高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1_2_1 绝对值不等式 北师大版选修4-5

1、2含有绝对值的不等式 21绝对值不等式,1掌握绝对值不等式的基本定理及其应用，并注意使用的必要技巧与方法 2应用类比的方法发现一般规律，注意数形结合的数学思想方法的应用,学习目标,1含绝对值不等式的两个性质定理的灵活运用(重点) 2含绝对值不等式的恒成立问题或最值问题(重点、难点) 3常与不等式的其他性质一起综合考查(重点) 4多以选择题、填空题形式考查，有时也与函数结合以解答题形式出现,学法指要,预 习 学 案,1绝对值的几何意义 |a|表示数轴上_到_的距离 |ab|表示数轴上_到_的距离 2不等式关于“运算”的基本性质 加法性质：_. 乘法性质：_,表示数a的点,原点,表示数a的点,表示

2、数b的点,abacbc,ab且c0acbc；ab且c0acbc,1绝对值不等式_ ，当且仅当_时，等号成立 2a、b、cR，那么_ 成立，当且仅当_ _时，等号成立,a|b|ab|a|b,ab0且|a|b,abc|a|b|c,a，b，c同号或a，b，c至少有两个为零或a，b,c一个为零，另两个同号,1设ab0，a，bR，那么正确的是() A|ab|ab|B|ab|0，得a，b同号，易知|ab|a|b|，|ab|a|b| |ab|ab|. 答案：A,2“|xa|m，且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的() A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件,解析

3、：|xy|(xa)(ya)|xa|ya| mm2m， |xa|m，且|ya|m是|xy|2m的充分条件 取x3，y1，a2，m2.5，则有 |xy|252m，但|xa|5， 不满足|xa|m2.5， 故|xa|m且|ya|m不是|xy|2m的必要条件 答案：A,3已知|ab|bc；abc；|a|b|c； |a|b|c. 其中一定成立的不等式是_(注：把成立的不等式的序号都填上,解析：由|ab|bc， 所以成立 由|a|b|ab|c得|a|b|c， 所以成立，不成立 答案,4若f(x)x2xc(c为常数)，|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1) 证明：|f(x)f(a)| |(x2

4、xc)(a2ac)| |x2xa2a|(xa)(xa1)| |xa|xa1|xa1| |(xa)(2a1)| |xa|2a1| |xa|2a|112|a|1 2(|a|1) 故原不等式成立,课 堂 讲 义,思路点拨根据绝对值不等式对任意a和b，有 |ab|a|b|再利用不等式的基本性质可得,绝对值不等式定理的应用,答案：A,思路点拨|ab|a|b|是主要依据再由不等式的性质结合函数的特点进行判断,答案：A,思路点拨本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，

5、有|a|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决,含绝对值不等式的证明,思路点拨解答本题可以用推论|a1a2a3|a1|a2|a3,已知a，b，c是实数，函数f(x)ax2bxc，g(x)axb，当1x1时，|f(x)|1. (1)证明：|c|1； (2)证明：当1x1时，|g(x)|2； 思路点拨本题属于绝对值函数，在解题时不仅要用到绝对值不等式，不等式性质以及推论，再结合已知条件，还需适当变形利用绝对值不等式时要注意等号成立的条件，这是关键所在,绝对值不等式的综合应用,解题过程(1)证明：由条件当1x1时， |f(x)|1，取x0，得|c|f(0)

6、|1，即|c|1. (2)证明：当a0时，g(x)axb在1,1上是增函数， g(1)g(x)g(1) |f(x)|1(1x1)，|c|1， g(1)abf(1)c|f(1)|c|2， g(1)abf(1)c(|f(1)|c|)2， 由此得|g(x)|2,当a0时，g(x)axb在1,1上是减函数， g(1)g(x)g(1) |f(x)|1(1x1)，|c|1， g(1)abf(1)c|f(1)|c|2， g(1)abf(1)c(|f(1)|c|)2， 由此得|g(x)|2； 当a0时，g(x)b，f(x)bxc. 1x1， |g(x)|f(1)c|f(1)|c|2. 综上，得|g(x)|2,

7、3设aR，函数f(x)ax2xa(1x1)若|a|1，求|f(x)|的最大值 思路点拨利用绝对值不等式性质定理： |ab|a|b|，通过适当的添、拆项求解,实数的绝对值,定理：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立 法一：用向量a，b代替a，b，当a与b不共线时，由向量的三角形法则，知向量ab，a，b可以构成三角形，这时我们有|ab|a|b|成立它的几何意义是三角形中两边之和大于第三边，当a与b共线，且方向相同时，|ab|a|b|，因此我们有|ab|a|b|，这时有|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立,定理的证明,法三：|ab|a|b|ab|2(|a|b|)2

8、a22abb2a2b22|ab|ab|ab|，由已有知识可知，ab|ab|一定成立，因而我们有|ab|a|b|成立，由于以上各步均是恒等变形，及ab|ab|ab0可知当且仅当ab0时，等号成立,1含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如： |a1a2a3|a1|a2|a3|； |a1a2an|a1|a2|an|； |a|b|ab|a|b|. 在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件,对定理的理解,ab|a|b|(ab0)； |ab|a|b|(ab0)； |a|b|ab|(ab)b0； |a|b|ab|(ab)b0,2这个定理是含有绝对值的不等式中一个非常重要的不等式，证明的最重要的依据是对于一切实数a，b，都有|a|b|a2b2|a|2|b|2. 3注意等号成立的条件是ab0，与以前学习过的不等式有所不同 4定理1还可以变形为|ab|a|b|，等号成立的充要条件是ab0.(请大家利用定理1的证明方