复变函数：4.2 幂级数_第1页
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文档简介

1、第二节 幂级数,一、幂级数的概念,二、幂级数的敛散性,三、幂级数的运算和性质,四、典型例题,五、小结与思考,2,一、幂级数的概念,1.复变函数项级数,1)定义,其中各项在区域 D内有定义.表达式,称为复变函数项级数, 记作,3,称为这函数项级数的部分和,2)级数最前面n项的和,3)复变函数项级数的收敛,4,称为该函数项级数在区域D上的和函数,如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定,5,2. 幂级数,函数项级数的特殊情形,或,这种级数称为幂级数,6,二、幂级数的敛散性,1.收敛定理,阿贝尔Abel定理,7,证,由收敛的必要条件, 有,因而存在正数M,使对所有的n,8,而,由正项级数的比较判别法

2、知,收敛,另一部分的证明请课后完成,证毕,9,2. 收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种,1) 对所有的正实数都收敛,由阿贝尔定理知,级数在复平面内处处绝对收敛,10,例如: 级数,对任意固定的z,从某个n开始,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛,11,2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散,例如,级数,通项不趋于零,如图,故级数发散,12,收敛圆,收敛半径,13,答案,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析,注意,问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何,14,例如, 级数,收敛圆周上无

3、收敛点,在收敛圆周上处处收敛,15,3. 收敛半径的求法,对于幂级数,仅在z=0处收敛,仅在z=0处收敛,在复平面内处收敛,在复平面内处收敛,16,答案,17,三、幂级数的运算和性质,1.幂级数的有理运算,18,2. 幂级数的代换(复合)运算,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数,19,3. 幂级数分析性质,20,简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析,幂级数可逐项求导, 逐项积分,常用于求和函数,即,21,四、典型例题,例1 求幂级数,的收敛范围与和函数,解,级数的部分和为,22,级数,收敛,级数,发散,且有,在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,23,或,因为,24,所以

4、收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的,级数,25,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点,原级数成为,交错级数,收敛,发散,原级数成为,调和级数,2,26,解,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,27,级数收敛,且其和为,28,解,利用逐项积分,得,所以,29,解,30,例6 计算,解,31,五、小结与思考,这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质,32,思考题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定,33,数敛散性讨论,思考题答案,放映结束，按Esc退出,34,阿贝尔资料,Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Sta

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