等式之二元二次方程组知识点训练含答案

1、方程与不等式之二元二次方程组知识点训练含答案一、选择题2X1.解方程：y23y 10【答案】【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成X=-1-y，代入方程1,得到一个关于y的一元二次方程，求出【详解】y值，进而求X.2X解：X由(2)得:把(3)代入(1)y( 3)(1 y)2y23- X 1原方程组的解是【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法 求解.2.直角坐标系XOy中，有反比例函数 y 8 x0上的一动点P,以点P为圆心的圆X始终与y轴相切，设切点为 A(1) 如图1,0 P运动到与X轴相切时，求 0P2的值.(2) 设圆

2、P运动时与X轴相交，交点为 B C,如图2,当四边形ABCP是菱形时， 求出A、B、C三点的坐标. 设一抛物线过 A、B C三点，在该抛物线上是否存在点Q,使QBP的面积是菱形 ABCP1面积的一？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由.2(14, 16苗),(8, 23)和(6 , 0).存在，满足【解析】【分析】(1 )当0 P分别与两坐标轴相切时，PAIy轴，PK丄x轴，x轴丄y轴，且PA= PK,进而得出PK2,即可得出OP2的值；(2)连接PB,设AP= m,过P点向x轴作垂线，垂足为 H,贝y PH=J3sin60 BPm , P( m, m )，进而得出答案;2

3、 2 求直线PB的解析式，利用过 A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联 立，列方程组求满足条件的Q点坐标即可.【详解】解：(1)vO P分别与两坐标轴相切， PA丄OA, PK丄OK./ PAO=/ OKP= 90又/ AOK= 90/ PAO=/ OKP=/ AOK= 90四边形OKPA是矩形.又 AP=KP,四边形OKPA是正方形，.OP2= OK2+ pk2= 2PK?OK= 2xy= 2x8316/3 ；(2)连结BP,则AP=BP,由于四边形 ABCP为菱形，所以 AB= BP= AP, AABP为正三角形, 设AP= m,过P点向x轴作垂线，垂足为 H,则 PH=si

4、n60 BP 亟 m , p (m，血2 2将P点坐标代入到反比例函数解析式中，则m2= 85/3 ,2解得：m = 4,( m=- 4舍去)，故 P (4, 2 眼),则 AP= 4, OA= 2 胎,OB= BH= 2, CH= BH= 2,0);故 A (0, 2 苗),B (2, 0), C( 6, 设过A、B、C三点的抛物线解析式为週6 ,迟2品,3I抛物线于点Q ,y= a (X 2)( X 6),将A点坐标代入得，a故解析式为y x26过A点作BP的平行线则Q点为所求.设BP所在直线解析式为：y= kx+d,2k则4k解得:J3x 2J3，直线I与抛物线的交点是方程组故BP所在的

5、直线解析式为：y J3x同理，过C点作BP的平行线交抛物线于点 则设其解析式为：y J3x+e,则 故其解析式为：y J3x-63 ,0 = 6/3Qi,e,解得:e=- 6 73 ,y返2xW3x2/363的解，y73x2/3Xi0x214解得:yi243y 1673故得Q (0 ,2/3),Q (14 , 163),故直线I的解析式为y其直线与抛物线的交点是方程组75 一x63Tax 6/3可求得Qi (8, 273) 和(6, 0).故所求满足条件的 Q点有(0, 2/3 ),( 14, 163),( 8, 2J3 )和(6, 0).本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正

6、方形的判定以及菱形的性质 等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题.3.已知A, B两地公路长300km，甲、乙两车同时从 A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A地相距105km的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往B地(取货物的时间忽略不计)，结果两下车同时到达B地，两车的速度始终保持不变，设两车山发X小时后，甲、乙两车距离 A地的路程分y1(km)和y2(km).它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR.求乙车从A地到B地所用的时问；求图中线段PQ的解析式(不要求写自变量的取值范围)；x=，两车相距25千米的路程.别为(1)(2)

7、【解析】67(3)30(1 )由图可知，求甲车 2小时行驶了A地到B地所花时间；即可求出乙车从求甲车从知，求出线段PQ的解析式；(3)由路程，速度,(1)解：由图知，甲车 2小时行驶了 180千米,77h30180千米的速度，甲车行驶的总路程，再A地到B地所用的时间；(2)由题意可 时间的关系求出X的值.其速度为180 290 (km/h )甲车行驶的总路程为：2 180 105 300 450 (km)甲车从A地到B地所花时间为：450 90 5 ( h)又.两车同时到达B地，乙车从A地到B地所用用的时间为 5h.5(h), 2-6把(2, 180)和(105,18017)代入得：6 108

8、2k17kb，解得 k 90, b 360,b线段PQ的解析式为y90x 360.(3)30 h或 30点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意, 用数型结合的思想解答问题.找出所求问题需要的条件，利4.解方程组:xy2y2【答案】【解析】【分析】先将第二个方程分解因式可得:x-2y=0或x+y=0,分别与第一个方程组成新的方程组，解5(2)由题意可知，甲返回的路程为180 105 75 ( km)，所需时间为75 90-61717. Q点的坐标为(105, ).设线段PQ的解析式为：y kx b , 61xx212出即可.【详解】解： 2xy x 1x 2y20由得:(X- 2y)

9、( x+y) =0x- 2y=0 或 x+y=0y原方程组可化为yx2y10,解得原方程组的解为原方程组的解是为1212【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次 的目的.5 .计算:7x（1）旷27朋2（2）解方程组:3x 5y 34x10y 6（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来:【答案】（1）(3)6x2x1173x 4【解析】2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再【分析】（1）先求开方运算，再进行加减;在数轴上表示解集-【详解】解：（1）原式=-3+4-=23x 5y34x 10y 6 X 2+，得x=03把x=0代入式y=-5所以

10、，方程组的解是6x 2(3) 2x 13x由式得,由式得,11XV 所以，不等式组的解集是117把解集在数轴上表示:3-2-1201 1123Ji解题关键点：掌握相关【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组 解法.6.如图，已知抛物线 y= ax2+bx+1经过A (- 1, 0), B (1, 1)两点.(1 )求该抛物线的解析式；(2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线11: y= k1X+b1 (k1, b1为常数，且 k10 ,直线l2： y =k2X+b2 (k2, b2为常数，且 k20，若 h丄b，贝U k1?k2=- 1.解决问题： 若直线y= 2x- 1

11、与直线y= mx+2互相垂直，则 m的值是; 抛物线上是否存在点 P,使得ARAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方(不与 A, B重合)，求点 M到直线AB122X+1；( 2)-2 ；点 P 的坐标(6，- 14)( 4，-5)；(3)逅5【解析】【分析】(1 )根据待定系数法，可得函数解析式；(2) 根据垂线间的关系，可得 PA PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；(3) 根据垂直于X的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ，根 据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的

12、性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值【详解】(1)将A, B点坐标代入，得解：b 10(1)b 1 1(2)，a解得丄212抛物线的解析式为y=(2)由直线y= 2x-1 2x21与直线y= mx+2互相垂直，得2m =- 1,1即 m =-2故答案为-1212当PA丄AB时，PA的解析式为y =AB的解析式为y-2x- 2,联立PA与抛物线，得1 2x22xlx 122解得1 （舍）,0614，（6,- 14）即P当PB丄AB时，PB的解析式为y=- 2x+3,联立PB与抛物线,1y 2x y 2x1x 123解得（舍）（4,-5),PAB是以AB

13、为直角边的直角三角形，点P的坐标(6,- 14)( 4, - 5);即P综上所述:b1 1 1 1M (t，-尹尹1)，Q(t，齐+2)，1 1MQ = t2+ 2 21SZMAB = MQ|x B - xa|=1 (- 1t2+1 ) X22 2 2=-1t2+1 ,2 2当t = 0时，S取最大值1，即M (0, 1).2由勾股定理，得AB= J22 12 =5/5 ,设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得点M到直线AB的距离的最大值是 並5【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程 组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的

14、关键7. 解方程组:2 2x +2y -101 01【答案】：x1X2-13y10 2y2 -3【解析】【分析】把(2)変形后代入(1)便可解得答案【详解】x2+2y2-10x y 10由得:x=y-1y1代入得：y2x分别代入得：%故原方程组的解为:X1X2y21323【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则8. 解下列方程组:2x(1) 2x206y22y5xy7,(2) x y11.【答案】（XiX2X3X4yiy2y3y43/2运；（2）112512【解析】【分析】（1）把原方程组化为:x22y2y20x22y3y20再分别解这两个方程组可得答案.0（2）把两个方程相加得y

15、-2，再代入求得xy-，联立求解并检验可得答案.3【详解】2x解：（1）因为 2x2y5xy206y20把 x2 5xy 6y2 即x 2y 0或x0化为：(x- 2y)(x- 3y) =0 ,3y 0原方程组化为:x22；2 020或2yx 3yx2202y2y202x因为x把x 2y0化为x2y，把 x2y代入20中,202yx 3y得方程组的解是所以原方程组的解是:xiyi4 X22, y2X3y3342血,X4得y24，所以所以方程组的解是2 x 同理解解：设实际销售运动衣 x套，实际每套运动衣的利润是y元.x y（2）因为 y1所以+得:6，所以x得：xx所以1213，解得:1125

16、12经检验12是原方程组的解,_5_12所以原方程的解是12512【点睛】 本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验 是必须步骤.9. 某商场计划销售一批运动衣 ，能获得利润12000元.经过市场调查后，进行促销活动，由于降 低售价，每套运动衣少获利润 10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多 4000元.求实际 销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元 ？【答案】实际销售运动衣 800套，实际每套运动衣的利润是 20元【解析】【分析】根据计划销售的套数 X划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数 实际每 套运动衣的利润=实际获利

17、12000+4000元；那么可列出方程组求解.【详解】根据题意，可列方程组xy400 y 1012000 400012000解得:X 800y1 20X2y280020 （舍去），答：实际销售运动衣【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是 否符合题意，舍去不合题意的解.800套，每套运动衣的实际利润20元.X y1710.解方程组30xy【答案】X 2X2y 15y2【解析】【分析】根据第个式子，得出X与【详解】152y的关系，代入第二个式子求解.X y 17 解：，Xy30 由，得x=17+y,把代入式，化简得y2+17y+30=0, 解之，得

18、y1=-15, y2=-2.把 y1=-15 代入 x=17+y,得 X1=2, 把y2=-2代入x=17+y,得X2=15 .故原方程组的解为Xix215yi15y22【点睛】本题考查了二元二次方程的解法,解题的关键是运用代入法得出X、y的值.11.解方程组：X23xyy 34y2 0【答案】X1*4或X2y212【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数 X,得到关于y的一元二次方程，然后用公式法解出y的值，然后计算出X，即可得到方程组的解.【详解】2解：X3xy 4y20y 3X y 3 ， 把代入，得(y 3)2 整理得：6y2 3yb2 4ac 9用求根公式法，得由得:23y(y

19、3) 4y 0，2250,3 72252 6解得:yi=i,y2 Xi4 , X2方程组的解为:XiX2yiy23232【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握 公式法解一元二次方程是解题的关键.12.解方程组:3y 2 04xy 4y29【答案】yiy21351【解析】【分析】可变形为(x+2y) 2 = 9,即卩x+2y= 3或x+2y=-3 .这样原方程由完全平方公式，组中组可变形为关于X、y的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的 解.【详解】x 3y 2 0 x2 4xy 4y29由得：(x+2y) 2= 9,即：x+

20、2y= 3 或 x+2y=-所以原方程组可化为3y 22y 33y2yx解方程组x3y2yXiyix解方程组x3y2yX213原方程组的解是得X1y2X2;得y2132【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题 的关键.2x13.已知a22 y_ b21(a b 0)求证:【答案】mya2b2m2详见解析n m 0,n 02 2y 2mnb yn2a2 b20 .【解析】 【分析】先把式代入式可以去掉X,然后整理y的函数，即可证明.【详解】 证明：把代入，得(my n)22ab2 m2y22mnyn2 a2a2b22. 2 2m b y22mnb yn

21、2b2a2b20,a2 b2m2 2 _ , 2y 2mnb y【点睛】式代入式可以去掉X,然14.(1)解方程组:X2 y2110近X 4y 100)(x 3)(y 2)(X 1)(y 3)(X 3)(y 10)(X 2)(y 12)【答案】(1)19729139(2)【解析】【分析】(1) 将方程组的第二个方程移项、两边平方求出X2，再代入第一个方程可求出y的值,然后将y的最代入第二个方程可求出 X的值，从而可得方程组的解；(2) 将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利 用加减消元法求解即可.【详解】X2 y2110 (1 ) L亠V2x 4y 100由

22、可得：J2x 4y 10两边平方化简得：2x2 (4y 10)2，即X2 8y2 40y 50代入得：9y240y 390，即(y 3)(9y 13)013解得：y 3或y 9将y 3代入得：J2x 12 100，解得：X近将y 代入得：dx 4139100，解得：X故原方程组的解为：y9139本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把 后整理y的函数.2x y 4 3x y 9 (2)(X 3)(y 2) (X 3)(y 10)(X 1)(y 3) (X 2)(y 12)去括号化简得：xy2X 3y 6 Xy 10X 3y 30，即xy 3x y 3 xy 12x 2y 24（1）

23、 y 4，解得：y 6得：5x 5，解得：x 1 将x 1代入得：2x故原方程组的解为y【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键2 x 15.2x3xy 4y24xy 4y2【答案】Xiyi2316X2y22316X31x41y31 ，y41【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二 元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可.【详解】解: x2 3xy 4y2 0x2 4xy 4y21 将因式分解得：（X 4y）（xy) 0, x 4y 0或 x y 0将因式分解得：（X 2y）2

24、1x 2y 1 或 x 2y1x 4y 0x 4y 0xy 0X原方程化为：,Jx 2y 1x 2y1x2y 1X22x13解这些方程组得：3 ,X23X31X4111y3 1y41y1 -6622x13原方程组的解为：3 ,X27V3X31X4111y31y41y1 -y 02y 1【点睛】解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个本题考查了二元二次方程组的解法, 方程组.16解方程组2x2xy10x 2y 6 0答案】x1y113，x2 4y2 9解析】分析】由（ 1）得2x求出对应的yy 值即可1，代入到（ 2）中整理为关于 x 的一元二次方程，求出 x 的值，并分别详解】解： 2 2x y 1 x x 2y01由（ 1），得 y 2x把（ 3）代入（ 2），整理，得 x25x 4 0 ，解这个方程，得 x11,x2把 x1 1 代入（ 3 ），得 y13，把 x2 4 代入（ 3 ），得 y29，所以原方程组的解是x1 1 y1 3x2 4y2 9.【点睛】 本题考查了二元二次方程组的解法， 程是解