多元函数微分学习题课PPT课件

1、1,6.8 多元函数微分学习题课,多元函数微分学的知识要点,首页 上页 下页 返回 结束,多元函数微分学的例题选讲,2,6.8.1 多元函数微分学的知识要点,首页 上页 下页 返回 结束,1、了解空间直角坐标系，熟悉常见空间曲面的方,程和图形,之间,空间中两点,的距离公式,3,首页 上页 下页 返回 结束,本章的概念都是先从二元函数给出，然后进行推,广,所以一定要熟悉常见空间曲面的方程和图形,例如,表示以定点,为球心， R为半径的球面,表示空间中的平面,全为常数，且,不全为零,4,首页 上页 下页 返回 结束,表示以xOy面上的圆,为母线，以平行于z轴的直线为准线的圆柱面,5,首页 上页 下页

2、 返回 结束,表示旋转抛物面,而,表示圆锥面,x,y,z,o,6,首页 上页 下页 返回 结束,2、理解多元函数极限、连续的概念，了解二元,理解好多元函数极限与一元函数极限的区别，会,以二元函数为切入点，理解好多元函数概念，会,连续函数在有界闭区域上的性质,求其定义域,证明二元函数在某点极限不存在,二元函数极限的定义,A是一个常数,设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个去心邻域,有定义,如果对任意给定的正数,总存在正数,使得当,时,7,首页 上页 下页 返回 结束,都有,则称常数A是二元函数z=f(x,y)当,时,的极限,记作,如果我们发现点P(x,y)以不同方式趋近于P0(x

3、0,y0,时，函数值趋于不同的值，那么就可以断定这个函数,当,时极限不存在,我们经常利用这一点来证明二元函数在某点处,极限不存在,8,首页 上页 下页 返回 结束,以计算一些简单的二元函数极限,多元函数的连续也可以用 “连续,极限值=函数,利用以前学过的求极限方法，通过变量替换，可,值”来理解,3、理解多元函数偏导数的概念，会求多元函数的,偏导数和高阶偏导数,偏导数的定义,固定y = y0，当x在x0有增量x时，相应地函数有增量,设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,9,首页 上页 下页 返回 结束,如果,存在,则称此极限为,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处

4、对x的偏导数,记为,或,z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数,类似可定义,记为,或,10,首页 上页 下页 返回 结束,多元函数求偏导数的实质仍是一元函数求导,例如求z=f (x,y)对某一个自变量的偏导数时，只需把,另一个自变量看成常数，这就是一元函数的求导问题,并没有引进新的方法,也就是说，求,看作常数，对x求导即可,时，只要把 y,作常数，对y求导即可,同理，求,时，只要把 x看,4、理解全微分的概念，会求多元函数的全微分,全微分的概念,设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域有定义,11,首页 上页 下页 返回 结束,若z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处

5、的全增量z可以表示为,其中A，B是不依赖于x ，y ，仅与x0，y0有关的常,数,则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处,可微,且称Ax +By为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的,全微分,记作dz,即,此外，要理解全微分、偏导数、连续之间的关系,以二元函数z=f (x,y)为例,两个偏导数连续,可微,两个偏导数存在,连续,12,首页 上页 下页 返回 结束,5、掌握多元复合函数的微分法,掌握多元复合函数的求导法关键在于对复合函数,多个变量之间的关系进行正确的分析，分清哪一个是,自变量，哪一个是中间变量，它们之间具有什么关系,避免求导步骤的遗漏或增添,在求二阶偏导数时，必

6、须要清楚一阶偏导中的,仍然是以u，v为中间变量， x，y为自变量的复合函数,抽象的多元复合函数求二阶偏导数是本章的难点,13,首页 上页 下页 返回 结束,6、熟练掌握隐函数的微分法,定理6-6,偏导数,则方程F(x,y)=0,在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续,导数的函数y=f(x) ，它满足y0=f(x0) ，并且,设函数F(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有连续的,本章的两个定理将求隐函数所确定函数的导数或偏,导数公式化,14,首页 上页 下页 返回 结束,定理6-7,的偏导数,F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个,具有连续偏导数

7、的函数z=f(x,y) ，它满足z0=f(x0,y0) ，且,则方程,设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续,6、熟练掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法,多元函数极值,无条件极值,条件极值,15,首页 上页 下页 返回 结束,无条件极值的求法,具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值求法,第一步 解方程组,求得一切实数解，即可求出一切驻点,第二步 对于每个驻点(x0,y0) ，求出二阶偏导数,的值A，B和C,第三步 定出,的符号，按定理6-9的结论,判定f(x0,y0)是不是极值，是极大值还是极小值,16,首页 上页 下页 返回 结束,条件极值的求法,拉格朗日乘

8、数法具体求解步骤如下,首先，构造拉格朗日函数,接着，求拉格朗日函数关于自变量一阶偏导数,并使之为零，然后与约束条件联立成方程组解出,最后，判别求出的可疑极值点是否为真的极值点,通常由实际问题的具体意义来判定,可疑极值点,17,6.8.2 多元函数微分学的例题选讲,首页 上页 下页 返回 结束,例1,在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等,解,距离的点,设该点为M(0, 0, z,由题设|MA| = |MB,即,解得,即所求点为,18,首页 上页 下页 返回 结束,解,19,首页 上页 下页 返回 结束,例3,证明,证明,在(0,0)连续,因为,由夹逼准则得,所以f (x,

9、y)在(0,0)连续,20,首页 上页 下页 返回 结束,例4,求,解,设,21,首页 上页 下页 返回 结束,解,例5,求函数,的二阶,偏导数,22,首页 上页 下页 返回 结束,解,例6,设二元函数,求全微分 dz,因为,由全微分定义得,23,首页 上页 下页 返回 结束,解,例7,设,求,及,如图,z,u,x,v,y,24,首页 上页 下页 返回 结束,解,例8,设,如图,求全导数,z,u,v,t,则,25,首页 上页 下页 返回 结束,解,例9,令,设,其中f 可微，求,及,则,于是,26,首页 上页 下页 返回 结束,例10,设,解,设,确定了函数,求,及,则,27,首页 上页 下页 返回 结束,解,例11,求函数,的极值,解方程组,求得驻点为(0,0)、(1,1),再求出二阶偏导数,在点(0,0)处，A=0，B=3 ，C=0，B2AC=90,28,首页 上页 下页 返回 结束,所以函数在(0,0)处无极值,在点(1,1)处，A=6，B=3 ，C=6，B2AC=270,又A0，所以函数在(1,1)处有极小值f(1,1)=1,例12,某企业在雇用x名技术工人、y名非技术,工人时，产