2014竞赛第二讲_一般物体的平衡答案

1、2014第二讲一般物体的平衡一、相关概念(-)力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。(二) 力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL,单位“牛米” o 一般规左逆时针方 向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。(三) 有固左转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即53仁0,或(四) 重心：计算重心位宜的方法：1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向(或 反向)平行力合成法求重心位宜。3、公式法：x= 仝“+、+,当坐标原点移到重心上，则两

2、边的重力矩平衡。诃+】2&+二、常用方法1巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式 子简化得多： 复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解： 无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理, 或者助物体重心公式计算。三、巩固练习1如右图所示，匀质球质量为半径为R；匀质棒B质量为叭长度为人求它的重心。【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C。C在AB连线上，且AC M=BC m：H?第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质疑为-M的球A的

3、 电丿合成，用反向平行力合成的方法找出重心C, C在AB连线上，且BC(2M+m)= AfC - Mo不难看出两种方法的结果都是BC =MR + -2丿AR+/2BCIMg1mg(M+m) g2. 将重为30N的均匀球放在斜而上，球用绳子拉住，如图所示绳与水平而平行，C点为球的最高点斜而 倾角为37求:(1) 绳子的力.(2) 斜而对球的摩擦力和弹力.答案：(1) 10N；(2) ION, 30N解：(1)取球与斜面的接触点为转轴：】g/?sin37-T(R + Rcos372) = 0,得710N;(2)取球心为转轴得，0Q1ON;取C点为转轴：/(/? + /?cos37)-NR sin

4、37 =0,得#30N3. 个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙而和水平地而间的静摩擦因数都为U ,如果在球上加一个竖直向下的力只如图所示问：力尸离球心的水平的距离S为多大，才能使球做逆时针转动? 解当球开始转动时，f,厶达到最大静摩擦F + G = Nl+f2分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.Fs = fr + f2r/； =pN因/卩厶为最大静摩擦Afi =心将以上方程联立可得:(F + G)“(l + “)/ d)-4. 如图所示，均匀杆的夹端用钱链与墙连接,杆可绕力点自由转动，杆的另一端放在长方形木块上,不计木 块与地之间的摩擦力，木块不受其它力作用时，木块对初杆的弹

5、力为10N,将木块向左拉岀时，木块对杆 的弹力为9N,那么将木块向右拉出时，木块对杆的弹力是多少？（答案：11.25N）解:木块静止时弹力为10N,可得杆重Q20N向左拉时:A；Zcosa+“MZsingGcosa,或A；“sing* 6cos2；icoscr向右拉时：；：Zcos2-/37.(第六届预赛有6个完全相同的刚性长条薄片扎B, (i=l, 2)，其 两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架 在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起氏恰在碗口上，另一端小 突起儿位于英下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的 质点放在薄片Ae&上一点，这一点与此薄

6、片中点的距离等于它与小突起免 的距离，则薄片Ab中点所受的(由另一薄片的小突起A,所施的)压力。 答案：mg/42解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，Ab、扎氏、.孑的 受力情况完全相同，因此将Ab、A：B沃Ab作为一类.对其中一个进行 受力分析，找出规律.求出通式即可求解.以第,个薄片AB为研究对象，受力情况如图甲所示，第，个薄片受到前一个薄片向上的支持力 N,碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Nz选碗边B点为轴，根据力矩平衡有NL讥占，得N严苧所以N尸新2冷冷N严=($九再以Ab为研究对象，受力情况如图乙所示，Ab受到薄片A,B；向上的支持力皿、碗向上的支持力 和后一个薄片Ab向下

7、的压力N,、质点向下的压力mg.选Be点为轴，根据力矩平衡有+ L = N. L24由、联立,解得Ne/42所以,Ab薄片对鈕的压力为mg/M.& （第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平而一块叠一块地搭成单 孔桥，已知每一积木块的长度为L,横截面为h =-的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），4试画出该桥的示意图，并汁算跨度与桥孔高度的比值。解设1号右端而到2号右端而的距离为拉，x严Z，,2 12号右端而到3号右端面到的距禽为,以第2号木厂亠“、_ I- IH-/I，1U块的左端为转轴力矩平衡：G厶+ G= 26（厶-花），可以得1S 同理：第3号右与第4

8、号右端的距离为血以第3号木块的左端为转轴力矩平衡 2GL + G- = 3G（L-对求得 x3 = -2 6第*号的右端面的距离为*左，则第&号由力矩平衡知：（k-l）GL + G- = kG（L-xk） 求得：2解得7n-1 jn-1 J则桥拱长的一半为一=斗+兀2 + + =工=工 2K-i 2k &. k由图1可知/7=（_1）力=丄（料_1）厶4477-1H-l 1将严10代入可得.i=L2589有一质量为m二50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地而间静摩擦因数“ =03,杆的上端固定在 地而上的绳索拉住，绳与杆的夹角0 = 30,如图所示。（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面

9、的距离h、=2L/5（L为杆长），要使杆不滑倒，力F最 大不能越过多少？（2）若将作用点移到/2 =4L/5处时，情况又如何？解析：杆不滑倒应从两方而考虑，杆与地而间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关， 讨论力与h的关系是关键。杆的受力如图57甲所示，由平衡条件得F-Tsin 00JIP当九=0.66厶时对F就没有限制了。2（1）当h=-Lh（v无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。10.用两个爬犁（雪撬）在水平雪地上运送一根质虽为加长为/的均匀横粱，横梁保持水平，简化示意 示图，如图1-41所示.每个爬犁的上端月与被运送的横梁端头固连，下端万与雪地接触，假设接触而

10、积很小一水平牵引力F作用于前爬犁.作用点到雪地的距离用力表示.已知前爬犁与雪地间的动摩擦 因数为*后爬犁与雪地间的动摩擦因数为& 问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁沿1 2雪地匀速向前移动.力应满足什么条件?水平牵引力尸应多大?设爬犁的质量可忽略不计.y r=o分析正确地物体进行受力分析,应用物体平衡的条件厶是求解平衡问题的基本出发点，准=0确地领会题中隐含信息，则是求解的关键所在,本题体现了这一解题思路.解整个装置的受力如解图1-24所示，其中与用分别为雪地对爬犁的支持力,和分别为摩擦力， 根据平衡条件有F =mg =N、（2）Fh + N J = mgl2根据摩擦力与正压力的关系

11、有：f=k、Nf2=2N2h越大以爬犁与地的前接触点为轴,尸的力矩越大故用越小.h最大时对应治0的情况将用=0 代入以上各式，可以解得：./厂 1 Kk+kJh = F =一mg2&2/-伙厂&）力故:力应满足的条件是:/ 2k、11.半径为莅质量为加的三个刚性球放在光滑的水平而上，两两接触用一个圆柱形刚性圆筒（上.下均 无盖）将此三球套在筒圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间保持接触，但互相无作用力. 现取一个质量亦为皿半径为斤的第四个球，放在三个球的上方正中四个球和圆筒之间的静摩擦系数均 为“=3/届（约等于0. 775） 问斤取何值时,用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提

12、起来？答 案：（牛一l）rRW（響一 1）人解：当上而一个小球放上去后，下而三个小球有向外挤的趋势，互相之间既无弹力也无摩擦力因此 可以通过下而某一个球的球心和上而球的球心的竖直而来进行受力分析，受力图如图所示.对上而小球，根据竖直方向受力平衡有3用sin沪3王socG二山（或下面的小球，对球与筒接触点为转轴，力矩平衡用rsin沸mg卢/Lr（l+cos8）再对四个小球为整体，在竖直方向3年4 下而的小球，对球心为为转轴，有力矩平衡条件 23 得二壬一一对下而的小球，取去和壬作用线的交点为转轴，有力矩平衡得仏故大球与小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动，当斤最大时：=

13、“巫有上述四式得：128soc24cos677=0,解得：cos0=,16因 cos0 = J3r/（rR）=,所以 /? = （ -1 a31633但上而的小球不能太小，否则上球要从下而三个小球之间掉下去，必须使故得（竺-i）r /?有几何关系:BCtan& = =ACDH-DE _ DH _ DE2AH 2AH 2EB= co_丄 tan.2 可解得:a = tan11一儿“26如图所示梯子长为2厶重量为&梯子上的人的重疑为G,人离梯子下端距离为仏梯子与地面夹 角为，梯子下端与地而间的摩擦因数为，梯子上端与墙的摩擦力忽略不讣，试求梯子不滑动时的力 值.解杆的受力情况如图所示： 由于杆静止，

14、工F = O,A/=ON = fN = G + GG2Lcos& + G7zcos& = N2Lsin &解方程可以得出：/?=2/(G + Gg&-G/ (原答案有误)J *NGfGf所以，只要/2梯子就不会滑动。7 如图所示，方桌重G二100N,前后腿与地而的动摩擦因数“ = 0.20,桌的 宽与髙相等。求：(1) 拉力F.地面对前、后腿的支持力和摩擦力。(2) 设前、后腿与地而间的静摩擦因数/0 = 0.60。在方桌的前端用多大水平 力拉桌可使桌子以前腿为轴向前翻倒？解:1)据物体一股平衡条件有(B)Z GA)为几=卩一(久十九)=0另 Fy=Ni+M-G=0工 Ma = F + h G

15、 = 0t. =“ N f2 =“ N?联立以上四戌可得出：F-20N, N?=30N,兀=70N, /, =14 N, /?=6N。庞相连，二棒长度相等限 (与為BC(Z) b处弾力和摩擦力均恰好为零时，以A点为轴： 由 FS-G 号=0 得 F驚=50 No 何同时片1波=丛心=60 N(杏则方桌会滑动)8如故5ON XXZ I H WX A4. H J A=F-f Z3JM- V|口 J/|/J在一个平而)可使二棒静止在图示位置，即二棒相互垂直.且Q在月端的正下方(1)不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向围?试说明理由(2) 如果曲棒的质量为加，證棒质量为巴求此外力的大小和力向.(

16、3) 此时BC棒对月3棒的东用力的大小是少解(1)外力的围应在竖直线右且在肚棒以上.将两根棒看作整体，整体受的重力力矩为顺时针，若整体保持平衡，力尸的力矩须产生逆时针力矩。即力尸应指在线的右侧。以氏为研究对象，万点为轴，證的重力有逆时针力矩，外力尸的力矩须产生顺时针力矩即尸应在氏以上。(2)以BC为研究对象,合力为0,合力矩为0,角 了 = 45-& 如解图所示F cos / = G2 cos 45 + N、 = (G,+G2)-sin 452可以求出解图M7-1sin 0 =+ m2y2m2 + 8mm2 + Om22即& = arcsinmx + m2X、nz0f Gi+G(3)BC杆对AB杆的力可以分解为N：、N；其反作用力为N“心 如解图1-17-3所示：以川点为轴力矩平衡。G上sin45 = yZ2以C点为轴，BC力矩平衡：G.-sin45 = 7V.L2 由可得：=叱叵心山144解图1-17-2由于与龙为相互作用力，所以N；=竺护證对曲的作用力为N；、N；的合力为：9在竖直墙而Z.有两根相距为2a的水平木桩X和必 有一 细木棒置于川之上，万之下时与竖直方向 成 角静止，棒与凡万的摩擦因数为现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠如图所示，求此0,时棒的重心的位置离A桩的距离.解对棒受力分析由棒静止,合力为0,N+Gsin& = M/* +/； = GcosO设重心到A的