直接证明与间接证明练习题

1、2、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1. 综合丄是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的 证明方法。2. 分析法 是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的 充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条 件、定义、公理、定理等)为止的证明方法。3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾，由此说明 假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法;它是一种间接的证明方 法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论

2、不成立；(2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 断言假设不成立肯定原命题的结论成立题型一：用综合法证明数学命题例1 :对于定义域为0,1 的函数f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的X忘 0,1】，总有 f(x)3 0; f(1 卜 1 若 X1 0,X2 0X1+ X2 f(0) +f(0)= f(0)0，故f (0) =0 .(2)显然g(x)=2x-1在0 , 1满足条件g(x)30 ;也满足条件g(1) =1.若X1二0 , X2二0 , X1 + X2乞1，则g()C X2)- g(X1)+ g(X2) = 2心-1 - -1)+ (2X2 -1)-2X1如2 - 2为-

3、2冷十1 =2 - 1)(2为-1尸0，即满足条件, 故g(x)理想函数.注：紧扣定义，证明函数g(x)=2X-1 ( 0,1)满足三个条件题型二：用分析法证明数学命题例2:已知：0 ca d，求证:14 C-+9 .a 1 -a证明：0 ca 9，a 1 -a去分母后需要证：(1 - a) +4a 9a (1 a)，移项合并同类项，即需要证：9a2 6a+1 0,2即要证；(3a-1 ) 0 (1)而(1)式显然成立，原不等式成立。题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 :已知f(X)=aX+于辛刈，证明方程f(X)=0没有负数根解析：假设Xo是f(X)=0的负数根，贝U XoO且

4、XoH-1且aX0 =Xo - 2x。+ 1二1= 0 丈2 1，解得 1X02，这与Xo十1故方程f(x)=0没有负数根Xo 0a3 K 则使得都成立的x取值范围是1A. ( 0，)a,2B (0,-)6C.1(0,-)a3D.2(0,-)a3)，由ai2 2a2 a3得出结论。填空题f(x-x-4 +2x*C1 _f()+ f()+(-1 0 10 0 1 0 1答案：5005.如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P (0, p)在线段AO上的一点(异于端点)，这里a,b,c, P均为非零实数，设直线BP,CP分别与边AC,

5、 AB交于点E, F ,某同学已正确求得直线OE的方程为+心_丄I =0，请你完成直线OF的 c/ Ip a/11)0lb方程：_(x+f11 ly =0。Ip a丿答案：1-1c b6.将全体正整数排成一个三角形数阵:111234 567891012131415按照以上排列的规律，第门行（n工3）从左向右的第3个数为2n -n +2答案：20，6解答题7.若 a：b：c：d0 且 a+d=b + c，求证：/d + 岛 Jb + Jc解析要证勺心 + Ja+7C，只需证（Td + 7a）2 C （Jb +7C）2即 a+d+27ad b+C+27BC，因 a+d=b + c，只需证4bc 即

6、 ad bc，设 a + d =b +c =t，贝U ad be =(t d)d (t c)c = (c d)(c + d t) y-B， y = Sin x在.(0,)上是增函数，二 sin A sin( B) ：= cos B同理可得 sinB cosC， sinC cosA二 sin A +sin B +sin C cosA +cosB +cosC9.设 a,b 为非零向量，且a, b不平行,求证a十b，a b不平行解析假=入(a_ b)ba, b不平行，儿110，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立10.已知a、b、c成等差数列且公差dHO，求证:111-、-、一不可能成等差数abcb、c成等差数列， 一成等差数列，则2 =cb1从而d =0与d h0矛盾，二丄a2b = a + c2 112 2：+ =(a+c) = 4ac = (a - c) =0 , a a = c b a c1 1一、一不可能成等差数列b c11.已知f(x) =1 nx 证明:f (1 + X) X解析即证：ln(x+ 1)-x0,. k(x)为单调递增函数; 当x(0,x)时，k (x)0，A k(x)为单调递减函数; x=0为k(x)的极大值点， k(x) k(0)=0.即 ln(x+ 1)-x0. f (1 +x)CAd:0 且 a+ d =b +c，求证：