高教热统答案第九章

1、第九章系综理论习题9.1证明在正则分布中熵可表为 S = -kvIn匚其中6二丄e-乓是系统InZsZ处在s态的概率证：S=k（IZ_：）多粒子配分函数Z产k-v EkekcP由（1）知es- -EI nZ I nTs;-Es 二丄I nZ I n J代至（2）得立八 1 I nZ I= 1 InZ 1 * n；cP s于是S=khn Z-盯1nZcP习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵证：-EEsN=zi=1PiX2m2PiyPi；符号 dp 二dpixdpiydpizi符号 dq i 丨 dXidyidZii:NPme i -Z1N!h3Nvn:肓(pp_N!h3

2、N -fe曲堀墟）dpdq卄Z)dp利用式（953） =：?ZVNN!h3N _-：-N 咼扌（p2城加2）e midp/r3N/22m江r tWk类似求u,s习题9.3体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为和屯，温度为T。试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。解：2 確 JfpjX 4pfy 4pZ11 dpixdpiydpizdXidyidZi dpjdqij2=.p =丄2 =巴=. PV 二(r)1 n2)kTP eVV习题9.5解：Z利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。3N /2Q乎占3N/2 N!qL丄N!= (3/2)W 21 ：QN N N J&丁Q2N

3、 1N2Vnj f12dr2f12dr；：Q N2cP:f12= dr; f12 乂 -1=主二 -VN 4 drVN_ e dr;U= 3NTk/22般认为2较小;U =3NTk/2VN2VNJe；dr2N 21f12dr2V3kNT/2 -a/V习题9.6试用被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用,正则分布证明，二维气体的物态方程为 pS二NTkl B/S 1,其中:B号e T 2仙S为液体的面积为两分子的互作用势。解:维气体N!hIN e1?m（Pi2 郴2）程* 丨dpixdPjyHd/i其中11（Z）nq2N 八-、4_2）N!k - N!h e i :jdq

4、edpdqQ = e2（ px2m ixdridr2drn定义仏= -1=Q = ： （1fj ）dridadrn =（只保留前部分）.（1 二 fj ）dridrni ：ji ：j=SN 亠 i.l fijdndrn；其中 fijdndrn =VN彳加局“i ：jQ =SN变量代换R = n D /2;r = Q - A二 Q 二SN N SNJ f12dr2InQ=NInS In1 Nf12dr : Nln S 以f12dr据式（9.5.3）IL 2V2S1 ；:l nZP郁1 ；:l nQ；S= PVNTkJ f12d,kNT1 B1 2S1 S_|习题9.7仿照三维固体的地拜理论，计算

5、长度为L的线形原子链在高温和低温下的内能和热容量。解：一维线形原子链，=ck,k=2n/L, n=0,_1,dn二Ldk / 2二；D （）d = Ld / 2c二共有N个振动，存在最大频率- DdlD （；：；） d = N =.d =N=d 2 Nc / L02c-U 二U。. 屉L.D（ ）- ,d，二UJT2叱ef管d令帕/ kT = xn认=kTdx+2c 二xdxk2 xT 2dxLT2k2（ex -1）02 二 c ex -1LT 2k2高温近似 x ：: 1; U : U0dU 0 kNT2Mc低温近似ULT2k22iLc去dx 二U 0 二 2kNT2/6九其中 kDL e

6、. 1习题9.8仿照三维固体的德拜理论，计算长度为 L的线形原子链（一维晶体） 在咼温和低温下的内能和热容量。解：二维：横波分布为2 二 Skd#,卫 d 2 二 c12纵波按频率分布为2二Skd#.：S - 2 d:2 二 c2D d - D横 dm D纵，d +c2B=C2-DD( )d 0-D=2N =2-DB = 2 N =24NBd U 二U D-U00e 石-1面积S内，dkxdky波矢范围内辐射场振动自由度为sdkxdky sk d kd2 24 二4 二=U =UeX-1 % 5低温近似U U 0 B3 ： 2x七 dx 二U2.4 00 e -1令讦*d.=kTdxDkT 2

7、-V dx0 e -1 0时;o D Dk- d 二 B o d 1/2d 二 N=U D _ d =U0 eJ1-d.,U = U 0 B D0e 讦-1kT= -D3 .2d e肓-1魚D kTU 二Uo B oex -13 Ix2dx5UV b衣232x2.-dx0 e 1于是习题9.14用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程, 势。解：参照9.17关于玻耳兹曼体系配分函数的处理内能,熵和化学oOln = ln .二八 In 二 |l =DlI -0过渡到连续能量分布得：假卄:F )V 严mdPSPydP产edpih3e-：322 m271肝丿GV2m 丫P= -e-?习题9.16

8、设单原子分子理想气体与固体吸附面接触达到平衡，被吸附的分子可2以在吸附面上作二维运动，其能量为 丄一 ；0，束缚能；0是大于0的常数。试根2m据巨正则分布求吸附面上被吸附分子的面密度与气体温度和压强的关系。 解e-N2NE=E n 卫 N! hANe邛h Pe-E(q,p)dN =0_ 2i(2m -Q 丿A2m. 2N 0 -.N2m dp1 dpN( 丿 e 0-NN =0因而,in= “J；0 cE N 一 det得出,e p(kT 2 二mkT2A：mp( h2,2 (亠 丿 e ， h2 二 mkTkT 2 mkTA kT 2 mkT习题9.17利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布。 解： 二 二：N-e 一少，Es ;由于玻耳兹曼系，粒子可分辨，从而S为简单起见，考虑无简并（有简并情况完全可类似处理）1 訂-Ei ai 3|!宀31 71可印玄旦! ajiaiE| ai =CxpV: 3 1 】 3| z0 3 | !于是： =_: expe_- 3| 1i =0a；- Nai ez-_N |.ESaiab：T aiajnzl a-n b 丄 emam