直线的倾斜角、斜率与直线的方程

1、专业文档第8章平面解析几何rE9舖解读n考向预测V8. 1直线的倾斜角、斜率与直线的方程I.用解血线的側丰辛用和斜率的槪念.举血过閑虫的fL线斜率的卄禅住式.卄能据料亲4线的51率列 断这阴棊丸纯的甲订戒底HX：系.工卒幄纯方fV的儿种阳代!点科式，曲点式址N戈式TH 丼了斛斜咸氏吋，汰甫数购監瑕.从班年能与仙况牡石，输甩命题的热点M很少加 g题.仮测卯旳年京母对本讲内月(v；i号许rr线佃钾血4斜率的处舔.辛:序瓷貢;m维半钉勺甬:戏的判宜戍皈用.求线的方样.试B基础知识知识梳理1. 直线的斜率(1) 当 a 90时，tana表示直线I的斜率，用k表示，即卩k=tan a当a= 90时， 直

2、线I的斜率k不存在.(2 )斜率公式给定两点Pi(xi, yi), P2(X2, y2)(xiMX2),经过Pi, P2两点的直线的斜率公式为2. 直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范眉点斜式斜率k与点V = k( JCF不窗玄线尸心(工|小|)心)斜戯式斜率A与立 线在3-轴上 的截距AV Zu 1 /不倉垂宜于轴的玄线珍贵文档专业文档两点式两点（d）, 绍）（卫3）-5 一心H乜71工刃）不含直线/ =心 （町=乜）和立线 =.Vi （y =北）截距式立线在丁轴、 了轴上的 距分别为fj十1（详 ab不含垂立于坐 标轴和过原点 的直线一般式ZU+Hy 十=0(* + 7扌工()平面直角

3、坐标系 内的百线都适用J珍贵文档诊断自测1. 概念思辨（1）直线的斜率为tan a则其倾斜角为a（）（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（）（3）经过点P（xo, yo）的直线都可以用方程y yo= k（x怡）表示.（）（4）经过任意两个不同的点P1（X1, yd, P2（X2, y2）的直线都可以用方程（y ydgxj = （x X1）（y2 yd表示.（）答案（1）X X X V2. 教材衍化（1）（必修A2P109A组T2）如果AC0,且BC0，在y轴上的截距CB0,故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.故选C.（必修A2P95T3）倾斜角为150,在y轴上的截距为3的直线方程

4、为答案y=舌3x3解析 由直线的倾斜角为150知该直线的斜率为k= tan 150=申，依据 直线的斜截式方程y= kx+b,得y=舌一3.3. 小题热身（1）（2017贵州模拟）已知直线I经过点P（ 2,5）,且斜率为4,则直线I的方程 为（）B. 3x 4y+ 14= 0D. 4x 3y+ 14= 0A . 3x+ 4y 14= 0C. 4x+ 3y 14 = 0答案A3解析由点斜式方程知直线I的方程为y 5= 3(x+ 2), 即卩3x + 4y 14= 0.故选A.(2) 已知直线I: ax+ y 2 a = 0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A. 1B. 1C. 2 或1D.

5、 2 或 1答案 D解析 当a= 0时，直线方程为y2= 0,不满足题意，所以0,所以在x轴上的截距为 红旦，在y轴上的截距为2+a,则由2 + a=壬，得a= 2或a=aa1. 故选D.0经典题型忡关题型1直线的倾斜角与斜率典例 直线I过点P(1,0),且与以A(2,1), B(0, V3)为端点的线段有公共点, 则直线I斜率的取值范围为 .数形结合，由斜率公式求得kg, kpB. U 1，+乂 )解析如图,V kAP = 21 = 1,_0kBP = 0 1-V3,a k（K,V3u 1，+ 乂）.方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1. 求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数

6、y= tanx在0, n上的单调性求解，这里特别要注意，当ao, nn时，斜率k 0,+r);当a=；时，/n 斜率不存在；当a 2，n时，斜率k (-2. 先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直 线的斜率.见典例.冲关针对训练已知线段PQ两端点的坐标分别为 P(-1,1)和Q(2, 2),若直线I: X+ my+ m =0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是.3如图所示，直线I: x+my+ m= 0过定点A(0,- 1),当m 0时，a = 2，kpA111312=2, k|=- m，二一- 2 或一2，解得 0m2或-3= m0； 当m= 0时，直线I的方程为

7、x= 0,与线段PQ有交点.2 1二实数m的取值范围为一3= m 2.题型2直线方程的求法典例 求适合下列条件的直线的方程:3(1)在y轴上的截距为5，倾斜角的正弦值是5；(2) 经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(3) 经过点A( 1, 3)，倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍.【方;(拨】 根据已知条件代入相应公式，分别为斜截式、截 距式、点斜式.3解(1)设直线的倾斜角为 a则sin a= 7.5二 cosa= 4，直线的斜率 k= tana=.又直线在y轴上的截距是-5,由斜截式得直线方程为y=x5.即 3x 4y 20= 0 或 3x+4y+ 20= 0.(2) 设直

8、线I在x, y轴上的截距均为a,若a= 0, 即 I 过点(0,0)和 (3,2).2 I的方程为y=护，即卩2x 3y= 0.若az 0,则设I的方程为X+ a= 1.a a32I 过点 p(3,2),二 a+a= 1. a= 5,.l 的方程为 x+ y 5= 0.综上可知，直线I的方程为2x 3y= 0或x+ y 5= 0.(3) 设直线y= 3x的倾斜角为a则所求直线的倾斜角为2 a 丄 C 丄 C 2ta n a 3-tan a= 3 , tan2 a=,丄 2 = a .1 tan a 4又直线经过点A( 1, 3),3因此所求直线方程为y+ 3= 3(x +1),即 3x+ 4y

9、 + 15= 0.方法技巧给定条件求直线方程的思路1.求直线方程常用的两种方法(1) 直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如本例(1)、(3)求直线方程， 则直接利用斜截式即可.(2) 待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程 (组)，求出参 数，再代入直线方程即可.必要时要注意分类讨论，如本例 (2)中不要忽略过原点 的情况，否则会造成漏解.2. 设直线方程的常用技巧y= kx+ b 或 y= b.x= my+ a.常设 y yo= k(x- xo).(1 )已知直线纵截距b时，常设其方程为(2) 已知直线横截距a时，常设其方程为(3) 已知直线过点(xo，y。)，且k存

10、在时，冲关针对训练根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(-4,0)，倾斜角的正弦值为10，(2)直线过点(5,10),且到原点的距离为 解(1 )由题设知，该直线的斜率存在，10 (OW a0, b0),则|+= 1.2 112 1 2 1 1则可得A又|+ b2丫不？尹b4,当且仅当|=b=2即a = 4, b= 2时， AOB面2k 1截距之和为+ 1 2k1=3 2k 3+ 2 k此时2k= 1? k=乎.故截距之和最小值为3 + 2/2,此时I的方程为y1 = 2(x 2), 即卩x+/2y方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1. 求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线

11、方程，建立目标函数，再利 用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决.2. 求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合 函数的单调性或基本不等式求解.冲关针对训练已知直线I过点M(1,1),且与X轴，y轴的正半轴分别相交于A, B两点，O为 坐标原点.求：(1)当|OA| + |OB|取得最小值时，直线I的方程； 当|MA|2 + |MB|2取得最小值时，直线I的方程.解 (1)设 A(a,O), B(0, b)(a0, b0).设直线I的方程为a+b=1,则a+1,=2+b+b2+b a4=b- aa- b当且仅当“a= b = 2”时取等号，此时直线I的方程为X+ y

12、2= 0.(2)设直线I的斜率为k,则k0, cos90),它表示以原点0为圆心，/2为半径的 圆的一部分，如图所示.由题意知直线I的斜率存在，设过点P(2,0)的直线I的方程为y= k(x 2),则圆 心到此直线的距离d = #kk2，弦长|AB|=f |2k| )h 2k。1|2k| 2k2U+k2丿2 = 2v2+7，所以 SAOB = 1 vr+k2X2v2+7，故所求直线I的倾斜角为150。.故选A.J雹；* 2 = 1,当且仅当(2k)2 = 2 2k2，即k2=3时等号成立，结合图可知 k =-3 r=4. (2014四川高考)设m R,过定点A的动直线x+ my= 0和过定点B

13、的动直线mx y m+ 3 = 0交于点P(x, y),则|PA| |PB|的最大值是.答案5解析 易知 A(0,0), B(1,3)，且 PA 丄 PB，二 |FA|2 + |PB|2 = |AB|2 = 10 , / IPAI2+ |pb|2|FA| |PB|W = 5(当且仅当 |FA|=|PB| = 75时取“=”).e课后作业育淀基础送分提速狂刷练一、选择题1. （2018朝阳模拟）直线X+屆+ 1 = 0的倾斜角为（A nr na.6b.32 nr 5 nC.yd.6解析 直线斜率为舌3，即tan a= ，0 a0, b0)过点(1,1),则该直线在x轴，y轴上的截距之 和的最小值

14、为()A. 1C. 4答案解析T直线 ax+ by= ab(a0, b0)过点(1,1),.a + b= ab,即-+1= 1,二 a a bb a/ b a+ b= (a+b)+ 6丿=2 + a + b2+b = 4,当且仅当 a= b = 2时上式等号成立.直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为 4故选C.)B. m=/3, n= 2D. m=/3, n = 29. (2017烟台期末)直线mx+ 2y 1 = 0在y轴上的截距是1,且它的倾斜角 是直线/3x y 3/3= 0的倾斜角的2倍，则(A. m=風 n= 2C. m=/3, n= 2答案 A解析根据题意，设直线mx+ ny 1

15、 = 0为直线I,另一直线的方程为VSx y 33= 0, 变形可得y=V3(x 3),其斜率k=V3, 则其倾斜角为60而直线I的倾斜角是直线/乂 y 3伦=0的倾斜角的2倍, 则直线I的倾斜角为120且斜率k= tan 120 =/3,又由l在y轴上的截距是一1, 则其方程为y= J3x1;又由其一般式方程为mx+y 1 = 0, 分析可得m= 73, n= 2.故选A.10.若点(m, n)在直线4x + 3y 10 = 0上，贝J m2 + n2的最小值是()A. 2B. 22C. 4D. 2也答案C解析 因为点(m, n)在直线4x + 3y10= 0上，所以4m+3n10= 0.欲

16、求m2 + n2的最小值可先求P(m 0)2 +(n 0)2的最小值.如图.(m, n)而寸(m 0)2 + (n 0 丫表示4m+ 3n 10= 0上的点(m, n)到原点的距离， 当过原点和点(m，n)的直线与直线4m+3n 10= 0垂直时，原点到点 的距离最小，最小值为2.故m2+ n2的最小值为4.故选C.二、填空题PQ与11.已知P( 3,2), Q(3,4)及直线ax+y + 3=0.若沿PQ的方向延长线段直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是.答案7 Q1 3, 3丿直线I: ax+ y+ 3 = 0是过点A(0, 3)的直线系，斜率为参变数a,17QA, I的斜率分别为：k

17、PQ = 3, kAQ = 7，K = a若I与PQ延长线相交，71解析易知PQ,由图可知 kpQk|kAQ，解得3a 0， c c或(a+ 1 = 0， a w 1.La 2 0，综上可知a的取值范围是(乂， 1.16.已知直线 I: kxy+1+ 2k= 0(k R).(1) 证明：直线I过定点；(2) 若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3) 若直线I交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AAOB的面积为S(O为坐 标原点)，求S的最小值并求此时直线I的方程.解(1)证明：直线I的方程可化为k(x + 2) + (1 y)= 0，la 20;当kI1 + 2k 1,=0时，直线为y= 1,符合题意，故k的取值范围为0,+）.（3）由题意可知kM 0,再由I的方程，f 1 + 2k 、得 A , 0B（0，1 + 2k）.1 + 2k C一V 0依题意得k 解得k0.I1+ 2k 0,|1 + 2k|-S=1 |OA| B| = 1-1 + 2k