线性代数总复习及典型例题

1、线性代数总复习,第一章,行列式,第一节,n,阶行列式的定义,二阶行列式的计算方法,a,11,a,12,a,a,a,a,11,22,12,21,a,21,a,22,三阶行列式的计算方法,沙路法,a,11,a,12,a,13,a,11,a,21,a,31,a,12,a,22,a,32,D,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,a,a,a,a,a,a,a,a,D,a,11,22,33,12,23,31,13,21,3,a,a,a,a,a,a,a,a,a,11,23,32,12,21,33,13,22,31,一些常用的行列式结果,a,11,a,12,a,1,n,0,a,22,a,

2、2,n,aa,1,1,2,2,a,n,n,0,0,a,nn,1,2,2,1,3,2,n,n,1,1,2,1,2,n,n,1,2,n,n,1,4,D,a,11,a,1,m,M,M,0,a,m,1,a,mm,M,b,11,b,1,k,M,M,M,b,k,1,b,kk,a,11,a,1,m,b,11,b,1,k,M,M,M,M,a,m,1,a,mm,b,k,1,b,kk,第二节,行列式的性质,性质,1.1,行列式与它的转置行列式相等,性质,1.2,行列式的某一行（列）中所有元素的,公因子可以提到行列式符号的外面,推论,1,行列式的某一行（列）中的所有元素都,乘以同一数,k,等于用数,k,乘此行列式,

3、推论,2,如果行列式中有一行,列,为零，那么行列,式为零,性质,1.3,推论,对换行列式的两行（列,行列式变号,如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式为零,性质,1.4,如果行列式中有两行（列）对应成,比例，那么行列式为零,性质,1.5,如果行列式的某一行（列）的元素都是,两数之和,例如第,i,行的元素都是两数之和,a,11,a,12,a,1,n,M,M,M,D,b,i,1,c,i,1,b,i,2,c,i,2,b,in,c,in,M,M,M,a,n,1,a,n,2,a,nn,则,D,等于下列两个行列式之和,a,11,a,12,a,1,n,a,11,a,12,M,M,M,M,M,D,b,i,

4、1,b,i,2,b,in,c,i,1,c,i,2,M,M,M,M,M,a,n,1,a,n,2,a,nn,a,n,1,a,n,2,a,1,n,M,c,in,M,a,nn,性质,1.6,把行列式的某一行（列）的各元素乘以,同一数然后加到另一行,列,对应的元素上去，行列,式不变,倍加运算,计算行列式常用方法,1,利用定义,2,利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值,第三节,行列式按行,列,展开,引理,一个,n,阶行列式，如果第,i,行所有元素除,那么这个行列式等于,a,ij,与它的代,a,ij,外都为零,数余子式的乘积，即,D,a,A,ij,ij,定理,1.3,行列式的某行,列,的所

5、有元素与其对应,的代数余子式乘积之和等于该行列式的值,行列,式某行,列,元素与另一行,列,对应元素的代数余子,式乘积之和等于零,行列式按行（列）展开法则是把高阶行,列式的计算化为低阶行列式计算的重要,工具,D,当,i,j,a,A,ki,kj,0,当,i,j,k,1,n,D,当,i,j,a,A,ik,jk,0,当,i,j,k,1,n,第二章,矩阵及其运算,一、矩阵的概念,1,矩阵的基本概念,定义,2.1,由,m,个数,n,排成的,m,行,n,列的数表,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,A,M,M,M,a,m,1,a,m,2,a,mn,n,称为,m,行,n,列矩阵,简

6、称,m,矩阵,n,其中,m,个数称为矩阵,A,的元素，数,a,ij,称为矩阵,a,i,1,2,m,j,1,2,n,ij,A,的第,i,行第,j,列的元素,二、矩阵的运算,1,矩阵的基本运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,方阵的幂,转置矩阵,对称及反对陈矩阵,方阵的行列式,2,矩阵的运算规律,加法,1,交换律,A,B,B,A,2,结合律,A,B,C,A,B,C,数乘,1,结合律,A,A,A,A,A,2,分配律,A,B,A,B,乘法,1,AB,C,A,BC,其中,为数,2,AB,A,B,A,B,A,A,A,A,A,k,k,l,kl,B,C,A,BA,CA,3,A,B,C,AB,AC,方阵的幂

7、运算,1,2,k,l,k,l,AB,A,B,注意,k,k,转置运算,1,A,A,T,T,2,A,B,A,B,T,T,T,3,A,A,T,T,4,AB,B,A,T,T,T,3,方阵的行列式及其性质,定义,2.1,由,n,阶方阵,A,的元素按原相对位置所构成,A,的行列式,称为方阵,A,的行列式，记作,A,或,det,方阵的行列式满足下列规律,设,A,B,为,n,阶方阵,为数,1,2,A,A,T,A,A,n,3,AB,A,B,三、逆矩阵,列标,1,基本概念,定义,2.8,对于,n,阶方阵,A,如果存在一个,n,阶方阵,B,使得,AB,BA,E,则称,B,是,A,的逆矩阵，并称矩阵,A,是可逆矩阵或

8、满秩,矩阵，或非奇异矩阵,记为,A,1,说明,若,A,是可逆矩阵，则,A,的逆矩阵是唯一的,1,注意,不能将,A,写成,A,1,定义,2.9,a,由行列式,A,中,设有,n,阶方阵,A,ij,n,n,各元素,a,ij,的代数余子式,A,ij,构成如下,n,阶方阵,A,11,A,12,A,A,1,n,A,21,A,n,1,A,22,A,n,2,A,2,n,A,nn,称为矩阵,A,的,伴随矩阵,注意,伴随阵,A,与原矩阵,A,元素位置的对应关系,2,基本定理,定理,2.1,设,A,为,n,阶方阵,A,为其伴随矩阵，则,AA,A,A,A,E,1,A,0,且,A,A,A,可逆,A,其中,A,是,A,的

9、伴随阵,1,定理,2.2,设,A,为,n,阶方阵，则,推论,设,A,B,都是,n,阶方阵,若,AB,E,或,1,BA,E,则,B,A,3,可逆矩阵的性质,1,若,A,可逆,则,A,也可逆,且,A,A,1,1,1,2,若,A,可逆,数,0,则,A,可逆,且,A,A,1,1,1,1,1,1,A,B,B,A,3,若,A,B,为同阶可逆矩阵,则,AB,也可逆,且,4,若,A,可逆,则,A,也可逆,且,A,A,T,T,1,1,T,A,1,A,A,A,m,A,推广,A,2,m,1,1,1,1,1,2,5,若,A,可逆,则有,A,A,1,1,4,逆矩阵的计算方法,1,利用定义,一般适用于证明题,A,2,利用

10、公式,A,A,1,3,待定系数法,4,初等变换法,步骤如下,1,构造矩阵,A,M,E,2,对,A,M,E,施行初等行变换,将,A,化为,单位矩阵,E,后,右边,E,对应部分即为,A,1,四、分块矩阵,分块对角矩阵的性质,O,A,1,A,2,则,1,A,A,A,A,设方阵,A,1,2,t,O,A,t,2,如果,A,0,i,1,2,t,则,A,0,即矩,A,可,i,A,1,A,1,1,A,1,2,o,1,A,t,o,A,1,k,3,A,O,k,A,2,k,O,k,A,t,特殊地，如果,是对角矩阵,0,0,0,22,0,0,k,nn,0,nn,当且仅当,都不为零时,是可逆矩阵，且,11,22,nn,

11、11,k,0,k,0,22,k,则,0,0,11,0,0,1,0,0,1,11,0,1,22,0,0,0,1,nn,五、矩阵的初等变换与初等矩阵,列标,1,初等变换与初等矩阵,矩阵的初等变换包括,3,种：对换变换、数乘变换,和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换,定理,2.3,n,设,A,是一个,m,非零矩阵，那么,A,一定,可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最,简形，再进行初等列变换化为如下标准形,E,r,O,O,O,m,n,其中,r,就是行阶梯形矩阵中非零行的行数,注意,初等变换不改变矩阵的可逆性,对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化,为

12、行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形,定理,2.4,设,A,是一个,m,n,矩阵，对,A,施行一次,初等行变换，相当于在,A,的左边乘以相应的,m,阶,初等矩阵；对,A,施行一次初等列变换，相当于在,A,的右边乘以相应的,n,阶初等矩阵,R,R,R,AC,C,C,E,1,2,s,1,2,t,A,R,R,R,E,C,C,C,R,R,R,C,C,C,1,s,1,1,1,2,1,t,1,1,2,1,1,1,1,2,s,1,2,t,定理,2.5,n,阶方阵,A,可逆的充要条件是存在有限,P,P,使得,A,P,P,P,个初等矩阵,P,1,2,l,1,2,l,六、矩阵的秩,求矩阵秩的方法,1,利

13、用定义：寻找矩阵中非零子式的,最高阶数,2,初等变换法：把矩阵用初等行变换,变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵,中非零行的行数就是矩阵的秩,对于,n,阶方阵,A,如果,A,的秩等于,n,则称,A,为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵,对于,n,阶方阵,A,下列命题等价,1,A,为满秩矩阵,2,R,A,n,3,A,0,4,A,为可逆矩阵,第三章,线性方程组,非齐次线性方程组,Ax,b,A,M,b,其中,B,A,R,B,1,R,2,R,A,R,B,无解,有解,R,A,n,R,A,n,Ax,b,有唯一解,Ax,b,有无穷多解,并且通解中有,n,r,个自由未知量,非齐次线性方程组,Ax,的具体解法,b,1,对增

14、广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵,A,R,B,比较,R,以及,n,之间的大小关系，从而判断,方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解,2,在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施,行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形,对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多,个解，需写出通解形式,推论,当,m,n,时,n,元非齐次线性方程组,A,x,b,n,n,有惟一解的充分必要条件是系数矩阵,A,的行列式,A,0,齐次线性方程组,Ax,一定有解,0,1,R,A,n,Ax,0,只有零解,Ax,0,有非零解,2,R,A,n,并且通解中有,n,r,个自由未知量,齐次线性方程组,Ax,0,的具体解法,1

15、,对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵,比较,R,A,与,n,之间的大小关系，从而判断方程组解,的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解,2,继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为,行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解,如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式,推论,1,当,m,n,时,1,齐次线性方程组,3.2,只有零解,A,0,2,齐次线性方程组,3.2,有非零解,A,0,推论,2,当,m,n,时,即方程个数小于未知量个数时,齐次线性方程组,3.2,必有非零解,R,A,m,n,第四章,向量组的线性,相关性,第二节,向量组的线性相关性,一、线性表示,定义,4.5,设,n,维向量

16、,如果存在一组数,1,2,s,k,k,k,使得,1,2,s,k,k,k,1,1,2,2,s,s,则称向量,是向量组,1,2,s,的线性组合或称向,量,可由向量组,1,2,s,线性表示,定理,4.1,向量,可由向量组,线性表示,1,2,s,的充分必要条件是矩阵,A,的秩等,1,2,s,于矩阵,B,的秩，即,R,A,R,B,1,2,s,说明,判断某个向量是否可由某向量组线性表,示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而,取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相,等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩,阵为阶梯形矩阵来解决,二、线性相关与线性无关,定义,4.7,对于,n,维向量组,如果存在一组

17、,1,2,s,k,k,使得,不全为零的数,k,1,2,s,k,k,k,0,1,1,2,2,s,s,则称向量组,线性相关,如果上式只有当,1,2,s,k,k,k,0,时才成立,则称向量组,1,2,s,1,2,s,线性无关,定理,4.2,向量组,线性相关的,1,2,s,条件是它所构成,矩阵,A,的秩,1,2,s,向量个数,s,即,R,A,s,向量组线性无关的充分,必要,条件是,R,A,s,于是判断某向量组的线性相关性，可归结为齐次线,性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩,阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数,矩阵为阶梯形矩阵来解决,n,推论,1,若,s,则,n,个,n,维向量,线性

18、相关,1,2,n,的充分必要条件是它所构成的矩阵,A,1,2,n,的行列式等于零，即,A,0,向量组线性无关的充分必,要条件是,A,0,n,推论,2,若,s,即向量组中向量个数大于向量维数时,向量组必线性相关,因为,R,A,n,s,事实上，记,A,1,2,s,故,1,2,s,线性相关,三、相关定理,定理,4.3,1,向量组,A,s,2,线性相关,1,2,s,的充分必要条件是,A,中至少有一个向量能由其余,向量线性表示,A,2,设向量组,线性无关，而向量组,1,2,s,B,线性相关，则向量,一定可由向,1,2,s,量组,A,线性表示，且表示式是惟一的,第三节,极大线性无关组,而,A,定义,4.8

19、,设有向量组,j,j,j,1,2,s,1,2,r,是,A,的部分向量组,如果,1,线性无关,j,j,j,1,2,r,2,对于向量组,A,中的任何一个向量,k,都有,线性相关，则称,为向量,j,j,j,j,j,j,k,1,2,r,1,2,r,组,A,的,一个,极大线性无关组,简称极大无关组,注意,在条件,1,下,2,和下述条件等价,2,对于向量组,A,中的任何一个向量,k,都可由,j,j,j,1,2,r,线性表出,A,定义,4.9,向量组,的极大性无关组,1,2,s,所含向量的个数，称为,向量组的秩,记为,R,1,2,s,推论,n,阶方阵,A,可逆的充分必要条件是,A,的行,列,向量组线性无关,

20、向量组秩的求法,通过求向量组构成的矩阵的秩来,求该向量组的秩及其极大线性无关组,第四节,线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,a,1,n,x,n,0,a,11,x,1,a,12,x,2,a,x,a,x,a,2,n,x,n,0,21,1,22,2,a,mn,x,n,0,a,m,1,x,1,a,m,2,x,2,4.1,定理,4.7,如果,n,元齐次线性方程组,4.1,的系数,A,r,n,则方程组,4.1,的基础,矩阵,A,的秩,R,解系一定存在，且基础解系含的解向量的个数为,n,r,证明略,齐次线性方程组基础解系的求法,1,对系数矩阵,A,进行初等变换，将其化为,最简形,A,1,0,0,

21、0,0,b,11,1,b,r,1,b,1,n,r,b,r,n,r,0,0,A,r,2,得出,R,同时也可知方程组的一,r,个基础解系含有,n,个线性无关的解向量,x,b,x,b,1,11,r,1,1,n,r,x,n,由于,Ax,0,x,b,x,b,r,r,1,r,1,r,n,r,x,n,x,r,1,1,x,r,2,0,M,M,x,0,n,0,0,1,0,M,M,0,1,令,b,b,b,x,1,11,12,1,n,r,得,M,M,M,M,x,b,b,b,r,r,1,r,2,r,n,r,b,12,b,1,n,r,b,11,M,M,M,b,b,b,r,n,r,r,2,r,1,故,1,1,2,0,n,

22、r,0,1,0,0,M,M,M,0,0,1,为齐次线性方程组的一个基础解系,齐次线性方程组的通解为,k,k,k,1,1,2,2,s,n,r,二、非齐次线性方程组解的结构,x,a,a,11,1,a,12,x,2,1,n,x,n,b,1,a,x,a,x,a,2,n,x,n,b,21,1,22,2,2,a,m,1,x,a,mn,x,n,b,1,a,m,2,x,2,m,4.5,x,x,为,4.5,的解，则,性质,4.4,设,1,2,是其,1,2,导出组,4.1,的解,为,4.5,的解,x,是其导出组,4.1,性质,4.5,设,x,的解，则,也是,4.5,的解,定理,4.8,设,是非齐次方程组,4.5,

23、的一个取定的解,称为特解,是其导出组,4.1,的通解，则方程组,4.5,的通解为,x,说明,此定理表明,非齐次方程组的通解,齐次方程组的通解,非齐次方程组的特解,第五章,特征值、特征向量,及矩阵的对角化,定义,5.1,一,向量的内积,设有,n,维向量,x,1,x,2,x,M,x,n,令,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,1,1,2,2,n,n,T,y,1,y,2,y,M,y,n,内积,称,x,y,为向量,x,与,y,的,定义,5.2,x,x,x,x,x,令,x,2,2,1,2,2,n,范数,长度,称,x,为,n,维向量,x,的,或,正交,当,x,y,0,时,称向量,x,与,y,T,定义,

24、5.4,如果,n,阶矩阵满足,A,E,即,A,则,A,A,称,A,为,正交矩阵,T,1,定理,5.2,矩阵,A,为正交矩阵的充要条件是,A,的列,行,向量都是单位向量且两两正交,二、特征值与特征向量,求矩阵特征值与特征向量的步骤,1,计算,A,的特征多项式,det,A,E,2,求特征方程,det,A,E,0,的全部,1,2,3,对于特征值,i,求齐次方程组,就是,A,的全部特征值,n,A,i,E,x,0,的非零解,就是对应于,i,的特征向量,矩阵特征值与特征向量的性质,A,的互异特征值为,与之,定理,5.3,设,n,n,1,2,m,所对应的特征向量依次,为,x,x,x,则,x,x,1,2,m,1,2,x,线性无关,证明略