3.4.1基本不等式的证明

1、课题：3.4.1基本不等式的证明（1)教学目标：探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；重点难点：理解基本不等式 等号成立条件及“当且仅当时取等号”的数学内涵课 型新授课课堂教学模式学生活动教学过程：一、创设情景1. 提问：a b与TOF哪个大？22. 基本不等式庙 口 的几何背景：2如图是在北京召开的第 24界国际数学家大会的会标，会标是 根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去象 一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相 等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系 或不等关系）.二、学生讨论冋题1我们把“风车”造型抽象

2、成上图.在正方形 ABCD中 有4个全等的直角二角形.设直角二角形的长为a, b，那么正方形 的边长为多少？面积为多少呢？生答：Ja b2,a2 b2.问题2那4个直角三角形的面积和呢？生答 2ab.问题3好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积， 我们可得容易得到一个不等式，a2 b2 2ab .什么时候这两部分面 积相等呢？ 生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x y时，正方形EFGH1变成一个点，这时有a2 b2 2ab.三、建构数学1 重要不等式：一般地，对于任意实数a , b，我们有a b 2ab，当且仅当a b时，等号成立.问题4:你能给出它的证明吗？（学生尝试证明后口答

3、，老师板书）证明：a2 b2 2ab （a b）2,当 a b时,（a b）20,当 a b时,（a b）20,所以a2 b2 2ab注意强调：当且仅当 a b时，a b 2ab注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；（2）公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较 复杂的变量式，因此应用范围比较广泛.问题5:将a降次为石,b降次为舟,则由这个不等式可以得 出什么结论？2.基本不等式：对任意正数a，b，有a b VOb,当且仅当2a b时等号成立.（学生讨论回答证明方法）证法1:拓b（需）（拓） 2需拓（需 Vb）0当且仅2 2 2当需晶即a b时，取“”.证法2 :要证屈殳卫

4、，只要证2后a b，只要证20 a 2妬 b，只要证0 （需 Vb）2 .因为最后一个不等式成立，所以后莖上成立，当且仅当ja拓即a b时，取“=”号.2证法3:对于正数a,b有（、.a ,b）20,a ba b 2 .：ab 0 a b 2 ab, - ab2说明： 把a b和ab分别叫做正数a,b的算术平均数和几何2平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意：（1）基本不等式成立的条件是：a 0,b 0 ；（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法 1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）;（3） a b ab的几何解释：（如图1）以a b为直径作圆，2在直径AB上取一点C , 过C作弦DD AB ,则BCD2 CA CB ab，从而 CD . ab，而半径 ab CD ab2基本不等式Vab -几何意义是：“半径不小于半弦”；2（4）当且仅当a取等号，即22a bb时，取“”的含义：一方面是当a b时另一方面是仅当a b时取等号，即(5)如果 a,b R，那么 a2 b2 2ab（当且仅当a b时取“ ”）;（6）如