山东省青岛市2012年3月高三数学统一质量检测试题理新人教A版

1、山东省青岛市2012 年 3 月高三统一质量检测理科数学试题及详细解析第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知实数集 R，集合 M x | x22, 集合N x | y1 ，则 M(eR N )x1A. x | 0x 1B. x | 0x 1C. x |1x4D. x |1 x41. B 【解析】 M(eR N ) x | 0x4x x1 x | 0x1 .2. 已知函数 f ( x)x3 , x 02x, x, 则 f f ( 1)0A 1B 2C 1 D 122.B 【解析】 f f (

2、1) f1 2.频率 / 组距0.103. 某个小区住户共 200 户 , 为调查小区居民的 7 月份用水量 , 用分层抽样的方法抽取了50户进行调查 ,0.05得到本月的用水量( 单位 : m3) 的频率分布直方图如0.0430.01样本数据图所示 , 则小区内用水量超过15 m的住户的户数为o510152025A. 10B.50C.60D.1403.C【解析】以 50 为样本容量可计算出超过15m3 用水量的户数为 50.050.01 5015,所以可估算200 户居民超过 15m3用水量的户数 60 .4.设、为两个不同的平面， m 、 n 为两条不同的直线， 且 m, n, 有两个命题

3、：p ：若 m / n ，则/； q ：若 m，则；那么A“ p 或 q ”是假命题B“ p 且 q ”是真命题开始C“非 p 或 q ” 是假命题D“非 p 且 q ”是真命题n 1,S14.D 【解析】 p 是假命题， q 是真命题，所以D正确 .5.运行如右图所示的程序框图, 则输出 S 的值为n n1A. 3B.2C.4D.8nS S5.B 【解析】1 n是n5S1111213123否14152.输出 S45结束用心爱心专心- 1 -6.(2 x1) 6 的展开式中 x2 的系数为xA.240B.240C.60D.606r1rr6.B 【解析】 TrC6rC6r26112xrx6 2

4、r ,x所以 T3C62 26 212x64C6224 x2240x2 .7.直线 y2x4 与抛物线 yx21所围成封闭图形的面积是A 10B 16C 32D 3533337.C 【解析】联立方程求得交点分别为1,2 ,3,10 .32 .所以阴影部分的面积为S14210x21 dx2440233318.将函数 y sin( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，再将所3得图象向左平移3个单位，则所得函数图象对应的解析式为A.1)B.ysin(2x)C.ysin1xD.y1x)y sin(x62sin(23268.D 【解析】 ysin( x)y sin( 1x)y

5、sin1x33sin1x.3232269.已知 ab, 函数 f (x)( xa)( xb) 的图象如右图所示， 则函数 g (x)logax b 的图象可能为9.B 【解析】 由图象可知 0b1 a ，所以 g (x)log ax b 为增函数， B 符合 .10.已知圆 (xa)2( yb)2r 2 的圆心为抛物线y24x 的焦点 , 且与直线3x4 y 20 相切 , 则该圆的方程为A. ( x 1)2 yC. ( x1)2 y2264B.x2( y1)26425251D.x2( y1)21用心爱心专心- 2 -10.C 【解析】 抛物线 y24x 的焦点为1,0 ，则 a1,b0. r

6、3 14021,所以圆3242的方程为 ( x1)2y21.11. 已知 a0, b0 , 且 2ab4 , 则 1abA. 1B.4C.142的最小值为D. 211.C 【解析】 142a b11211 , ab 2,11 .ab 4ab4ab2b4a2b4aab212.设 f ( x) 与 g( x) 是定义在同一区间 a,b 上的两个函数，若函数yf ( x) g(x) 在x a,b 上有两个不同的零点，则称f(x) 和 g (x) 在 a,b 上是“关联函数”，区间 a, b称为“关联区间”若f ( x)x 23x4 与 g( x)2xm 在 0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为

7、A. (9 ,2B.1,0C.(, 2D.( 9 ,)4x2412.A【解析】 f ( x)3x4 为开口向上的抛物线，g (x)2x m 是斜率 k2 的直线，可先求出 g( x)2xm 与 f ( x)x23x4 相切时的 m 值 .由 f (x)2x32 得切点为5 ,11 ，此时 m9，因此 f ( x)x23x4 的图象与 g (x)2xm 的图象有两2449个交点只需将g (x)2x向上平移即可。再考虑区间0,3 ，可得点3,4 为4f (x) x23x 4 图象上最右边的点，此时 m2 ，所以 m( 9 , 2.4网第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题

8、 4 分，共16 分13. 已知复数 z 满足2 i z 1 i , i 为虚数单位 , 则复数 z.13.131i1 i 2i1 3i5i 【解析】 z2i5.5514.已知双曲线 x2y21的渐近线方程为y3x , 则它的离心率为.a2b2用心爱心专心- 3 -14. 2 【解析】 b223,b3, e 1b2.aaa2215. 已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥的体积为.15. 2 【解析】 由三视图可知该几何体为四棱锥，112正视图侧视图22底面为直角梯形其面积为1 2 123，高为 2 ，所以12俯视图V12 2 2.3xy3y116 设变量 x, y 满足约束条件：xy1 ,

9、则目标函数z的最小值为.2xy 3x16. 1【解析】 画出可行域得 2,1点为选用目标，所以 zy 1y11( 1)xx021.0三、解答题：本大题共6 小题 , 共 74分, 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知锐角ABC 中内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，a2b26ab cosC ，且 sin 2 C2sin A sin B .（）求角 C 的值；（）设函数 f (x)sin(x)cosx(0) ，且 f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离为6，求 f ( A) 的取值范围 .17. 解：（）因为a 2b26a

10、b cosC , 由余弦定理知a 2b2c22ab cosC所以 cosCc2.4ab又因为 sin 2 C2sin Asin B , 则由正弦定理得 : c22ab ,所以 cosCc22ab14ab4ab,2所以 C.3（） f ( x)sin(x) cos x3 sinx3 cos x3 sin( x)6223由已知 2,2, 则 f ( A)3 sin(2 A),3用心爱心专心- 4 -因为所以C2A , 由于 0 A,0 B, B3322A, 02 A2.6233根据正弦函数图象, 所以 0f ( A)3 .18（本小题满分12 分）如图，在直四棱柱D1C1ABCDA1 B1C1D1

11、 中，底面 ABCD 为平行四边形，且AD2 ， ABAA13，BAD60 ，E 为 AB 的中点 .A1B1（） 证明：AC1 平面 EB1C ；DC（）求直线ED1 与平面 EB1C 所成角的正弦值 .18. 解（） 证明：连接 BC1 ， B1C BC1FAEB因为 AEEB ， FBFC1 , 所以 EF AC1 ,因为 AC1面 EB1C ， EF面 EB1CzC1D1所以 AC1 面 EB1C .A1B1（）作 DHAB ，分别令 DH , DC , DD1 为Fx 轴， y 轴， z 轴, 建立坐标系如图DCyBAD60， AD2 ，因为HB所以 AH1 ， DH3AEx所 以

12、E (31, ，0)D1(0,0,3)， C (0,3,0)，2B1( 3,2,3) ，ED1(1,3), EB13,3), EC (5,0)3,(0,3,222设面 EB1C 的法向量为 n( x, y, z) , 所以 n EB10 ， n EC033z0y531化简得2,1,5，令 y 1 ，则 n (6) .y023x2用心爱心专心- 5 -设n, ED1 ，则 cosn ED1930nED170设直线 ED1 与面 EB1C 所成角为，则 coscos(90 )sin所以 sin9 30，则直线 ED1 与面 EB1C所成角的正弦值为930 .707019（本小题满分 12 分）一个

13、盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1 ( x)x3, f2 ( x) 5x,f 3 ( x)2 ， f4 ( x)2x1 ， f5( x)sin(x) ， f6 ( x) x cos x .2x12（） 从中任意拿取2 张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望19. 解：（）f1 x x3 为奇函数；f2x 5x 为偶函数； f3x2 为偶函数；f 4 x2x1 为奇函数； f5 x

14、sin(x) 为偶函数 ; f 6xxcos x 为奇函数 .2x12（注：每对两个得1 分，该步评分采用去尾法）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数; 故基本事件总数为C31C31C32满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为C32 ,2故所求概率为PC31 .C31C31C324（）可取 1， 2， 3， 4P(C311, P(2)C31C3131)2C61C51，C6110P(C31 C21C313, P(4)C31C21C11C3113)C4120C61C51C41C31；

15、C61 C5120用心爱心专心- 6 -故的分布列 1234112333417 .21020204的数学期望 7 .420（本小 分12 分）已知等差数列an（ n N+）中 ,an 1an ,a2a9232 ,a4a7 37 .（）求数列an的通 公式；（）若将数列 an 的 重新 合， 得到新数列bn ，具体方法如下 : b1a1 ， b2a2a3 ，b3a4a5a6a7 ， b4a8a9a10a15 ， , 依此 推，第 n 项 bn 由相 的an中 2n 1 的和 成，求数列 bn12n 的前 n 和 Tn .420. 解：（）由 a2a9232 与 a4a7

16、a2a937a28a229an ，舍去）解得 :或a98（由于 an1a929 公差 d ， a2a1d8,解得a15a9a18dd329所以数列an 的通 公式 an3n2(nN ) .（）由 意得 :bna2n 1a2 n 1 1a2n 1 2a2 n 1 2 n 1 1(3 2n 12) (3 2n 15) (3 2n 18) 3 2n 1(3 2n 1 1)2n 1 3 2n 1 2 5 8(3 2n 1 4) (3 2n 1 1) ,而2 58(3 2n 14)(3 2n11) 是首 2, 公差 3 的等差数列的前2n1 的和 , 所以 2 5 8(3 2n 14) (3 2n 1

17、1)用心爱心专心- 7 -2n 1 22n 1( 2n 11)3 3 22n 312n24所以 bn3 22n 23 22n 31 2n922 n1 2n ,1 2n9484所以 bn22n48所以 Tn9 (4166422n )94(14n )3 (4n1) .8814221（本小题满分12 分）已知函数f ( x)x3 .（）记t( )f()f(),(tR) ，求( x)的极小值；xx3x（）若函数h(x)f( x)sin x 的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数的值及相x应的切点坐标 .21. 解：（）由已知：fxx3 ，xx3tx2 ,x3x22tx3x( x2t )2t3由x0x0

18、 ，或 x,3当 t0 时，x3x20 ，x 在,为增函数，此时不存在极值；当 t0时， x 变化时，x,x变化如下：x(2t)2t(2t0(0,),3,0)33x+0-0+x极大极小由上表可知：x 极小00 .当 t0时， x 变化时，x,x变化如下：x(,0)02t)2t2t, )(0,3(33x+0-0+x极大极小用心爱心专心- 8 -由上表可知：( x)极小(2t)4t 3 .327（） hx3xsin xhx3cosx设两切点分别为t1, h t1,t2 , h t2，则 ht1ht21即 3cost13cost 21923 cost1cost2cost cost2101R ，3co

19、st1cost 22cost1 cost210 ,方程的判别式36即 costcost24 ,又1cost11,1cost21 ，cost cost241221cost124从而可得：cost2上式要成立当且仅当cost1 1cost11，或cost21cost21此时方程的解为0 .x00， 此 时 函 数 h xf x，存 在sin x的 图 象 在 点x2k,0kZ , k0处的切线和在点2m,0m Z处的切线互相垂直 .22（本小题满分14 分）已知椭圆 E ： x 2y 21(ab0) 的左焦点 F1 (5,0) ，若椭圆上存在一点D ，满足以a 2b 2椭圆短轴为直径的圆与线段DF

20、1 相切于线段 DF 1 的中点 F （）求椭圆E 的方程；（） 已知两点 Q(2,0),M(0,1) 及椭圆 G : 9x2y21 , 过点 Q 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆a2b2G 于 H , K 两点 , 设线段 HK 的中点为 N ,连结 MN , 试问当 k 为何值时 , 直线 MN 过椭圆 G的顶点 ?( )过坐标原点O 的直线交椭圆 W : 9x24 y21于 P 、 A 两点，其中 P 在第一象限，过2a2b2P 作 x 轴的垂线，垂足为C ，连结 AC 并延长交椭圆 W 于 B ，求证： PAPB .用心爱心专心- 9 -22. 解：（）连接 DF2 , FO (O 为

21、坐标原点 , F2 为右焦点） ，由题意知：椭圆的右焦点为F2 (5,0)因为 FO 是DF1 F2 的中位线，且DF1FO , 所以 DF22 FO 2b所以 DF12aDF22a2b ，故 FF11 DF1ab ,2在 RtFOF 1 中， FO2FF122F1O,即 b 2(a b) 2c 25 , 又 b 25 a 2 , 解得 a 29, b24所求椭圆 E 的方程为 x2y21 94( ) 由（）得椭圆G : x2y214设直线 l的方程为 yk(x2) 并代入 x2y214整理得 :(k24)x242x4k240k由0 得:23k23 ,33设 H ( x1 , y1), K ( x2 , y2 ), N ( x0 , y0 )x02k 2k 24则由中点坐标公式得:,8ky0k(x02)24k当 k0时, 有 N (0,0) ,直线 MN 显然过椭圆 G 的两个顶点 (0,2), ( 0,2) ;当 k0时, 则 x00, 直线 MN 的方程为 yy