专题检测(九)三角恒等变换与解三角形理

1、专题检测（九）三角恒等变换与解三角形2，45“6+ 3 + 3”考点落实练一、选择题21. （2019届咼三益阳、湘潭调研）已知sin a =-，贝U cos（ n + 2 a ）=（57a.257B. 2522817解析：选 D sin a = 5,. cos 2 a = 1 2sin a = 1 25 = 25COS( n + 2 a )=17cos 2 a =兀，故选 D.252. （2018 全国卷川） ABC勺内角A, B, C的对边分别为a, b,6若 ABC的面积为4 ，则 C=(解析：选 C S= absin C=2 2 2a + b c2abcos C 1=-abcos C,

2、 sin C= cos C,即 tan C= 1.C. C (0 ,3.若0an c23 n , COS3sin( a + 3 )= 一，贝U cos5A.C.解析:252425cos=cos(24D . 25a = cos( a + 3 )cos a + sin( a + 3 )sin因为+ 3 )0,3所以sin3 了 3、4245+ 57 5= 25.4=5, cos 34.若a 0, -2 , sin=更cos 3 J= ，则 3 a =()nA. 6解析：选B由 sin a=d2/5fncos a =,由 cos 存3A sinW10及3 p,訂得cos所以 sin( 3 a ) =

3、 sin3 cos a cos3 sin a=迥乂破亚乂史=卫=105105 = 2 .又因为3 a n 、y J,所以3 5.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为ca, b, c,若bcos 代则 ABC为()A.钝角三角形直角三角形C.锐角三角形等边三角形解析：选Ac sin C根据正弦定理得b=爲rcos即 sin CsinBCos A/ A+ B+ C=n , sin C= sin( A+ E)sinBcos A,整理得 sin Acos B0, cos B0, B n , ABC为钝角三角形.6. （2018 南昌一模）已知台风中心位于城市A东偏北a （ a为锐角）的150千

4、米处，以小时后到达距城市 A西偏北3 （ 3为锐角）的200千米处，若 cos a = 4COS 3 ,贝u v =()A. 60B . 80C. 100D . 125解析：选C如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C,v千米/时沿正西方向快速移动，2.5北4则在 ABC中, ABsin a = ACsin 3，即 sin a =-sin 3 ,3又cosa = - cos43 ,. .2216 .292 . . 22 sina + cos a=gsin3+ cos3 = 1 = Sin 3 + cos 3 ,33443 sin3 = 4C0S3 , sin3= 5，cos 3 = -, si

5、na =:, cos5a = 5，3 44 3- cos(a + 3 )=cos a cos3 sina sin 3 = 7X- 55-x-= 0,.55，a + 3 bC=：aB+ aC,2 (2.5 V):2=150 +200，解得 V = 100,故选C.3二、填空题n27. (2018 全国卷n )已知sina + cos 3 = 1 , cos a+sin 3 = 0，贝U sin( a解析：sin a+ cos 3 = 1,cos a+ sin 3 = 0,2+2 得 1 + 2(sina COS3 + cos a sin3 ) + 1= 1, sin(Xcos 3 + cosa

6、sin sin(X+ 3 )=12.b2sin A,角A的平分线AD交BC于点D, AD= 迪，a = W，则b =3 ，答案:&在 ABC中，角A,B, C的对边分别为a.b, c,若 a2= 3b2 + 3c2 2/3bcsinC等于解析：由余弦定理得a2= b2 + c2 2bccos A,A,所以 b2+ c2 2bccos A= 3b2 + 3c2 /sbcsinf 、b + d7t即萌sin A- cos A=益，2sin (AItA2,因此 b=c，A-7弋?2n所以C=2答案：n9. （2018 长春质检）在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若其面积S=

7、i1 2c解析：由面积公式S=bcsin A= b2sin A,可得c= 2b,即-=2 b2.由a=73，并结合角平分线定理可得，BD= 学在4b + 3 3B=乔，即2X2 bx23 ABC中，由余弦定理得 cos4b2 + 3 b2A2X2bX 寸3，在 ABD中,cos.244224b H，化简得b2=1解得b= 1.4b2 + 3 b2 _十 332X2bXx/32 72X2bX3-答案：1三、解答题10. (2018 全国卷I)在平面四边形 ABCD中,/ ADC= 90 / A= 45 AB= 2, BD= 5.(1)求 cos / ADB若DC= 22,求BC解：(1)在 AB

8、D中,AB由正弦定理得 i BD A= i / ADB sin / A sin / ADB5即 sin 45sin / ADB 所以 sin / AD*習.由题设知，/ ADB90所以 cos / ADB=、/1 -25 = 7p. 由题设及(1)知，cos / BDC= sin /5在 BCD中，由余弦定理得bC= bD + dC 2BD- DC- cos / BDC=25+ 8 2X 5x2 念x= 25, 所以BC= 5.11. (2018 昆明调研)在 ABC中, AC= 23, BC= 6,/ ACB= 150 (1)求AB的长;延长BC至 D使/ ADC= 45求 ACM面积. 解

9、: (1)由余弦定理 aB= aC+ bC 2AC- BCCos / ACB得 aB= 12+ 36 2x23X 6cos 150 = 84,因为/ ACB= 150/ ADC= 45所以/ CAD= 150-45105,由正弦定理一CDsinACEC 2屆in 105 口。/ CADsin / ADC 得 C*，又 sin 105 - sin(60 +45 )sin 45=sin 60 cos 45+ cos 60 sin 45 述护，所以CD= 3 +护,又/ ACD= 180-/ ACB= 30 ,所以 $ ACD 严CD1 1 sin / ACD=x (3 + *) x-!(的+1)

10、V3.12. 已知函数 f( x) 2sin xcos x+ 2Q3cos2x(1)求函数y =f(x)的最小正周期和单调递减区间;已知 ABC的三个内角A, B, C的对边分别为a,b, c,其中a= 7,若锐角A满足f 伶才J=W，且 sin B+ sinC上3#3，求bc的值.解：(1) f(x) = 2sin xcosx+ 2Wcos2x & sin 2x+ 护cos 2 x 2sin(2x+才J，因此f(x)的最小正周期为T= 2n,nn由 2kn + 2W2x + W2 k n+ 一2( k Z),得 k n + 12 xw kn +12( k Z)，所以f(x)的单调递减区间为

11、k n+ n k n+ 7f2k Z).由 f (A-青y 2sin |2 (A-自丿+ f卜2sin 7，且A为锐角，所以A- f.7t714sin聊sinC-叱血32R 14 ，由正弦定理可得2R=.,Sin A 乂3寸3则b + c呼x琴13,14V3所以cos A=.2 2 2 2 2 ,b + c - a b+ c - 2bc-a 12bc2bc2所以bc= 40.B组一一大题专攻补短练1. (2018 天津五区县联考)在 ABC中，内角 A B, C所对的边分别为 a, b, c,且8 sin 2 2cos 2 C= 7.(1)求tan C的值; 若 C=W, sin B= 2si

12、n A,求 a, b 的值.解：(1)在 ABC中，因为 A+ B+ C= n ,所以 AT电2 C,则 sin*= cosC2A+ B2C由 8sin 2cos 2 C= 7,得 8cos 2cos 2 C= 7,2所以 4(1 + cos C 2(2cos C 1) = 7即(2cos C 1) 2= 0，所以 cos C= 2-n因为0 CV n ,所以,3于是 tan C= tan 才=由 sin B= 2sin A,得 b= 2a.又 c = 3,由余弦定理得 c2= a2+ b2 2abcos n,3即 a + b ab= 3.联立，解得a= 1,b= 2.2.在 ABC中，角 A

13、,B, C所对的边分别是 a, b, c,满足 a2+ c2 b2 + 2bccos A- 4c=0，且 ccos A= b(1 cosQ.(1)求c的值及判断 ABC勺形状;若 土求 ABC的面积.6解：(1)由 a2+ c2 b2+ 2bccos A 4c = 0 及正弦定理得,2 2 2222b + c aa + c b + 2bc 4c = 0,2bc整理，得c = 2.由ccos A= b(1 cos C)及正弦定理，得sin Ccos A= sin B(1 cos C ,即 sin B= sin Ccos A+ sin Bcos C=sin( C = sin Acos C+ cos

14、 Asin C,所以 sin Bcos C= sin Acos C,故 cos C= 0 或 sin A= sin Bn当cos C= 0时，C=，故 ABC为直角三角形;当sin A= sin B时，A= B,故 ABC为等腰三角形.(2)由(1)知 c= 2, A= B,贝y a= b,n因为C=石，所以由余弦定理，得4= a2+ a2 2a2cos 才，解得 a2 = 8 + 4寸3,所以 ABC的面积S= asin青=2 +3.3.已知 ABC的三个内角 A, B, C的对边分别为a, b, c,且 ABC勺面积为S= accos(1)若c= 2a,求角A, B, C的大小;(2)若a

15、= 2，且才w AW才，求边c的取值范围.解：由已知及三角形面积公式得1J3S= acsin B= -accos B,化简得 sin B=Q3cos B,即 tan B=寸3，又 0B n , B= -3.(1)法一：由c= 2a及正弦定理得，sin C= 2sin A,又 A+ C=葺, sin 穿一A= 2sin A, 3 丿化简可得tan A=，而OvAn,n小na=, c=.法二：由余弦定理得，b2= a2 + c2 2accos B= a2 + 4a2 2a2= 3a2, b= &a,-a : b : c = 1 ： f3 : 2, A= nC= n-A亍C-亍a由正弦定理得，- s

16、m sm，即 c =斗 2sin C sin A由 C= 23n A,/2 n2sin ih -c=sin AM 2cos A+ sin Ajsin A羽cos A+ sin A 羽 + sin Atan A 又由 yW AWy，知 Ktan Aw 寸3, 2w+ 1,故边c的取值范围为2，羽+ 1.4.A ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sinA+、/3cosA=0, a = 27,b= 2.(1)求c的值;设D为BC边上一点，且 ADI AC求 ABD勺面积.解:(1)因为 sin A+ 羽cos A= 0,所以所以sin A= Q3cos A,tan A=因为2 nA (0 , n )，所以 A= -.由余弦定理得 a2 = b2 + C2 2bccos A,代入 a= 2寸7, b= 2 得 c2