二次微分方程的通解

1、第六节 教学目的:二阶常系数齐次线性微分方程使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐教学重点： 教学过程:二阶常系数齐次线性微分方程的解法一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程：方程yyy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程、其中P、q均为常数.如果yi、y是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解r那么y上iyi+C2y2就是它的通解.我们看看*能否适当选取 J使满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将代入方程yrypy=02rx(r 巾r+q)e =0.只要r满足代数方程r2+prpm、函数“就是微分方程的解.特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方

2、程yHpyHqy=0的特征方程.特征方程的两个根 可用公式由此可见门、2-p + Jp 2 -4qri,2 =2特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根ri、2时.函数yi =eriX、yer2X是方程的两个线性无关yqX函数yeriX、y2=er2X是方程的解 又= y2er2x=e(rr2)x不是常数.因此方程的通解为y Pex +C2er2X次线性微分方程的解法方程的两个线性无关的解这是因为r y =er是方程的解、又(xeX)” +p (xer1x)+q(xer1x) =(2 +xr12)er1x + p (1 + xr1)er1x +qxer1x=erix(2ri +

3、 p)+xerix(ri2 + pri+q)=O 、所以yxerix也是方程的解、且x牛訐x不是常数因此方程的通解为y =Ger1x +C2xer1x(3)特征方程有一对共轭复根关的复数形式的解.函数ycosPx1,时*函数y=e(皿x是微分方程的两个线性无、yw%in Px是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数1=3%和y2w(WBx都是方程的解而由欧拉公式(of pxxy w (cosx+isi nx)(aLpxxy2=e=e(cosx-isi nx)y1W2=2e xcosxexCOSPx=2(y1+y2)y1-y2=2ie xsinx尹sin Px=(y1-y2)2i故 ecos

4、Rx、y2 =esinPx也是方程解.可以验证.y1N%osPx、y2 wsin Px是方程的线性无关解.因此方程的通解为y=e*tCicos図弋2Sin Px ).第一步求二阶常系数齐次线性微分方程y巾ypyn的通解的步骤为：写出微分方程的特征方程第二步r2 巾rp=O求出特征方程的两个根1、2.第三步根据特征方程的两个根的不同情况.写出微分方程的通解.求微分方程y2yyy=0的通解.所给微分方程的特征方程为r2-2r3=0、即(r+l)(r3)=0其根1亠12书是两个不相等的实根-因此所求通解为亠 孑丄亠 3xy=C1e 七2e .例2求方程y“H2y，Hy=0满足初始条件 yX=04、y

5、|x亠2的特解.解所给方程的特征方程为2 2r242r+1、即(r+1)2=0其根ri才21是两个相等的实根、因此所给微分方程的通解为ynCiM2X)e.将条件y|x2虫代入通解、得Ci 4、从而yn42X)e,将上式对x求导、得xy=(C2/-C2X)e .再把条件y很=0=2代入上式 得C2=2 .于是所求特解为例3求微分方程y-2yH5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为2r -2+=0特征方程的根为1=1 42i2-2i是一对共轭复根因此所求通解为y=eX(Cicos2x 乜sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程：方程y齐1y(n)+p2+ ”+ pn jypny=0 ”称为n阶常

6、系数齐次线性微分方程、其中pir P2Pn_l、Pn都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子 D及微分算子的n次多项式L(D)=Dn 巾1Dn巾2 Dn+ “ + Pn4D*pn则n阶常系数齐次线性微分方程可记作/n 丄 fn-l,fn-2(D +p1D 巾2 D注D叫做微分算子 D0y=yDy=/+ +pnD +pn)y=0 或 L(D)y=0D2y=yD3y=yDny=y(n)分析 令yF伙则L(D)y=L(D)e伙=(rn+p1rnd 邛2 rn + ”+ p nxr+pn)e伙丸(伙因此如果r是多项式L(r)的

7、根 则ywrx是微分方程L(D)y=0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)Tn 巾仃2邛2 rn称为微分方程L(D)yn的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项:Cerx ;一对单复根riip对应于两项：e密(Cicospx2sinPx)；rxk 1k重实根r对应于k项:e (Ci 次+”4Ckx )；一对k重复根riip对应于2k项：e症(CiM2X +M0 .解这里的特征方程为r4+P SPP它的根为上二石土。，3,4 =-石(1i) 因此所给微分方程的通解为-xPp- xppy=eT2 （C1COS石X +C2Sin石x） +e、2 （C3COS石X+C4Si

8、n石x）.、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程：方程yPyFEx)称为二阶常系数非齐次线性微分方程、其中P、q是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yM(x)与非齐次方程本身的一个特解y弓*(x)之和：yh(x) + y*(x).当f(x)为两种特殊形式时.方程的特解的求法：一、f(x) =Pm(x)e 型.因此*设特解形式为当f(x)=Pm(x)e云时.可以猜想*方程的特解也应具有这种形式 y*F(x)/、将其代入方程、得等式Q ”(x) +(2 几巾)Q (x)丸泊邛)+q)Q(x) =Pm(x).(1)如果)不是特征方程r2巾r+q=0

9、的根、则a邛入为 0.要使上式成立、Q(x)应设为m次多Qm(x)=boxm4bixm+ ”+bmjix+bm *通过比较等式两边同次项系数可确定bo *bi*bm *并得所求特解y* =Qm(x)e如果)是特征方程r2 4pr +q =0的单根、则a+pZJq T、但2 A/巾0、要使等式2Q (X)+(2 k4p)Q(X)% A Fp)K)Q(x)=Pm(x).成立P(x)应设为m4l次多项式：Q(x) =xQm(X)、Qm(X)=b0Xm +bixmd+ ” +bmx+bm ,通过比较等式两边同次项系数*可确定bo*bi并得所求特解y* nQm(x)eX.2 2如果A是特征方程r切+q=

10、0的二重根、则A巾A+q=0 2冲=0、要使等式Q (X)+(2 几巾)Q (xph/-hZ+q)Q(x) =Pm(x).成立、Q(x)应设为m吃次多项式：Q(x) /Qm(x)、 Qm(X)=b0Xm 加ixm+bmx+bm ,通过比较等式两边同次项系数、可确定b0 .birbm ,并得所求特解y* m2Qm(x)e 為.综上所述 我们有如下结论：如果f(x)=Pm(x)e赵.则二阶常系数非齐次线性微分方程ypypy #(x)有形如y* =xkQm(x)e 入的特解、其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式、而k按/不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例

11、1求微分方程y“2yynxF的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程.且函数f(x)是Pm(x)?x型(其中Pm(x)=3x十1丄=0).与所给方程对应的齐次方程为y2yy=0 *它的特征方程为r2-2r3=0 .由于这里A =0不是特征方程的根、所以应设特解为y* =b0x+bi.把它代入所给方程.得-3box-2bo-3bi =3x+1 ,比较两端x同次幕的系数*得3bo =32bo -3bi =13bo =3、2bo-3bi =1 .由此求得bo=_1 r d二丄.于是求得所给方程的一个特解为3* 亠1求微分方程yHyH6y=xe2x的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方

12、程.且f(x)是Pm(x)x型(其中Pm(X)=X J尸2).与所给方程对应的齐次方程为它的特征方程为特征方程有两个实根 ri.于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y=Cie%2e3x .由于A=2是特征方程的单根.所以应设方程的特解为 y* =(box 加 i)e2x.把它代入所给方程.得-2box吃bo-bi=x.比较两端x同次幕的系数、得：-2bo =12bo-bi=o-2boW . 2boTi=O .由此求得bo*bi亠1.于是求得所给方程的一个特解为yJx(x1归“从而所给方程的通解为y =Cie2x +C2e3x -2 (x2x)e2x提示2x22xy*=Xbox+bi)e pbox

13、 加ix)e(box2 也ixjeV丰(2box%i)丸box2+bix) 2e2x(box2北ixjeVboabox+bi) 2+(box2+bix) 22e“ y-ny-七y* 彳(box+bixlerK box2+bix)e2x北(box2+bix)e2x22 2x22x22x=2bo 吃(2box+bi) 2+(box +bix) 2 e -5(2box+bi)+(box +bix) 2e +6(box +bix)e2x2x42 bo -44(2 box+bi) -5(2b0x+bi) e一2b0x+2b0i e方程 y4py4qy=eP| (x)coso3x+Pn(x)sinx的特解

14、形式应用欧拉公式可得e Pl (x)cosKix+Pn(x)si nxrxeix+e-xeix_e-it5X=ex P(X)e子+ Pn(x)22i=iP(x)-iPn(x)e(Ex+2P(x)+iPn(x)eM)x=P(x)e仃Mx +P(x)e(l x其中 P(x)=1(PPni) r P(x)=i(P+Pni) .而 mmax l,n. 设方程 yFyFy=P(x)e0如的特解为 yi* zkQm(x)ex则* =xkQm(x)e(3簡必是方程yf Py+qy =P(x)ee的特解*其中k按kdi 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 .于是方程 y巾ypy=e勺Pi(x)cos

15、o;)x+Pn(x)sinccx的特解为y* =xkQm(x)e仇如x+xkge恥=xke 纽Qm(x)(cosx +i si n 咏)+ Qm(x)(cosx -isi n x)k e必Rm(x)coscox枳m(x)sincox.综上所述、我们有如下结论：如果f(x)/P|(x)cosxPn(x)sinX r则二阶常系数非齐次线性微分方程yrypyh(x)的特解可设为y* 怙作只m(x)cosx托m(x)sin Ox、其中Rm(x)、Rm(x)是m次多项式、m=max i、n、而k按入松(或Xh)不是特征方程的根或是 特征方程的单根依次取O或i .例3求微分方程y*ymcos2x的一个特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且 f(x)属于 e勺Pl(x)cos酥+Pn(x)sinx型(其中 Z Z Fl(x)点*Pn(x)=0).与所给方程对应的齐次方程为它的特征方程为r2+1 由于这里A出=2i不是特征方程的根、所以应设特解为y* =(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x.把它代入所给方程、得(-3ax -3b +4c)cos2x -(3cx +3d 4a)sin2x =xcos2x .比较两端同类项的系数*得a = 1d=4 .39于是求得一个特解为y* =1xcos2x +4sin2x .39提示y* =(ax+