无穷级数-光盘版

1、121项目四无穷级数实验无穷级数(基础实验)实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势，进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近.掌握用Mathematica求无穷级数的和，求幂级数的收敛域，展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令1. 求无穷和的命令Sum该命令可用来求无穷和.例如，输入Sum1/nA2,n,l,lnfinity则输出无穷级数的和为兀2/6.命令Sum与数学中的求和号相当.2. 将函数展开为幂级数的命令Series.该命令的基本格式为Seriesfx,x,xO,n它将f(x)展开成关于X-X0的幂级数.幂级数的最高次幂为(x-x0)n,余项用(Xx

2、0)n +表 示.例如输入Seriesyx,x,0,5则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数y 0 +y% x +丄 y % I2+ 丄yf)0+丄y(4)0I4 中丄 y f)01+oL 626241203.去掉余项的命令 Normal在将f (x)展开成幂级数后，有时为了近似计算或作图，需要把余项去掉.只要使用Normal命令.例如输入SeriesEx px,x,0,6则输出Normal%x2 x3 丄X4 X5 x671 七+ + + + + + OX72!3!4!5!6234561七 442!3!456!4.强制求值的命令Evaluate如果函数是用Normal命令定义的，则当对它进行作图或

3、数值计算时，可能会出现问题.例如，输入fx=NormalSeriesEx px ,x,0,3P lotfx,x,-3,3则只能输出去掉余项后的展开式231 +x +26而得不到函数的图形.这时要使用强制求值命令Evaluate,改成输入P lotEvaluatefx,x,-3,3则输出上述函数的图形.5.作散点图的命令List PlotList Plot 为平面内作散点图的命令，其对象是数集，例如，输入List PI otTablejA2,j,16, Plotstyle-P ointSize0,012则输出坐标为1,12,2,22,3,32,16,162的散点图（图1.1）.250200150

4、100502.557.51012.515图1.16.符号“ /;”用于定义某种规则，“/;”后面是条件.例如，输入Clearg,gf;gx_:=x/;0=x1 gx_:=-x/;-1=x=1则得到分段的周期函数10 00 x 11 x, g(x)=( x,g(x -2),再输入gf=P lotgx,x,-1,6则输出函数g(x)的图形1.2.图1.2注:用Which命令也可以定义分段函数，从这个例子中看到用“俵达式”；（条件）”来定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形，但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用Which定义的分段函数可以求

5、导但不能积分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数.如MModx,1,Absx,Floorx 和UnitStep凶.其中只有单位阶跃函数UnitStepx可以用Mathematica命令来求导和求定积分.因此在求分段函数的傅里叶系数时，对分段函数的积分往往要分区来积 .在被积函数可以用单位阶跃函 数UnitStep的四则运算和复合运算表达时，计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例数项级数例1.1 (教材例1.1)K 1(1) 观察级数送A的部分和序列的变化趋势.nn处1(2) 观察级数送-的部分和序列的变化趋势.nin输入sn_=Sum1/k2,k,n;data=Tablesn,n

6、,100; List Plotdata;NSum1/kA2,k,lnfinityNSum1/kA2,k,lnfinity,40则输出(1)中级数部分和的变化趋势图1.3.1.624060801001.581.561.54图1.3级数的近似值为1.64493.输入sn_=Sum1/k,k,n;data=Tablesn,n,50;ListPlotdata, Plotstyle-PointSize0.02;则输出(2)中级数部分和的的变化趋势图1.4.44.53.5一2.51.510 20图1.4例1.2 （教材例1.2）画出级数送3）n丄丄的部分和分布图.心n304050输入命令Clearsn,g

7、;sn=0;n=1;g=;m=3; While1/n10A-m,sn=sn+(-1)A(n-1)/n;g=A pp endg,Gra phicsRGBColorAbsSinn,0,1/n, Linesn,0,sn,1;n+;Showg, PlotRange-0.2,1.3,Axes-True;则输出所给级数部分和的图形(图1.5),从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.例1.3求2心4 n2 +8 n +3的值.123输入得到和函数SumxA(3k),k,1,lnfinity3_ x-1 +x3例1.4 （教材例1.3）设an输入Cleara; an_=10An/(n!);vals=T

8、ablean,n,1,25;则输出List Plotvals, Plotstyle-P ointSize0.012an的散点图(1.6)，从图中可观察an的变化趋势.输入Suman,n,l,lnfinity则输出所求级数的和.129求幕级数的收敛域2500200015001000500图1.6比 42n (3) n例1.5 (教材 例1.4)求送 (x )的收敛域与和函数.n +1输入则输出Cleara; an_=4A(2n)*(x-3)An/(n+1); ste po ne=an+1/an/Si mplify16(1 +n)(+x)2 +n再输入则输出ste ptwo=Limitste po

9、 ne,n-lnfinity16(-3 +x)an+1和an都没有加绝对值.因此上式的绝对值小于1时，幂级数收敛；大于1这里对时发散.为了求出收敛区间的端点，输入ydd=Solveste ptwo=1,xzdd=Solveste ptwo=-1,x则输出xT亀Il 16 I由此可知，当一X 时，级数收敛，当X 时，级数发散.16 16 16 16为了判断端点的敛散性，输入Sim plifyan/.x-(49/16)则输出右端点处幂级数的一般项为1n +149因此,在端点X =右处，级数发散.再输入16Sim plifyan/.x-(47/16)则输出左端点处幂级数的一般项为3)nn +147因

10、此,在端点X =处，级数收敛.16也可以在收敛域内求得这个级数的和函数.输入则输出Sum4A(2n)*(x-3)An/(n+1),n,0,lnfinityLog1 16（；+x）16（-3 +x）函数的幂级数展开例1.6 (教材 例1.5)求cosx的6阶麦克劳林展开式. 输入则输出SeriesCos x,x,0,6x2 x4x671 + +o x2 24 720 7注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式.例1.6 (教材 例1.6)求Inx在X =1处的6阶泰勒展开式. 输入则输出SeriesLogx,x,1,6(x _1)+ox723456例1.7 (教材 例1.7)求arctanx的5阶泰

11、勒展开式.输入serl=SeriesArcTan x ,x,0,5;P oly=Normalserl则输出arctanx的近似多项式35x .Xx十一3 5通过作图把arctan x和它的近似多项式进行比较.输入P lotEvaluateArcTanx, Poly,x,-3/2,3/2,P lotStyle-Dashing0.01,GrayLevel0,As pectRatio-l则输出所作图形（图 1.7）,图中虚线为函数arctan x ,实线为它的近似多项式.例1.9求在X =1处的8阶泰勒展开，并通过作图比较函数和它的近似 多项式.输入Clearf;fx_=Ex p-(x-1)A2*(

12、x+1)A2;p oly2=NormalSeriesfx,x,1,8P lotEvaluate f x, poly2,x,-1.75,1.75, PlotRange- -2,3/2, PlotStyle-Dashing0.01, GrayLevelO则得到近似多项式和它们的图1.8.1 -4(一1 +x 2 -4(一1 +x j +7(-1 +x J +16(1 +x y +(T +x 8图1.8例 1.10近似多项式，因为所以输入求函数sinx在x=0处的3,5,7-,91阶泰勒展开，通过作图比较函数和它的 并形成动画进一步观察.n2k +sin X =艺(一1 k +o( x2n )则输出

13、为 是最后一幅图.4Do PlotSum(-1)Aj*xA (2j+1)/(2j+1)!,j,0,k,Sinx,x,-40,40,P lotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1,k,1,45sinx的3阶和91阶泰勒展开的图形.选中其中一幅图形，双击后形成动画.图1.9例1.11利用幂级数展开式计算 V240 （精确到10）.因为V24O仝也3 =3 1 -I 3根据（1 +x）m在X =0处的展开式有1 4114 9 152厂孑石尹/ f 1 1V243 1 -7I 5 34故前n（n 2）项部分和为k ztSn =3d nn 5i-1 丄i甘 34 k 三 5

14、k k!输入命令sn_=3(1-1/(5*3A4)-Sum Product5i-1,i,1,k-1/(5Ak k!3A(4k),k,2,n-1);rn_ =P roduct5i-1,i,1,n-1/5An/n!3A(4n-5)/80;delta=1OA（-1O）;nO=1OO;Do Printn=,n,sn=,Nsn,20;lfrnvdelta,Break;lfn=nO, Printfailed,n,nO则输出结果为V24o s：2992555739.傅里叶级数例1.12 (教材 例1.8)设g(x)是以为周期的周期函数，它在Lji，兀的表达式是I 1,兀空 VO g X - I 1,0 RG

15、BColor0,1,0; 则输出g（x）的图形（图1.10）.图 1.10因为g（x）是奇函数，所以它的傅里叶展开式中只含正弦项.输入b2n_:=b2n=2 Integrate1*Sinn*x,x,0, Pi/Pi; fourier2n_,x_:=Sumb2k*Sink*x,k,1,n;tun_:=Plotg x,Evaluatefourier2n,x, x,-Pi,5 P i,PlotStyle-RGBColor0,1,0,RGBColor1,0.3,0.5,Dis playFunction-ldentity;（*tun是以n为参数的作图命令*）tu2=Tabletun,n,1,30,5;（

16、*tu2是用Table命令作出的6个图形的集合*）toshow=P artitiontu2,2;（*Partition是对集合tu2作分割，2为分割的参数*）ShowGra phicsArraytoshow（*GraphicsArray是把图形排列的命令*）则输出6个排列着的图形（图1.11）,每两个图形排成一行.可以看到n越大，g（x）的傅里叶 级数的前 项和与g（x）越接近.1-1.1 - 1 -0.52.55 7.5 1012.5 15-2.5-0.5-1:2.515-17.5 1012.i5 150.5-2.5-0.510.5-k -, 10.5-2.52.557.51012.515-2.5-0.5-0.5-1 _-=i1- 11-rut_!10.50.5-2.5；2.557.51012.515-2.5-0.5-0.5-1七-1图 1.112.55 7.52.55 7.5 1012.5 151012.5 15实验习题1. 求下列级数的和：处k送丁；k壬22. 求幂级数n3. 求函数(1 +x)ln(1 +x)的6阶麦克劳林多项式