解三角形课件

1、第十讲,解三角形,ABC,中,1,A+B+C,C,A,B,C,2,2,2,2,2,3,A,B,a,b,sin,A,sin,B,C,b,A,c,a,B,正弦定理,a,b,c,2,R,sin,A,sin,B,sin,C,a,2,R,sin,A,b,2,R,sin,B,c,2,R,sin,C,边化角,sin,A,sin,B,sin,C,a,2,R,b,2,R,c,2,R,角化边,从理论上正弦定理可解决两类问题,1,两角和任意一边，求其它两边和一角,2,两边和其中一边对角，求另一边的对角，进,而可求其它的边和角,a,b,a,已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解,或一解（见图示,C,b,A,a,B,C

2、,C,a,b,a,C,b,A,ab,一解,a,B,b,a,a=bsinA,一解,B,A,B,2,B,1,A,bsinAab,b,a,一解,两解,余弦定理,求角,b,c,a,cosA,2bc,2,2,2,a,c,b,cosB,2ac,2,2,2,a,b,c,cosC,2ac,2,2,2,求边,a,b,c,2,bc,cos,A,b,a,c,2,ac,cos,B,c,a,b,2,ab,cos,C,2,2,2,2,2,2,2,2,2,余弦定理可解决两类问题,1,已知三边求三角,2,已知两边和它们的夹角，求此角对边，进而,可求其它角,c,b,a,b,c,面积公式,b,c,1,S,ab,sin,C,2,1

3、,bc,sin,A,2,1,ac,sin,B,2,典型例题分析,例在,ABC,中，角均为锐角，且,cos,A,sin,B,则,ABC,的形状是,A,直角三角形,B,锐角三角形,C,钝角三角形,D,等腰三角形,答案,cos,A,sin,2,A,sin,B,2,A,B,都是锐角,则,2,A,B,A,B,2,C,2,选,训练、在锐角,ABC,中，求证,sin,A,sin,B,sin,C,cos,A,cos,B,cos,C,证明,ABC,是锐角三角形,sin,A,sin,A,B,即,A,B,0,2,2,2,sin,C,cos,A,同理,sin,B,cos,C,sin,A,sin,B,sin,C,cos

4、,A,cos,B,cos,C,2,B,即,sin,A,cos,B,例、在,ABC,中，若,b,则,A,等于,2,a,sin,B,60,0,0,A,30,0,0,0,B,C,120,或,60,D,30,或,150,0,1,0,答案,b,2,a,sin,B,sin,B,2sin,A,sin,B,sin,A,A,30,2,或,150,0,选,D,例,3,在,ABC,中,AB,6,2,C,30,则,0,AC,BC,的最大值是,_,解,AC,BC,AB,AC,BC,AB,sin,B,sin,A,sin,C,sin,B,sin,A,sin,C,AC,BC,A,B,A,B,2,6,2)(sin,A,sin,

5、B,4,6,2)sin,cos,2,2,B,A,B,4cos,4,AC,BC,max,4,2,C,A,例,4,在,ABC,中，若,a,cos,A,b,cos,B,c,cos,C,则,ABC,的形状是什么,解,a,cos,A,b,cos,B,c,cos,C,sin,A,cos,A,sin,B,cos,B,sin,C,cos,C,sin,2,A,sin,2,B,sin,2,C,2sin,A,B,cos,A,B,2sin,C,cos,C,cos,A,B,cos,A,B,2cos,A,cos,B,0,cos,A,0,或,cos,B,0,得,A,或,B,2,2,所以,ABC,是直角三角形,例,5,在,A

6、BC,中，若,A,B,120,0,a,b,1,则求证,b,c,a,c,2,2,a,b,分析,要证,b,c,a,c,1,只要证,a,ac,b,bc,1,2,ab,bc,ac,c,即,a,b,c,ab,A,B,120,0,2,2,2,而,0,C,60,2,2,2,a,b,c,2,2,2,0,cos,C,a,b,c,2,ab,cos60,ab,2,ab,原式成立,C,3,b,2,A,c,cos,例,6,在,ABC,中，若,a,cos,2,2,2,2,则求证,a,c,2,b,2,C,3,b,2,A,证明,a,cos,c,cos,2,2,2,1,cos,C,1,cos,A,3sin,B,sin,C,si

7、n,A,2,2,2,即,sin,A,sin,A,cos,C,sin,C,sin,C,cos,A,3sin,B,sin,A,sin,C,sin,A,C,3sin,B,即,sin,A,sin,C,2sin,B,即,a,c,2,b,例,7,在,ABC,中，若,则,ABC,的形状是,_,1,2,1,cos,2,A,1,cos,2,B,cos,A,B,1,2,1,2,cos,2,A,cos,2,B,cos,A,B,0,2,cos,A,B,cos,A,B,cos,A,B,0,2,cos,A,cos,B,cos,C,0,例,8,在,ABC,中，若,b,分析,b,2,2,2,ac,则,cos,A,C,cos,

8、B,cos,2,B,的值是,_,ac,sin,B,sin,A,sin,C,2,由,cos,A,C,cos,B,cos,2,B,得,cos,A,cos,C,sin,A,sin,C,cos,B,1,2sin,B,cos,A,cos,C,sin,A,sin,C,cos,B,1,2sin,A,sin,C,cos,A,cos,C,sin,A,sin,C,cos,B,1,cos,A,C,cos,B,1,1,例,9,如果,ABC,内接于半径为的圆，且,2,R,sin,A,sin,C,2,a,b,sin,B,2,2,求,ABC,的面积的最大值,解,2,R,sin,A,sin,A,2,R,sin,C,sin,C

9、,2,2,a,b,sin,B,2,2,2,a,sin,A,c,sin,C,2,a,b,sin,B,a,c,2,ab,b,a,b,c,2,0,a,b,c,2,ab,cos,C,C,45,2,ab,2,2,2,2,2,2,1,2,2,S,ab,sin,C,ab,2,R,sin,A,2,R,sin,B,2,4,4,2,2,2,R,sin,A,2,R,sin,B,2,R,sin,A,sin,B,4,2,2,2,R,sin,A,2,R,sin,B,2,R,sin,A,sin,B,4,1,2,2,R,cos,A,B,cos,A,B,2,1,2,2,R,cos,A,B,2,2,2,2,R,2,1,2,2,2

10、,S,max,2,1,2,R,2,此时,A,B,取得等号,例,10,已知,ABC,的三边,a,b,c,且,求,a,b,c,a,c,2,b,A,C,2,解,A,C,A,C,A,C,A,C,sin,A,sin,C,2sin,B,2sin,cos,4sin,cos,2,2,2,2,B,1,A,C,2,B,14,B,B,7,sin,cos,cos,sin,B,2sin,cos,2,2,2,4,2,4,2,2,4,3,B,B,A,C,A,C,B,A,C,2,4,2,4,2,3,3,3,7,1,sin,A,sin,B,sin,cos,B,cos,sin,B,4,4,4,4,7,1,sin,C,sin,B,sin,cos,B,cos,sin,B,4,4,4,4,a,b,c,sin,A,sin,B,sin,C,7,7,7,7,7,例,11,在,ABC,中，若,a,b,c,a,b,c,3,ac,AB,边上的高为,4,3,且,tan,A,tan,C,3,3,求角,A,B,C,的大小与边,a,b,c,的长,解,1,2,2,2,0,a,b,c,a,b,c,3,ac,a,c,b,ac,cos,B,B,60,2,tan,A,tan,C,3,3,tan,A,C,3,1,tan,A,tan,C,1,tan,A,tan,C,tan,A,tan,C,2,3,又,tan,A,tan,C