概率论与数理统计及其应用课后答案(浙大版)第2章随机变量及其分布(最新整理)

1、第 2 章 随机变量及其分布习题解答第2章 随机变量及其分布1，解：显然，y 是一个离散型的随机变量，y 取k 表明第k 个人是 a型血而前k - 1个人都不是 a 型血，因此有py = k = 0.4 (1 - 0.4)k-1 = 0.4 0.6k-1 ，（ k = 1,2,3,l） 上式就是随机变量 y 的分布律（这是一个几何分布）。192，解：x 只能取值 0，1，2。设以 ai(i = 1,2,3) 记第i 个阀门没有打开这一事件。则px= 0 = pa1 ( a2 a3 ) = p( a1 a2 ) ( a1 a3 )= pa1 a2 + pa1 a3 - pa1 a2 a3 = p

2、( a1 )p( a2 ) + p( a1 )p( a3 ) - p( a1 )p( a2 )p( a3 )= (1 - 0.8)2 + (1 - 0.8)2 - (1 - 0.8)3 = 0.072 ，类似有px= 2 = pa ( a a ) = p( a a a ) = 0.83 = 0.512 ，12 31 2 3px= 1 = 1 - px= 0 - px= 2 = 0.416 ,综上所述，可得分布律为x012px = k0.0720.5120.4161ab233,解：根据题意，随机变量 x 服从二项分布 b(15, 0.2)，分布律为p( x= k ) = ck 0.2k 0.81

3、5-k ,k = 0,1,2,l15 。15（1） p( x= 3) = c 3 0.23 0.812 = 0.2501,15（2） p( x 2) = 1- p( x= 1) - p( x= 0) = 0.8329 ；（3） p(1 x 3) = p( x= 1) + p( x= 2) + p( x= 3) = 0.6129 ；（4） p( x 5) = 1- p( x= 5) - p( x= 4) - p( x= 3) - p( x= 2)- p( x= 1) - p( x= 0) = 0.06114，解：对于3 / 5g系统，当至少有 3 个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作

4、的元件个数 x 服从二项分布 b(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为5 p( x5= k ) = c 0.9 0.1kk5-k5= 0.99144k =3k =35，解：根据题意，次品数 x 服从二项分布 b(8000, 0.001)，所以p( x 15 = 1 - px 15 = 1 - 0.9513 = 0.0487 ；（2）根据px 0 = 1 - px= 0 = 1 - e-l = 0.5 ，得到l= ln 2 。所以px 2 = 1 - px= 0 - px= 1 = 1 - 0.5 - le-l = (1 - ln 2) / 2 0.1534 。7，解：在给定的一分钟内，任意

5、一个讯息员收到讯息的次数 x p(2) 。（1） px = 0 = e-2 0.1353 ；5（2） 设在给定的一分钟内 5 个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用 y 表示，则 y b(5, 0.1353)，所以py= 4 = c 4 0.13534 (1 - 0.1353) = 0.00145 。（3） 每个人收到的讯息次数相同的概率为 2k e-2 5 32k e-10 k =0 k!= k =0 (k!)5+1k8，解：（1）根据1 = f (x)dx = kx 2dx =，得到k = 3 ；11 / 3-03 1 31（2） px = 3x 2dx = =；30111 / 2 3 27

6、 1 3 1 37（3） p x = 3x 2dx = - =；421 / 421 2 2 3 4 6419（4） px = 3x 2dx = 1 - =。32 / 3 3 279，解：方程t 2 + 2 xt + 5x - 4 = 0 有实根表明d = 4 x 2 - 4(5x - 4) 0 ，即x 2 - 5x + 4 0 ，从而要求 x 4 或者 x 1。因为1px 1 = 0.003x2dx = 0.001，010px 4 = 0.003x 2dx = 0.9364所以方程有实根的概率为 0.001+0.936=0.937. x 110， 解：（1） px 52 =+ x e- x2

7、/ 200 dx = e-2704 / 200 0.000001 ；52100（3） px 26 x 20 = pxx 26 =+ x e- x2 / 200 dx26100= e-276 / 200 0.25158 。px 20+e- x2/ 200 dx2010011，解：（1） px2 1 9 1 =1(4 - x 2 )dx = 5 ；27（2）根据题意y b(10,5 ) ，所以其分布律为27 5 k 22 10-kp(y = k ) = ck ,k = 0,1,2,l1010 27 27 5 2 22 8（3）p(y = 2) = c 2 = 0.2998 ，10 27 27 p(

8、y 2) = 1- p(y = 0) - p(y = 1) = 0.5778 。c+0112，解：（1）根据1 = f ( y)dy = 0.2dy + (0.2 + cy)dy = 0.4 + 2 ，得到c = 1.2-10。0y -1y 0.2dyy-1- 1 y 0f ( y) = f ( y)dy = 0y 0.2dy + (0.2 + 1.2 y)dy-100 y 1 01 0.2dy + (0.2 + 1.2 y)dyy 1-100y -1=0.2( y + 1)2- 1 y 00.6 y+ 0.2 y + 0.210 y 0.5 | y 0.1 = py 0.5 = 1 - py

9、 0.5 = 1 - f (0.5) =1 - 0.45= 0.7106py 0.11 - py 0.11 - f (0.1)1 - 0.22601x 8 dxx 000 x 2x 0（2） f (x) =x02f (x)dx = 1x x x / 8=0 x 288dx +-02dx2 x 4x 2 /162 x 0, y 0+-+c1 = f (x, y)dxdy = dx ce(2 x+4 y ) dy = c e-2 x dx e-4 y dy =，x0, y 000008所以c = 8 。+px 2 = f (x, y)dxdy = dx 8e-(2 x+4 y ) dy = 2e-

10、2x dx 4e-4 y dy = e-4 ；x220+x-20+x+2px y = f (x, y)dxdy = dx8e(2 x+4 y ) dy = 2e-2x dx 4e-4 y dy = 2e-2x (1 - e-4x )dx =x y00000311- x11- xpx + y 1 = f (x, y)dxdy = dx 8e-(2x+4 y) dy = 2e-2x dx 4e-4 y dy = (1 - e-2 )2 。x+ y1000016，解：（1）根据题意，（x，y）的概率密度 f (x, y) 必定是一常数，故由1x216,(x, y) g1 = f (x, y)dxdy

11、 = dx f (x, y)dy =f (x, y) ，得到 f (x, y) = 。g0x2 / 26 x20， 其 他+ 6dy = 3x 2， 0 x 1（2） f x (x) = f (x, y)dy = x2 / 2；0,其 他-2 y 6dx， 0 y 0.5 y+ 16(2 y -y )， 0 y 0.5fy ( y) = f (x, y)dx = 6dx， 0.5 y 1= 6(1 -y )，0.5 y 0 。f x (x)（2）当x 0 时，f (x, y)dy- 0 220,其他f (x, y)xe-xy ,y 0fy | x ( y | x) =特别地，当x = 0.5

12、时f x (x)= 。 0,其他0.5e-0.5 y ,fy | x ( y | x = 0.5) = y 0 。0,其他（3） py 1 | x= 0.5 =+ fy | x ( y | x = 0.5)dy =1+ 0.5e-0.5 y dy = e-0.5 。119，解：（1）根据公式py = i | x= 0 = py = i, x= 0 ，得到在 x= 0 的px= 0条件下y 的条件分布律为y012py | x = 05/121/31/4类似地，在y = 1 的条件下 x 的条件分布律为x012px | y = 14/1710/173/17（2）因为 f (x, y) = 6,(x

13、, y) g 。 x20， 其 他6(2 y -y )， 0 y 0.5f (x) = 6dy = 3x 2， 0 x 1 ； f( y) = 6(1 -y )0.5 y 1 。x 2x / 2y，其 他0，其 他 0,所以，当时，= f (x, y) 2 ,x 2 / 2 y x 20 x 1fy | x ( y | x)f (x)= x 2；x 0,其他第 2 章 随机变量及其分布习题解答20当0 y 0.5 时， f(x | y) =f (x, y)1,2 y -y= x ；x |yy2 yfy ( y)0,其他当0.5 y 1时， f(x | y) =f (x, y)1,= x 1；y

14、x |yf ( y)1 -y当 y = 0.5 时， fx |y(x | y) = y1 -1,0.50, 0,其他0.5 x 1 。其他20，解：（1）根据题意，（x，y）的概率密度 f (x, y) 必定是一常数，故由1x13,(x, y) g1 = f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy =f (x, y) ，得到 f (x, y) = 。g0x23 2+ x0， 其 他（2）f x (x) = f (x, y)dy= 3dy = 3(xx- x 2 )， 0 x 1；fy ( y) =- 0,y y2 3dx， 0 y 1+ f (x, y)dx =其y3(= 他-

15、y 2 )， 0 y 1。-0， 其 他 0，其 他（3）当0 x 1 时， f( y | x) =f (x, y)1x - x 2=,x 2 y 。y | xxf x (x)0,其他特别地，当x = 0.5 时的条件概率密度为fy | x 2( y | 0.5) = 4,2 - 10,1/ 4 y 2其他/ 2 。第 2 章 随机变量及其分布习题解答2721，。解：（1）= 1 + xy0 x 2, 0 y 1 ；f (x, y)f x (x) fy | x ( y | x)30其 他（2） f( y) =+2 1 + xyf (x, y)dx = dx =2 (1 + y)0 y 1；y0

16、33- 0其他（3）当0 y 1时， f(x | y) =f (x, y) 1 + xy= 2(1 + y) ,0 x 2 。x |yfy ( y) 0,其他22，解：（1）由相互独立性，可得y1 ,y2 的联合分布律为py1 = i,y2 =j = py1 = ipy2 =j， i, j = -1,0,1结果写成表格为y1y2-101-1q2 / 4q(1 -q) / 2q2 / 40q(1 -q) / 2(1 -q)2q(1 -q) / 21q2 / 4q(1 -q) / 2q2 / 4py = y = py = y = -1 + py = y = 0 + py = y= 1 = (1 -

17、q)2 +q2 / 2 。12121212（2）14 题中，求出边缘分布律为xy012px = i00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38py = j0.160.340.501很显然， px= 0,y = 0 px= 0py = 0 ，所以 x ,y 不是相互独立。23，解：根据题意， x 的概率密度为 0xf (x) = 10 x 1其他所以根据独立定， x ,y 的联合概率密度为f (x, y) =f x (x) fy( y) = 8 y 00 x 1, 0 y y = f (x, y)dxdy = dx8 ydx = 3x y

18、0y24，解：根据定义立刻得到分布律为y12510pk1/57/301/511/3025，解：设 x ,u 的概率密度分别为 f x (x), fu (u) ，u 的分布函数为fu (u) 。则当u 0 时， fu (u) = pu u = p xx当u 0 时， fu (u) = pu u = p x u = 0 ， fu (u) = 0 ； u = p-u x u = 2f(u) - 1 ，fu (u) = fu(u) = 2 f(u) =2 e-u 2 / 2 。2 pp所以， fu(u) =e-u 2 / 2u 0。u 0026， 解： 设 x ,y 的概率密度分别为fx (x), f

19、y ( y) 。则x（1）当 y 0 时， fy ( y) = py y = pf x (x), fy ( y) ， 分布函数分别为 y = 0 ， fy ( y) = 0 ；当 y 0 时， fy( y) = py y = p y = px y 2 = f( y 2 ) ，xxfy ( y) = fy2 ye- y2( y) = 2 yfxy 0( y 2 ) = 2 ye- y2 。所以， fy ( y) = 0。y 0（2） 此时 f(x) = 1/ 2- 1 x 1。x0其他x因为fy ( y) = py y = p( x + 1) / 2 y = px 2 y - 1 = fx (2

20、 y - 1) ，故 ， fy( y) = fy( y) = 2 f(2 y - 1) = 1,- 1 2 y - 1 1，所以， fy( y) = 1y00 y 0 时， fy( y) = py y = px 2 y = p- x y12 yx= f(y ) - f(-y ) = 2f(y ) - 1，故 ， fy( y) = fy( y) = 2 f ( y )=1e- y / 2 。所以， fy(y) ) = 1e- y / 22py02pyy 0。其他27，解：圆面积 a = px 2 ，设其概率密度和分布函数分别为g( y), g( y) 。则g( y) = ppx 2 y = px

21、 y /p = fx (y /p) ，故2 pyg( y) = g( y) =1f ( y /p) =1 3y + p = 3y + p,0 y /p 22 py8 p16p y所以， g( y) = 00 y 0 时， fz(z) = pz z = px 2 + y 2 z 22pz1- r 2- z 2= f (x, y)dxdy = dqe 2s2 rdr = 1 - e22s2 ，x2 + y 2 z 20 z e- z 2 /( 2s2 )0 2psz 0z故， f z(z) =f (z) = s20其他。29，解：因为 f(x) = 1/ 2- 1 x 0 。2所以z = x +

22、y 的概率密度为l3fy ( y) = 2 0z 2e-lzz 0。其他31，解：因为 x,y 都在(0,1)上服从均匀分布，所以 0xf (x) = 10 x 1其他， fy( y) = 1 00 x 1其他根据卷积公式，得 1 1dy, z -1+ zz 12 - z,1 z 2fz (z) = fy ( y) f x (z - y)dy = 1dy,0 z 1 = z,0 z 0 ；0-0,其 他-3e 3x / 2dx， 0 y 2+01/ 2， 0 y 2fy ( y) = f (x, y)dx = -0，= 。其 他 0， 其 他（2） z = maxx ,y 的分布函数为fz (

23、z) = pz z = pmaxx ,y z = px z,y z = px zpy z = fx (z)fy (z) 0y 0 0,y 21z 2（3） p1/ 2 z 1 = f (1) - f (1/ 2) = 1 - 1 e-3 + 1 e-3/ 2 。zz42433，解：（1）根据题意，随机变量 x u (0, l) ，所以概率密度为1f x (x) = l 00 x l。其他（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为 x 1 , x 2 ，则它们都在(0, l) 上服从均匀分布。y = minx 1 , x 2 ，其分布函数为yx1f ( y) = 1 - 1 - f(

24、y)1 - f( y)= 1 - (1 - y )2 ,l0 y l ，x 2所以密度函数为fy( y) = (fy2(l - y) / l 2， 0 y l( y) = 。0， 其 他34，解：（1）u = max( x ,y ) 的分布律为pu = k = pmax( x ,y ) = k = px= k,y k + py = k, x k,k = 0,1,2,3如 ， pu = 2 = px = 2,y 2 + py = 2, x k,k = 0,1,2如， pv = 2 = px= 2,y 2 + py = 2, x 2 = 0 + 0 = 0 ，u01pk27/4013/40其余类似。结果写成表格形式为（3）w = x + y 的分布律为kpw = k = px + y = k = pxi=0= i,y = k - i,k = 0,1,2,3,4