立体几何典型题答案卷

1、故R仝、则球0的表面积为C2、( 2016年北京高考)如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PADAB 丄 AD，AB =1，AD =2，AC=CD=75.(1) 求证：PD丄平面PAB ；(2) 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3) 在棱PA上是否存在点M，使得BM /平面PCD 若存在，求 AM的值；若不存在，说明理由.AP【解】面 PAD n面ABCD =AD面PAD丄面ABCD/ AB 丄 AD , ABU 面 ABCD AB 丄面 PAD/ PD U面 PAD AB 丄 PD 又PD丄PA PD 丄面 PAB取AD中点为O ,CD =AC =75/ PA =PDAPA = PD

2、 ,连结CO , PO co 丄 AD PO 丄 AD以O为原点，如图建系易知 P(0,0,1) , B11，), D(0, 1,0(2,0,0),PB=(1,1,1)PD(0,-1,-1) , PC =(2,0,1), CD =(2,1,0)丄瞰n为面PDC的法向量，令n=(X0, y。)-二 n = In PC =011,1，则PB与面PCD夹角0有2 丿立体几何112015高考新课标2,理9】已知A,B是球O的球面上两点，/ AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为()A . 36 n B.64 n C.144 n D.256 n【答案】

3、C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB直径端点时，三棱锥0-一拐C的体积大，设球O册半径为R ,此时f二疔=1；小=二上X上护xR =上疋=36 ,V alC W-K Twr rJ 26S =4;r7?- =U4.t.故选 U【考点定位】外接球表面积和椎体的体积.733丄 -1 -1sin 日=cos cn,PB2 _1 +1 + 1x75假设存在M点使得BM /面PCD ,吵=A, M (0,y,z)APP_ ( 2)知 A0,1,0 ), P(0,0,1 ), AP =(0,1,1 ), B(1,1,0), AM =(0,y1Z) 有 AM =aAP= M (0,1 人几), BM

4、/面PCD - n为PCD的法向量7 r1 BM ,n =0 即-丄 + / + / =021)= 综上，存在M点，43.【204全国2第8题】如图，四棱锥即当帶4时，M点即为所求.P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD , E为PD的中点.(I)证明：PB /平面AEC ;(n)设二面角 D-AE-C 为 60 , AP=1 ,AD= 73 ,求三棱锥E-ACD的体积.【答案】B试题解析:(I)证明：设 0为AC与BD交点，连结 0E,则由矩形 ABCD知：0为BD的中点，因为 E是BD的中点，所以 0E / PB,因为OEU面AEC , PB面AEC，所以PB /平面AEC

5、 。(n)以A为原点，直线 AB、AD、AP分别为X、y、z轴建立空间直角坐标系，设 AB=m，则LunrAB =(m,0,0)是平面AED的一个法向量，设 n = (x,y,z)是平面AEC的法向量，则:1L2 2 w解得三=-羽y,峦y =所以令r = -l,得用=(卫一广1卡)，所以I f -Lm(AC =咱7? V = 0，厂.因为二盒用的大小.1具两个半平面的两个法向重的夹甬相等哉互补，所以匚击%55解得心才因为海n的中点，翩三棱40的高为亍翩三棱锥Q的体积为孑MS*6 26 22 S4.【205高考新课标1,理8】如图，四边形ABCD为菱形，/ ABC=20 , E, F是平面AB

6、CD同一侧的两 点，BE丄平面 ABCD , DF 丄平面 ABCD , BE=2DF , AE丄EC.(I)证明：平面 AEC丄平面AFC;(n)求直线 AE与直线CF所成角的余弦值.试题解析；(I )连Jg 3D,设5了 AC=G,连接EQ. FG. EF、在郵 A3CD中，不妨设05=K由厶占01】了 由5三丄平面J3C3,可知，卫民三U在Rt EBG中，可得BeM，故DfJ22在Rt FDG中，可得FG卫2又 AE 丄 EC,. EG=/3 , EG 丄 AC,在直角梯形BDFE中，由BD=2, BE = J2 , DF=VI可得EF=2|Gb|为单位长度，建立空间直角42厂），C（0

7、, 73，0），22 2 2 EG +FG =EF , EG丄 FG , / AC nFG=G , EG 丄平面 AFC,72-J3 ,). T0 分来.学&科 网2 AE= （1，品，血）,CF = （-1,r T AE CF 7343故coscAECF二.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为 卫一.| AE|CF |335.【2015南理】如图，已知四棱台 ABCD -AB1C1D1上、下底面分别是边长为 3和6的正方形,AA,丄底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC 上 .（1）若P是DD1的中点，证明：AB,丄PQ ；12分AA = 6，且（2）若PQ/平面ABB1A1，二面角P-

8、QD -A的余弦值为求四面体ADPQ的体积.【解析】试题解析：解法一由题设知，AA1 , AB , AD两两垂直,A 为 坐 标 原 点， AB6DADAA1所线分别为X轴，y轴，E轴,S立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A（OAO）,印3血6八PC0.6.0), D366厂其中心0冈6,Q (1)若F是Dq的中点，则戸3冷；)，.41 =(3,0,6),于是代 =1S-1S=O吗_ P0即均_尸0 由题设知，页=（6冲-6, 西=-3：6）是平面刊3D內的两卜下共线向童.设心（2是平面叱的个皿则存黑,叫笃豐T取V = 6,得理二（6 -战：6= 3）,又平面AQD的一个法向S是

9、先=（0： 0,1）,ni “23- cos V R, “2 A= 二 / = J ，而二面角 P - QD A 的余弦值为一， |n 11 -1 n21J(6-m)2 +62 +32 J(6-m)2+457因此 3= 3，解得m =4，或者m =8 (舍去)，此时Q(6,4,0),设 DP =aDD1(0 VA 1)，而 DDj =(0, J,6)，由此得点 P(0,6-3a,6a),PQ = (6,3a2,-6k) , P Q/ 平面 ABB1A1，且平面 ABB 的一个法向量是 -j2巧=0 ,即卩3a 2 = 0，亦即，从而P(0,4,4)，于是，将四面体34门3 = (0,1,0)，

10、 - PQADPQ视为以也ADQ为底面的三棱锥11 1P -ADQ，则其高h=4，故四面体 ADPQ的体积V=Sadqh =丄x丄咒6x 6咒4 = 24 .33 2已知长方形 ABCD中，AB=2j2 , AD=J2 , M为DC的中点.将AADM6 .如图，平面ADM丄平面ABCM .沿AM折起，使得(1)求证：ADC(2)若点E是线段DB上的一动点，问点 E在何位置时，二面角 E-AM -D的余弦值为4552),可以通过建立试题分析：对问题(1)要证线线垂直，可以先证明线面垂直，进而可得线线垂直；对问题( 空间直角坐标系，用向量的方法确定点E位置.试题解析：(1)证明：长方形 ABCD中

11、，AB=2J2 , AD=J2 , M为DC的中点，二AM = BM = 2 , BM 丄 AM .，所以BM丄平面ADM ,平面ADM 丄平面ABCM，交线为 AM，且BM匚平面ABCM/ AD U 平面 ADM AD 丄 BM ；ME = MD +aDB =(1几,2a,1 几)，设DE =aDB，则平面ADM 的一个法向量n = (0,1,0),z =，所以 m =(0,1,仝)，因为 cos=32=1 几|m |n| 5AM =(-2,0,0)，设平面AME的一个法向量为 m = (x,y,z), f2x =0，取 y = 1，得 X = 0 ,|2 入y + (1 -Ez=01求得二

12、=一，所以E为BD的中点.27.在三棱柱ABC ABQ中，CA =CB，侧面ABB,A是边长为2的正方形, 点E,F分别在线段 AA1,A1B11 3上，且 AE =丄，AF =3,CE 丄 EF .2 4(1)证明：平面 ABB1A1丄平面ABC ；(2)若CA丄CB，求直线AG与平面CEF所成角的正弦值. 解：(1)取线段AB中点M，连接EM .32，AM 2=?AE 3在正方形ABB1A中，AM =1,AEAE 在 RUEAM 和 RUFAiE 中，AiFrr又 NEAM =NFA1E =亍，所以 RtAEAMRUFAE , ZAEM =NAFE ,从而 NAEM +NA1EF =NA1

13、FE +NA1EF =-2T所以NFEM = ，即卩EF丄EM2又 EF 丄CE,ME nCE =E , 所以EF丄面CEM .TcM u 面 CEM , CM 丄 EF4在等腰三角形心CAB中，- CM 丄面 aB , 7 cm u 面 ABC，面分CM 丄 AB ,又AB与EF相交，知ABBA 丄面 ABC(2)在等腰三角形也CAB中,由 CA 丄CB,AB =2知 CA =CB=，且 CM =1 ,记线段AB中点为N，连接MN，由(1)知， mC,mA,mN 两两互相垂直， 以M为坐标原点，分别以 MC,MA,MN为正交基底建立如图所示空间直角坐标系 f 1 ) 了 1)C (1,0,0

14、 岸严沙 严4,2 J,A(0,1,0 ),C1 (1,0,2 )设平面CEF的法向量为n =(x,y, z )，则CE,n丄EF , 1x+v+z=0x y 2z o_ I2x-2y-z=0I 33Iy=2z-y + z=0LyI 42取z = 2，贝y y =4,x = 5，从而得到平面CEF的一个法向量AC =(1-1,2 )，记直线AG与平面CEF所成角为日,5-4+4| V3074W618 J30故直线AG与平面CEF所成角的正弦值为 18ABCD为平行四边形，则 si= cosG,12Oxyz，则= (5,4,2)&在如图所示的几何体中，四边形AB =2，EB =73，EF(1)求

15、证：EM /平面ADF ；NABD=9O0，EB 丄面 ABCD，EF / AB，= 1,BC，且M是BD的中点.1-，又二面角 D - AF - B为锐角,2BD制故二面角D-AF-B的大小为600.(2)求二面角 D -AF -B的大小.试题解析：因为EB丄平面ABD , AB丄BD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，由已知可得B(0,0,0), A(020), D(3,0,0) , C(3,2,0), E(0,0,冏 F(O,lJ),M (2,0,0)(1) EM=(3 ,0, J), AD = (3, 2,0), AF = (0, -1,73),24设平面ADF的一个法向量是 n = (x,y,z)，r斗 TF c c丄 In ”AD =0 中 |3x2y =0 由斗，得4厂 ，