专题九点、线、面之间的位置关系讲义理

1、专题九点、线、面之间的位置关系三年考情.纵横研究卷川201820172016纵向把握趋势横向把握重点直线与平面所成的角、正方体的截面面积的最值-T12面面垂直的证明-T18(1)面面垂直的证明-T18(1)求异面直线所成的角-T11面面垂直的证明-T18(1)卷I 3年5考，且以选择题的形式考查线线角、线面角以及空间几何体的截面问题，位置关系的证明均出现在解答题中，且连续3年均考查了面面垂直的证明预计2019年仍会在解答题的第(1)问中考查位置关系的证明，在小题中考查空间位置关系的判断或异面直线问题，难度适求异面直线所成的角-T9线面垂直的证明-T20(1)求异面直线所成的角-T10线面平行的

2、证明-T19(1)空间中线、定与性质翻折问题、面位置关系的判T14线面垂直的证明-T19(1)卷n 3年6考，且每年均有1小1大，涉及空间位置关系的判定、求异面直线所成的角、线面平行或垂直的证明、翻折问题，难度中等.预计2019年仍会在解答题的第(1)问中考查线面位置关系的证明，以选择题或填空题的形式考查异面直线所成角的求法，难度适中面面垂直的证明-T19(1)圆锥、空间线线角的求解-T16面面垂直的证明-T19(1)线面平行的证明-T19(1)卷川3年4考，涉及线面平行的证明、面面垂直的证明以及线线角的求法，难度适中.预计2019年仍会在解答题的第(1)问中考查面面垂直问题，在选择题或填空题

3、中考查线线角的求法1.高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择题(或填空题)+道解答题或只考一道解答题.2.选择题一般在第 911题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断及空间角的求解，难度较小.3.解答题多出现在第18或19题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明，难度中等.保分考法-练为主导AD的中点，则直线 BF与平面ADE的位置关系是（）A平行B.相交但不垂直C.垂直D.异面解析：选A如图，取AD的中点O连接0E OF则OF平行且等于BE四边形BFOBi平行四边形, BF/ 0E/ BF?平面 ADE, 0田平面 ADE,/.

4、BF/ 平面 ADE.2.设m n是两条不同的直线,3 ,Y是三个不同的平面,给出下列四个命题:若m?a , n/若a / 3 , 3则 ml Y ；若a Pl 3 = n,n, n/(X，则 mil若丄丫，贝U a/ 3 .其中真命题的个数是（A. 0B.C. 2D.解析：选B ，m/ n或n异面，故错误；易知正确；,m/3 或n?3，故错误；,a / 3 或3相交，故错误.3. (2018-全国卷n）在正方体 ABCDAiBCD中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与0CCD 所成角的正切值为（a解析：选C如图，连接BE因为AB/CD所以AE与CD所成的角为/ EAB在Rt ABE中，设AB

5、= 2，贝U BE/s，贝U tan / EAB=籍均5，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为導.4. (2018 全国卷n )已知圆锥的顶点为 S,母线SA SB所成角的余弦值为7, SA与圆8锥底面所成角为45,若 SAB的面积为5715,则该圆锥的侧面积为解析：如图， SA与底面成45角, SAC为等腰直角三角形.设 CA= r,则 SO r, SA= SB=2r.在 SAB中, cos / ASB= 7,8 sin / ASB=5,SAB= qSA，SB sin / ASB=2x(/2 r)2x 呼=515,解得r = 2伍， - SA= y2r = 4yJ5,S 圆锥侧=n rl

6、= n即母线长1= 45, X2 V10X4击=40/2 n .答案：402 n系统方法1.判定空间位置关系的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断.2.当线线角、线面角出现在客观题中时，多用定义法求解.若出现在解答题中多用向量法求解.空间平行、垂直关系的证明由题知法可求得 Sa acd=，所以 VE-acx 3 X 寸3 Xi = .(2)已知O是BD的中点，求证:BD!平面AOFFCP E!门ZAit证明取PD的中点为G连接FG AG/ F是CE

7、的中点, FG是梯形CDPE勺中位线,/ CD= 3PE FG= 2PE FG/ CD!CCP EAitCD/ AB AB= 2PE - AB/ FGAB= FG即四边形ABF侥平行四边形，BF/ AG典例(2018 石家庄摸底)如图，在多面体 ABCDP中，四边形 ABC仿口 CDPETE是直角梯形， ABII DC PE/ DC AD丄DC PDL平面 ABCD AB= PD= DA= 2PE CD= 3PE是CE的中点.(1)求证：BF/平面ADP又BF?平面ADP AG 平面ADP BF/ 平面 ADP延长AC交 CD于 M连接bmFM BAI AD CD! DA AB= AD O 为

8、 BD 的中点,四边形 ABM是正方形，贝U BD!AM MD= 2PE MD綊FG 四边形DMF平行四边形.- FM/ PD/ PD!平面 ABCD - FM!平面 ABCD FM! BD/ AMT FM= M BD!平面 AMF即BDL平面AOF类题通法1垂直、平行关系中的转化与化归思想(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.证明利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行;线线利用平行四边形进行平行转换;平行利用三角形的中位线定理证线线平行;利用线面平行、面面平行的性质定理

9、进行平行转换证明利用等腰三角形底边中线即高线的性质;线线勾股定理;垂直线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面-LDC，所以 AB= AD= AO 2.AEAC的距离，因为E为AD的中点,即可，I丄a , a? a ? l丄a应用通关1 .如图，在底面是菱形的四棱柱 ABCDA B CD中，/ ABC= 60 ,AA = AC= 2, A B= A D= 2型,点 E在 Ai D上.(i )证明：AA丄平面 ABCD(2)当ADD为何值时，Ai B/平面EAC并求出此时直线 Ai B与平面EAC之间的距离.解： 证明：因为四边形 ABCD是菱形，/ ABC= 60 在

10、 AAB 中，由 aA+ aB= AiB2 ,得 AA丄 AB同理可知 AA丄AD.又ASn AD= A,所以AA丄平面ABCD.当AD=i时，A B/平面EAC证明如下：连接 BD交AC于点O贝y O为BD的中点,A E连接OE因为ED尸i, 所以点E为AD的中点,所以0曰AiB,又AiB?平面EAC EC?平面EAC所以AiB/平面EAC 所以直线AiB与平面EAC之间的距离等于点 A到平面所以可转化为点 D到平面EAC的距离,设AD的中点为F,连接EF,贝y EF/ AA,所以EH平面 ACD且EF= 1,易知 AE=, AC= 2 , CE= 2 , 所以S EAC=又因为 V AEC

11、= V- ACD所以SaEAC- d=3（d表示点D到平面EAG勺距离），解得d =仝貝所以直线AB与平面EAC之间的距离为貝2. （2018 长春模拟）如图，在直三棱柱 ABGABiCi中,=BB, ABQ AB= E, D为 AC上的点，BC/平面 ABD.（1）求证：BDI平面AACC; 若AB= 1，且AC- AD= 1，求三棱锥 A BCB的体积.解：（1）证明：连接ED BC/ ED.平面 ABCQ平面 ABD= EDBC/平面 ABDBC?平面 ABC,/ E为AB的中点, D为AC的中点, AB= BC - BDL AC/ AA平面 ABC BD?平面 ABC - A Al B

12、D./AA, AC是平面AACC内的两条相交直线, BDI平面 AACC由 AB= 1,得 BC= BB= 1,由(1)知 AD= 1aC 又 AC- AD= 1, aC= 2 , aC= aB+ bC, AB! BC1 1sAB= 2ab- bc= 2，11 11- VA BCE VB-ABC=Saabc BB = x-x 1 = 7.33 26与平行、垂直有关的折叠、探索性问题由题知法典例（2019届高三武汉调研）如图1,在矩形ABCD , AB= 4 , AD= 2 , E是CD的中点，将 ADE沿 AE折起，得到如图 2所示的四棱锥 D-ABCE其中平面 DAE1平面ABCE(1)证明

13、：BE1平面(2)设F为CD的中点，在线段 AB上是否存在一点 M使得MF/平面DAE若存在，求出;若不存在，请说明理由.解(1)证明：四边形 ABCC为矩形且 AD= DE= EC= BO 2,a AE= BE= 2卩 又 AB= 4, aE + bE= aW,/ AEB= 90,即 BE!AE又平面DAE1平面 ABCE平面DAEn平面 ABC吕AE BE?平面ABCE二BE1平面 DAEAbt 1，理由如下:取DE的中点L,连接FL, AL, FL/ EC FL= 2EC= 1.C又 EC/ AB FL/ AB 且 FL= 4AB M F, L, A四点共面.若 M/ 平面 ADE,贝U

14、 MF/ AL四边形AMFL为平行四边形,1加 AM 1 AM= FL= 4AB 即荷-类题通法1 求解平面图形折叠问题的关键和方法分清翻折前后位置关系和数量关系哪些改变，哪些不变，抓住翻关键折前后不变的量，尤其是垂直关系，充分利用原平面图形的信息是解决冋题的突破口方法把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决2.探索性问题求解的途径和方法(1)对命题条件探索的三种途径: 先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明; 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性; 将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.(2)对命题结

15、论的探索方法:从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存 在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论.应用通关1. (2019届高三西安八校联考 )如图1,在直角梯形 ABCDK/ AD&90, AB/ CDAD= CD= 2AB= 2 , E为AC的中点，将 ACD& AC折起，使折起后的平面 ACC与平面ABC垂直，得到如图2所示的三棱锥DABCit甘(1)求证：BCI平面ACD(2)点F在棱CD上，且满足 AD/平面BEF求几何体F-BCE的体积.解：(1)证明： AC= 7aD+ CD= 22,/ BA(=/ ACD= 45, AB= 4,在 ABC中, bC

16、= aC+ aB 2ACX ABX cos 45 =8 , aB= aC+ bC= 16, AC! BC平面 ACDL平面 ABC平面 ACDT平面 ABC= AC, BCI平面 ACD./ AD/平面BEF AD?平面ACD平面 ACQ平面BEF= EF, AD/ EF, E为AC的中点,ACD的中位线,1由(1)知，VF-BCE= Vb-CEF= 3 X SxcefX BC31 1 1 1 / Six CEF= 4&ACX 4X 22 X 2= 2,11 厂72 Vf-bc= 3 X 尹22 =*.DAB= 30,2. 如图，在四棱锥 P-ABC即，底面ABCD是菱形，/F为PD中点.AE

17、PDL平面ABCDAD= 2,点E为AB上一点，且店m点1(1)若m= 2，证明：AF/平面PEC(2)是否存在一个常数m使得平面PEDL平面PAB右存在，求出m的值；若不存在,说明理由.解：证明：作FM/CD交PC于点M连接EM因为点F为PD的中点,所以 FM= qCD.1 1因为 m= 2,所以 AE= 2AB= FM又 FM/ CD/ AE所以四边形AEMI为平行四边形，所以 AF/ EM因为AF?平面PEC EM?平面PEC所以AF/平面PEC要使平面PEDL平面PAB只需ABL DE理由如下:C存在一个常数 帀均3,使得平面 PEDL平面PAB因为 AB= AD= 2,/ DAB=

18、30,所以 AE= ADCos 30 = 3.因为PD!平面 ABCD所以PDL AB.又Pm DE= D所以AB丄平面PDE因为AB?平面PAB所以平面PDEL平面PAB压轴考法-攻坚破难e重难增分空间几何体的截面问题典例细解例1(2018 全国卷I )已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为()B.解析如图所示，在正方体 ABCDABCD中，平面ABD与棱AAA Bi , Ai D所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与AiA, A B , AD平行，故正方体 ABCDA B C D的每条棱所在直线与平面 ABD所成的角都相等.如图所

19、示，取棱 AB BB, BC, CD, DD, DA的中点 E F, G, H MCf fi0 总 CN,则正六边形 EFGHM所在平面与平面 ABD平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHM= 6 X | X 字習 X sin60 =学.故选A.4答案A启思维本题考查了空间几何体的截面问题以及直线与平面所成角的概念,本题体现的“动态几何”问题有一定的探究性，采用极端原理、考虑特殊位置、特殊情况、运用“大胆猜想，小心求证”的方法，往往能将问题快速、有效地解决.例2 如图，ABCDAiBiCD是棱长为a的正方体，M N分别是下底面的棱 AB, BC的中点，P是上底面的棱 AD上的一点,aA

20、F 3,过P, M N的平面交上底面于 PQ, Q在CD上,则PQ=解析平面 ABCD平面 Ai B CD,平面 ABCB平面PMQ=CPQ 平面 Ai B C D n平面 PMQ= MN 二 MN/ PQ./ M N分别是A B , B C的中点, MN/ Ai C / AC PQ/ AC又 AF 3a,. 00= 3,从而 Di DQ= |a. PQ= 7Dck dP=r帥騎=爭a. 答案a启思维本题考查了平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，但对定理的灵活应用要求较高.增分集训1.如图，正方体 ABCDABCD的棱长为1, P为BC的中点，Q为线段CC上的动点，过点A, P, Q的平面截该正方体所得的截面记为S则下列命题正确的是当0V Cx 2时，S为四边形;QC当O 2时，S为等腰梯形;当31O4时，S与CD的交点R满足GF= 3; 当3 CX 1时，S为六边形; 当CA 1时，S的面积为誓.解析：过A作AM PQ交DD或AiD于M当0 CX 2时，M在DD上，连接 MQ则截面为 AMP 故正确;当 d 2时，M与D重合，截面为 ADQP,显然为等腰梯形，故正确;当d 4时，M在AD上，且DM= 3.43过M作 MR AP交CD于R则 MDR PBA从而即C1R= 1,故正确;当31!