概率论与数理统计公式整理

1、概率论与数理统计公式（1第1章随机事件及其概率m!（1 ）排列 组合公式（m n）!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。cmm! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!（m n）!（2）加法 和乘法原 理（3） 一些 常见排列（4）随机 试验和随 机事件（5） 事件、 空间 件基本 样本 和事加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mx n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由种方法来完成，则这件事可由mx n

2、种方法来完成。重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 一个事件就是由中的部分点（基本事件A, B, C,表示事件，它们是为必然事件，？为不可能事件

3、。来表示。表示。组成的集合。通常用大写字母的子集。（6）事件的关系与运算不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理,必然事件（Q）的概率为 1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。关系:如果事件A的组成部分也是事件A B如果同时有A B, B A,A=BA、B中至少有一个发生的事件：B的组成部分，（A发生必有事件则称事件 A与事件B等价，或称A B,或者 A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。B发生）：A等于B：A-B,也可A B同时发生：A B,或者AB A B=?，则表示A与B不可能

4、同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 A。它表示A不发生的事件。运算：结合率：分配率：互斥未必对立。A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C(AB) U C=(AU C)n (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)德摩根率:Ai 瓦i 1i 1AB A B，AB A B(7)概率的公理化定义设 为样本空间，A为事件, 足下列三个条件：123对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满0 w P(A) w 1,P( Q ) =1对于两两互不相容的事件Ai,A2，有Ai1

5、常称为可列(完全)可加性。P(Ai)i 1则称P(A)为事件A的概率。1,2n2P( 1) P( 2)P( n)(8)古典 概型设任一事件A，它是由P(A)= ( 1)( 2)1 , 2(m)丄-。nm组成的，则有=P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件数基本事件总数(9)几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,P(A)晋。其中L为几何度量(长度面积体积)。(10)加法 公式(11)减法 公式P (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB

6、) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=Q 时，P( B )=1- P(B)(12)条件 概率定义 设A、B是两个事件，且 P(A)0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)件B发生的条件概率，记为 P(B/A) P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB) P(A) P(B/A)更一般地，对事件 A, A,An,若P (AA几-1) 0,则有P( A1A2 . An)

7、P( A1) P(A2 | A1) P( A3| A1A2) P(An | A1A2.An 1)f o两个事件的独立性B满足P(AB) P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。B相互独立，且P(A) 0，则有P (AB)P(A) P(B) P(B)P(B)设事件A、若事件A、P(B| A)(14)独立 性若事件A、 立。必然事件P(A)B相互独立,P(A)则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独?与任何事件都相互独立。(15)全概公式和不可能事件?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C)

8、; P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P (ABC)=P(A) P(B) P(C)那么A B、C相互独立。对于n个事件类似。设事件B1，B2，Bn满足B1, b2, , Bn 两两互不相容，P(Bi) 0(i 1,2， , n)nBii 12 则有P(A)P(Bi)P(A| Bi) P(B2)P(A| B2)P(Bn) P(A|Bn)。设事件B1 , B2,，Bn及A满足B1,B2，Bn两两互不相容，P(Bi)o, i 1, 2,，nnB , P(A) 0 ,(16)贝叶 斯公式(17)伯努利概型P (Bi) P(A/Bi)2n , i=1 , 2,n。P (Bj) P(A/Bj)j

9、 1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi) , ( i 1 , 2，n),通常叫先验概率。P(Bi/A) , ( i 1 , 2，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；P(Bi/A)每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验 A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为用P表示每次试验 A发生的概率,示n重伯努利试验中 A出现k(0_ k k n kPn(k)CnPq k 0,1,2,n重伯努利试验。则A发生的概

10、率为1 P q，用Pn(k)表k n)次的概率,n。第二章随机变量及其分布(1)离散 型随机变 量的分布 律设离散型随机变量 X的可能取值为 X0, q=1-p。随机变量X服从参数为P的几何分布，记为 G(p)。设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f(x)在a , b1上为常数，即b a1f (x) b a0,则称随机变量 分布函数为aw xw b其他,X在a , b上服从均匀分布，记为XU(a, b)。xF(x) f (x)dx0,xb。当aw xiX2W b时，X落在区间(P(x1 X x2)-x2x1。Xl，X2 )内的概率为指数分布正态分布f(X) 0,其中 0， X的分布函

11、数为F(x)0,记住积分公式:则称随机变量X服从参数为 的指数分布。x0。xne xdx n!0设随机变量f(x)其中X的密度函数为1（X ）2、0为常数,的正态分布或高斯（Gauss）f（X）具有如下性质:1 f（x）的图形是关于2 当X则称随机变量X服从参数为2分布，记为X N（,）。对称的；11 为最大值; 2；的分布函数为e 2 dto 。时，f（）2、2若 XN（）x，则X匚/、八C 22F(x)忑参数 0X N(0,1)”(x)正1时的正态分布称为标准正态分布，记为其密度函数记为e分布函数为（x）才（X）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1（-X）= 1-（x）且 （0

12、）=。2 X 2如果 X N（ , 2），则N（0,1）。X2X1匸dt。P(XiX X2)(6)分位 数下分位表：P(X)=上分位表：P(X )=。(7)函数 分布离散型已知X的分布列为Xx1,X2,Xn,P(X xi)P1,P2,Pn,Y g(X)的分布列(y g(Xi)互不相等)如下：Yg(x1), g(x2), g(xn),连续型若有某些y g&if相等,*则应将对应的r Pi相加作为g(xi)的概率。先利用X的概率密度fx(x)写出丫的分布函数FY(y) = P(g(X) 0 (i,j=1,2,)；(2) Pij1.i j连续型对于二维随机向量 (X,Y),如果存在非负函数f(x,

13、y)(y )，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|axb,cy 0；(2)f (x, y)dxdy 1.(2)二维随机变量的本质(X x,Y y) (X X Y y)(3)联合 分布函数设(X, 丫为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量(X, Y) 数。的分布函数，或称为随机变量X和丫的联合分布函分布函数是个以全平面为其定义域，以事件(2)|X( 1)X, Y( 2) y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:F(x,y) PX x,Y y(1)0 F(x, y) 1;(2) F(x,y )分别对x和y是非减的，

14、即当 X2X1 时，有 F ( X2,y ) F(x 1,y);当 y2y1 时，有 F(x,y 2) F(x,y 1);和y是右连续的，即(3) F (x,y )分别对 xF(x, y)F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);(4) F()F(,y) F(x, )0,F()1.(5)对于 x1x2, y1y2,(4)离散型与连续型的关系F(X2, y2) F(X2, yj Fg, y?) Fg, yj 0.P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x, y)dxdy(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为P? P(X Xi)Pij(i，j 1,2,)；

15、jY的边缘分布为P?jP(Y yj)Pij(i, j 1,2,)。i连续型X的边缘分布密度为fx(X)f (x,y)dy;Y的边缘分布密度为fY(y)f(X, y)dx.(6)条件 分布离散型在已知X=x的条件下,Y取值的条件分布为连续型P(Y在已知P(Xyj|xXi)Y=y的条件下,Xi |Y yj)PjPi?X取值的条件分布为PijP?j在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x|y) f(x,y)fY(y)在已知X=X的条件下，丫的条件分布密度为f(y|x) f(x,y)fx(X)(7)独立 性一般型离散型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)Pij Pi?P?j连续型有零不独立f(

16、x,y)=fx(x)f 丫(y)直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态分布21X 12(X 1)(y2)、 1 2(1 2) 1 1 2 f (x, y) e2 1 2 2随机变量的函数=0若X1,X2,XmXm+1,相互独立，h,g为连续函数，则: h (X1, X2,Xm)和 g ( Xm+1,Xn)相互独立。特例：若X与丫独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与丫独立，则：3X+1和5Y-2独立。(9)二维 正态分布设随机向量(X, Y)的分布密度函数为f(x,y)2x 12 (x 1)(y2)1 1 2其中2,0, 2布,记为(X，丫)0，11是5个参

17、数，则称(X，Y)服从二维正态分22, 1 ,I,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，12),YN( 2, ；)但是若XN (12),Y N( 2, ；) , (X, Y)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算:Fz(z) P(Z z) P(X Yz)对于连续型，fz(z) = f (x, z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(22, 1n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Ci i , i2 C2 2 w iiZ=max,mi n(X1,X2,Xn)若X1,X2 Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1 (x),F

18、x2 (x)Fxn (x),则 Z=max,min(X 1,X2,Xn)的分布函数为:F max ( x)Fx,(x)?Fx2(x)Fxn(x)Fmin(X)1 1 Fx1(X)?1 Fx2(X) 1Fxn(X)t分布2分布设n个随机变量X1,X2, ,Xn相互独立,布，可以证明它们的平方和的分布密度为f(u)且服从标准正态分n220,我们称随机变量W服从自由度为其中Xi2nu2u 0,u 0.2 2分布，记为V（n）,e xdx.所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设Yi2(ni),kZYi 2(n1n2i 1设X，Y是两个相互独立的随

19、机变量，且X - N(0,1),Y 2(n),可以证明函数的概率密度为f(t)nk).Xa/yTht2我们称随机变量 T服从自由度为t1 (n) t (n).n的t分布，记为 Tt（n）。第四章 随机变量的数字特征（1）维机量数特随 变 的 字 征离散型连续型期望设X是离散型随机变量，其分布设X是连续型随机变量，其概率密期望就是平均值律为P( Xxk ) = pk ,度为f（x）k=1,2, - ,n ,E(X)xf (x)dxE(X)nXkPkk 1（要求绝对收敛）（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)Y=g(X)E(Y)ng(Xk) Pkk 1E(Y)g(x) f(x)dx方差D(X)=E

20、X-E(X) 2，标准差D(X)Xk E(X)2 PkkD(X)X E(X)2f (x)dx（X） Jd（x）,切比雪夫不等式(2) 期 的 质(3)方差的性质(1)(2)(4)E(C)=CE(CX)=CE(X)对于正整数k，称随机变量 的k次幕的数学期望为 X的 阶原点矩，记为V k=E(Xk)=Vk,即kXi Pi ,对于正整数k，称随机变量X的 k次幕的数学期望为 X的k阶原点 矩，记为Vk,即V k=E(Xk)=xk f (x)dx,k=1,2,对于正整数k,与E (X)差的k称随机变量 次幕的数学期k=1,2,对于正整数E(X)差的k次幕的数学期望为Xk,称随机变量X与望为X的k阶中

21、心矩，记为的k阶中心矩，记为 k，即kk E(X E(X)(XiE(X)k Piik=1,2,k E(X E(X)k(X E(X)k f(x)dx,k=1,2,设随机变量X具有数学期望 E (X)=卩，方差D (X) =b2，则对于 任意正数，有下列切比雪夫不等式P( X切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下，对概率P(|XI )的一种估计，它在理论上有重要意义。nE(X+Y)=E(X)+E(Y) , E( GXi 1E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：充要条件：D(C)=O; E(C)=C2D(aX)=a D(X); E(aX)=aE(X)2D(aX+b)= a D(X);D(X

22、)=E(X2)-E 2(X)D(X Y)=D(X)+D(Y)D(XnCiE(Xi)i 1X和丫独立；X和丫不相关。E(aX+b)=aE(X)+b，充分条件：X和丫独立；充要条件：X和丫不相关。 Y)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。期望方差0-1 分布 B(1, p)p(1 P)的期 望和二项分布B(n, P)npnp(1 P)方差泊松分布P()几何分布G(p)1P1 P2-P超几何分布H(n,M,N)nMnMM N 1nNNNN1均匀分布U (a,b)a b2(b a)212指数分布e()11正态分布N( ,2

23、)22分布n2nt分布0n , c、(n 2)n 2(5)期望n二维 随机E(X)Xi Pi?i 1E(X)xfx (x)dx变量n的数 字特E(Y)yjP?jj 1E(Y)yfY (y)dy征函数的期望EG(X, Y)=EG(X, Y)=i jG(Xi, yj)PijG(x,y)f(x, y)dxdy方差D(X)2XiE(X) Pi?iD(X)x E(X)2fx(x)dxD(Y)Xj E(Y)2p?jjD(Y)y e(Y)2fY(y)dy协方差相关系数协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩11为X与丫的协方差或相关矩，记为XY 11 E(X与记号 XY相对应,YY。XY或

24、 cov(X, Y)，即E(X)( Y E(Y )X与丫的方差D( X)与D( Y)也可分别记为 XX对于随机变量 X与丫，如果D(X) 0, D(Y)0，则称XY为X与丫的相关系数，记作XY (有时可简记为而当| 1,当I 1=1时，称X与丫完全相关:完全相关正相关当负相关，当0时，称X与丫不相关。以下五个命题是等价的: XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).XXXYYXYYP(X aY b) 11时(a0),1 时(a 0),对于随机变量X与Y,如果有E(X y1 )存在，则称之为 X与丫

25、的k+l阶混合原点矩，记为ki ; k+l阶混合中心矩记为:Uki E(X E(X)k( Y E(Y)1.(6)(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);协方(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);差的(iii)cov(X 1+X2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y);性质(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)(i )若随机变量X与丫相互独立，则XY0 ；反之不真。独立和不2相关(ii )若(X, Y)N (1，2，12，2，),则X与丫相互独立的充要条件是X和丫不相关。第五章 大数定律和中心极限定理(1 )大数定律切比雪 夫大数

26、定律设随机变量X1, X2,湘互独立，均具有有限方差，且被同一 常数C所界：D(X) C(i=1,2,)，则对于任意的正数，有Xi 1 E(Xi)1 n i 11.特殊情形:则上式成为X，X2,具有相同的数学期望 E (X)=卩,lim PnXin i 11.伯努利 大数定 律设卩是n次独立试验中事件 A发生的次数，P是事件A在 每次试验中发生的概率，则对于任意的正数有lim Pn1.辛钦大数定律伯努利大数定律说明，当试验次数的频率与概率有较大判别的可能性很小，即n很大时，事件A发生lim Pn0.这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。设X1, X2,，Xn,是相互独立同分布的随机变量序列，

27、且E(% )=卩，则对于任意的正数有lim Pn1.中心极限定2N(,)n列维林德伯格定理设随机变量X1, 的 数X2,相互独立，服从同一分布，且具有 学E(Xk),D(Xk)0(k 1,2,),则随机变量YnnXk nk 1的分布函数Fn（X）对任意的实数X,有1TTt2X e 2dt.nXklim Fn (X) lim P k 1 nnV n此定理也称为独立同分布的中心极限定理。（3 ）二项定理棣莫弗 -拉普 拉斯定 理设随机变量Xn为具有参数任意实数lim PnX,有X n npn, p(0 p,Xn)与2(X1, x,2 , ,Xn)( 12)，使得区间1, 2】以(01)的概率包含这

28、个待估参数，即P 12那么称区间1，2】为 的置信区间，1为该区间的置信度(或置信水平)。单 总 期 方 区 计正态 体的 望和 差的 间估设X1,X,2, ,Xn为总体X N( , 2)的一个样本，在置信度为 1下，我们来确定和(i )选择样本函数; (ii)由置信度1(iii )导出置信区间已知方差，估计均值2的置信区间【1,2。具体步骤如下:，查表找分位数;(i)选择样本函数Xu N(0,1).(ii)查表找分位数(iii)导出置信区间未知方差，估计均值方差的区间估计(i )选择样本函数xt T7Tt(n 1)-(ii)查表找分位数基本思想基本步骤SZ n(iii )导出置信区间- S -x ，xJn(i )选择样本函数(ii(iii第八章假设检验(n 1)S22查表找分位数(n 1)S2(n 1).)导出的置信区间假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是 不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设是否成立。我们先假定HO是成立的。如果根据这个假定导致了一个不