正弦定理余弦定理专题训练

1、学 科数学 年 级 高一版 本 编稿老师人教版大开本、3+x 梁文莉期 数 2339审稿教师【同步教育信息】一.本周教学内容： 5.9正弦定理、余弦定理目标：使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程，初步运用它们解斜三角形。 并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运 算能力、逻辑推理能力，渗透数形结合思想、分类思想、化归思想，以及从特殊到一般、 类比等方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。二.重点、难点：重点：正弦定理、余弦定理的推导及运用。难点：（1）正弦定理、余弦定理的推导过程；（2）应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。学法指导学习本节知识时

2、可采用向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理，以 加深对定理的理解和记忆，由于已知两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，此时 三角形可能出现两解、一解、无解三种情况，因此解此类三角形时，要注意讨论。深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注 意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知 道其中的三个量，便可求得第四个量。当有一个角为90时，即为勾股定理。因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已 知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一

3、般地，利用公式a= 2RsinA , b =2RsinB , c= 2RsinC （ R为 ABC外接圆半径），可将边转化为角的三角函数关系，然后利 用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A+B+C= n。知中b2 +c2 -a2a2 +c2 -b2abc2利用 cosA =, cosB=, cosC =2bc2ac2ab可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题。 在三角形中，有一个角的余弦值为负值，该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零， 便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值，便是锐角三角形。【例题分析】例1.在AABC中，已知B=30,

4、b=50J3, c=150，解三角形并判断三角形的形状。分析：已知两边及一边对角，可用正弦定理先求出c边的对角C,再用内角和定理求出角A，然后用正弦定理求出边a。至于三角形的形状，用角或边均可判断。解：由正弦定理，得sin C sin Bc1500 73sirC= sir1B= si t30 =b50 J 32Tc, B =30。 ” .C =60或 120。，得从而 A =180-(60。忧0。)=90或A =180(120。430 J = 30 由正弦定理一sin Csi nAa =si nc当A =90。时,1 a = 150 =1003 邑21当A =30和寸,a =3 150 =50

5、732-由边（角）的关系易知M B是直角三角形或等腰三角形。说明：（1）三角形的形状既可按角分类，又可按边分类，因而判断三角形的形状，既可依角 判断，又可依边判断。（2）正弦定理实际上包含三个等式：a b b c c as i A sirB si rB sitC s i C s i nA每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理可以用来解 决两类解三角形的问题：已知两角和任一边，求其他两边和一角。（此时三角形的形状是 确定的，故有唯一解）；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出 其他的边和角（此时不能唯一确定三角形的形状，故要注意解的情况）。例 2.在M

6、BC 中，已知 A aB AC,且A =2C, b =4，a+ c =8,求 a、c的长。a、 Co分析：先利用正弦定理及 A = 2C可用a、c的代数式表示 cosC,再利用余弦定理用 a、 c的代数式表示cosC，即可建立a、c的等量关系式，又 a+ c= 8,解方程组即得解：，且 A =2Cs i nA s i Ca c s i t2C s i nCcs i nc即2 s i nC c o Ca/. cosC =2c2从22_ _ a -c r 又 c 0 C =且 b =42aba2 -c2 +16.cosC =8aa a -c +16 ，八= (1)2c8a又亠:a + c =8/.

7、 a =8 - c代入(1)式并整理得a2 5c 一 36c +64 =016 , ”Ci, C2 =45当兰时，a =8 一雲24 5当c=4时，a(丁 A =2C,55=8 -4 =4/. a Hc,该组解不合题意，舍去)241655说明：合理利用正、余弦定理及角的关系，寻求边的恒等关系，运用方程的思想是处 理此类问题的关键。综上可知，a例3.根据下列所给条件，判断 ABC的形状。 (1)acosA =bcosB(2)分析:解：_ b _ ccosA cosB cosC(a2 +b2)sin(A -B) =(a2 -b2)sin(A +B)将所给等式中的角换算成边或将边全部转化为角进行判断

8、。(1)方法一：常 aco A =bco Bb2 +c2 -a2a2 +c2 -b2/. a= b2bc2ac”a4 -a2c2 +b2c2 -b4 =0 即(a2 -b2)(c2 -a2 -b2) =0 .a2 -b2 =0或c2 -a2 -b2 =0 /. a =b 或 c2 =a2 +b2.A B是等腰三角形或直角三角形方法二：设 一=k (显然 k H0)sin AsinB sin C，则a=ksiA , b=ksitB, c=ksirCT aco A =bco B/. k siiA coA=k sirtBcoB/.si t2A =si t2B/.2A =2B或2A =兀-2B兀” .

9、A =B 或 A +B =2/.aa b为等腰三角形或直角三角形 (2)方法一：2 4_|_2 2一 . c +b -a c 0 A =,2bcF a b cc o A c o B c o C. 2abc2abc”2 丄，22_2 丄 2,2c 十b a a 十c -b.2 +.222*2.2-.c 十b -a =a +c -bco B =a2 +c2 -b22ac2abc-2 + J 2a 十b-c2 + 12 2 =a 十b -ca a2 +b2 -C2 c o C 2abc2即e2c2-a22 =a+c2-b-b22 =a+ b2-c-a22 =a+ b2c222+c2+ b2+ b2/

10、. a =b =c/.AA B是等边三角形方法二:设一a-=si nAsinBc=k (显然 k hO),则sin Ca =ks ib =ks i rB, c =ks i rC b ccosAc o B co Ck sin B k sin CcosCcosB/. t a nA =t a rB =t a tCVA、.AB、C 引0, ；!)A =B =CB为等边三角形(3)常(a2整理得 b2s in (A B) +si n(A +B) =a2s in (A +B) si n(A -B) 即b2 2si nA c o B =a2 2 s i IB c o A2即 L 色仝.! =1 (2)a2

11、si B co A方法一：+ b2)si nA： -B) =2 -b2)s i nA( +B)(1)absi A si nBb2/.(2)式等价于asi Aasi Bb2 丄 2.2a +c -ba 2ac 1 b ”T =1b b +c -ac=k (显然k ho)，则sin C=ks i rC2bc 即a -b2c2 +a2c2 -I? =0 即(a2 -b2)(c2 -a2 -b2) =0 a2 -b2 =0或c2 -a2 -b2 =0 /. a =b 或 c2 =a2 +b2 沁A B是等腰三角形或直角三角形 方法二：设一=Lsin A sin B a =ks i A, b =ks i

12、 B, c 代入(1)式得：2 2 2 2k sin B 2 si A coB=k sinA sirBcoA si nA 0, s i B 0, k2 0/.2si rB coB=2siA -coA/.si t2B =si i2Af、B(0,兀)2A=2B或 2A+2B=；iJI.A =B 或 A +B =-2/.Aa b为等腰三角形或直角三角形说明:(1) 已知某条件，要判断三角形形状，一般将条件转换成只含边或只含角的式子。(2) 由于三角形各边和它所对角的正弦比相等，故可设比值为一个值k，这时可使解 题过程简化。实际上，这一比值为三角形的外接圆直径2R，即a b C=2 Rs i A si

13、 B s i C故正弦定理的形式也可写为：a=2RsiiA， b=2RsirB，c=2RsiC它在解决某些问题时可使解题过程简单化。例4.已知圆0的半径为R，它的内接三角形 ABC中，2R(sin2A -sin2 C) =(72a-b) sinB成立，求 MBC面积S的最大值。分析：观察已知等式的结构特征可知，先用正弦定理将角转化为边，再用余弦定理求 cosC,得出角C后，利用正弦定理，将面积S表示为某角的三角函数形式，再求最值。解：寫 2R(si n2A -s in 2C) =(72a-b)s inB/.(2R)2 si n A -(2R)2 si n C =(72a - b)2R s i

14、rB 由正弦定理得a2 -c2 =(J2a-b)b即a2 +b2 -c2 =Qab由余弦定理得_ a2 +b2 -c2cosC =兀/. C =-4J22ab1 ,” .S =absinC =ab244R2 si nA si B442 2=R2 co A(-B) -cosA( +B) 2R2coA(-B)-跖4牡R22-也-242 2.当A =B时，S有最大值=R2co A(-B) + 2说明:(1)本题由a2 +b2-c2= V2ab,联想余弦定理求出兀c=是解题的关键。4类似地，由a2 +b2 C2 =ab，可得C =-3由a2 + b2 -c2 =J3ab，可得出 C =6熟记这些结论，

15、可以快速解题。(2)斜三角形的面积常采用下面公式计算:111S =-absi nC =-bcs in A =- acs in B222【模拟试题】 一.选择题：TT T T T|BC|=2，(AB +BC)，(AB + BC)4. 在 MBC 中，|AB|=1,A. 75B.5-2J3C.J5-2/35. 以4、5、6为边长的三角形一 定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6. 在 MBC中，bcosA =acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7. 在 MBC 中，cosAcosB:si nA si nB，贝U MBC

16、 是（A.锐角三角形C.钝角三角形8.三角形的两边分别为的另一边长为（M + 则边 |Ac| 等于()D. J5 + 沁B.直角三角形D.正三角形5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形A. 52)B. 2用C. 16D. 4在 MBC 中,a = 2J3,b =272, B =45。，则A为（A.60或120*B.60C. 30或150在3BC中，卄 sin A右=cosB，则 N B =()abA.30B. 45。C. 60。D.90。在 MBC 中,a =b +c +bc，贝y A 等于()A.60*B. 45C. 120*D.30*1.2.3.)D.30二.填空题

17、：9. 在MBC中，10. 在 MBC 中,11. 在 MBC 中,12. 在 MBC 中,a + b =12, A =60。, B =45。，贝U a =_ 化简 b cosC + ccosB =已知 sinA:sin B:sinC=654，则 cosA =A、B均为锐角，且 cosAas inB, U比ABC是三.解答题：13. 已知在 MBC中，NA =45，a =2，c=76，解此三角形。14. 在四边形 ABCD中，BC =a，DC =2a，四个角A、B、C、D的度数的比为 3:7:4:10， 求AB的长。15. 已知 MBC的外接圆半径是 应，且满足条件272（si n2Asi n

18、2C）=（a b）si nB。（1）求角C o（2） 求 MBC面积的最大值。_【试题答案】 一.选择题：1. A提示:旦丄sinAsin AsinB= -sinB 出b22. B提示:3. C寫由题意及正弦定理可得tan B =1提示:1由余弦定理及已知可得cosA24. D提示：A AC2TTTT2 TTTTVAC =AB +BC，二 AC =(AB +BC)(AB + BC)=5+23”ac|=ac5. A提示：长为6的边所对角最大，设它为 a口，16 +25-361 C贝y cosa =- 02X4X580a sinBVA、B均为锐角,而 y =sinx 在(0,/. I -A 0,

19、2），B q0, 专）上是增函数专）B即A +B兀C =兀一(A +B)(-，兀)三.解答题：13. 解：由正弦定理得：Q c 一 晶、应 43 s i iC =-s i nA =X a22.NC =60 或 120。当 NC =60时，NB =18O(NA +NC) =75。a2%/6 +/I厂b =si rB =x=73 +1si lA4242当NC =120时，NB =18O-(NA +NC) =15. a . q 2J6-42b =s i rB = Xsi nAJI2.b =73 +1，NC =60，乙B =75 或 b=J31，厶 C =120，厶 B=1514. 解：设四个角A、B、C D的度数分别为3x、 则有 3x +7x +4x +10x =360 解得x =15。.A =45，B =105，C =60，D =150 连BD，在的CD中，由余弦定理得：2 2