第九章第3讲二项式定理

1、第3讲二项式定理XII识版理1. 二项式定理(1) 定理：(a + b)n= C0an+ Cgn %+ Ckan kbk +。肘(n N*). 通项：第 k + 1 项为：Tk+1 = cnankbk.(3)二项式系数：Cn（k= 0, 1, 2,，n）.二项展开式中各项的二项式系数为：2. 二项式系数的性质M-对祢性I-届末等即的斷十一网式我散和気 即 兀三萨时二烦式蛊敷垦 M 的1 吊去性H%呼时，-项式系fe星曲(的-当为fflft时*中M-喝的m式丸 论中圖梢頻的二項式果ftld毎! m匸+C-+f：;-2- I一民 Miiir 瞬* 带*做一做1已知(2x3护的展开式的常数项是第7项

2、，则正整数n的值为解析：由已知条件可得 Tr +1= cn2n rx3n4r( 1)r，由常数项为第7项，得3n 4X 6 = 0，解得：n = 8.答案：82. (2014高考课标全国卷n )(x+ a)10的展开式中，x7的系数为15,则a= 数字填写答案)解析：设通项为 Tr+1 = C10X10rar，令 10 r = 7，a r = 3，1 1 x7 的系数为 C30a3= 15，.a3 = t，； a=-821. 辨明三个易误点通项公式Tr+1 = cnaL是展开式的第r + 1项，不是第r项.(2)(a + b)n与(b + a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的

3、，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.(3)易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系 数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Cn(k= 0, 1，n).2.二项展开式系数最大项的求法如求(a + bx)n(a, b R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为Al, A2,，An+1，且第AkA Ak 1k项系数最大，应用从而解出k来，即得.Ak Ak + 1做一做3.(2014高考湖北卷)若二项式C.2x + x 7的展开式中4的系数是84,则实数a=()xxB.54D.芈ra = C727- rarx7-

4、2rxa6x6，那么ai + a27解析：选C.二项式2x+旦的展开式的通项公式为Tr +1 = C7(2x)7- r x令7-2r =- 3,得r = 5.故展开式中1的系数是C722a5= 84,解得a = 1.x4. （2015山西省第三次四校联考 ）如果（2x 1）6= ao+ aix + a2x2 + + a6的值等于.解析：令x= 0，有1 = ao； 令 x = 1,有 1 = ao + a1+ a6,二 a1 + a2+ + a6= 0.答案：0老师导悟以例直法-考点一 二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)多以选择题、填空二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高

5、考命题的热点，题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题.高考对二项式定理的考查主要有以下 三个命题角度：(1) 求展开式中的某一项；(2) 求展开式中的项的系数或二项式系数；(3) 由已知条件求n的值或参数的值.ixvnk15gp (1)(2014髙考湖南卷)2x- 2y的展开式中x2y3的系数是()B. - 5D. 20a . - 20C. 51 6(2013高考天津卷)XQx的二项展开式中的常数项为 .b 6(2014高考山东卷)若ax2 + -的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为x1 5 1 5r 1 5 _r解析(1) qx 2y 展开式的通项公式为Tr +1=

6、C5 2乂 2y)r = C5 - 2)r -x51 2r - yr.当 r= 3 时，C5 2 - ( 2)3= 20.16_1 r33 X 不 的展开式通项为 Tr+1 = ( 1)rc6x6r 灵 =(1)rC6x6 |r，令 6 r = 0, 解得r = 4，故常数项为(1)4c4= 15.b 6b ax2 + -的展开式的通项为Tr+1 = C6(ax2)6r - - = C6a6_rbrx123r,令 12 3r = 3,得xxr = 3,由 C6a63b3= 20,得 ab= 1，所以 a2+ b22ab= 2,故 a2+ b2 的最小值为 2.答案(1)A(2)15 (3)2规

7、律方法二项式展开式有关问题的解题策略:(1)求展开式中的第n项.可依据二项式的通项公式直接求出第n项.求展开式中的特定项. 可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出 r值即可.(3)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项公式写出第+ 1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.值奚題砖阳市高年级统考设I正整数展开式中存在常数项，则A. 16C. 4(2)(2014填写答案)n的一个可能取值为()B. 10D. 2高考课标全国卷I)(x- y)(x + y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字(3)(G-1)8的展开式中的有理项共有2扳项.11n_k解析：(1)(X十

8、)2n展开式的通项公式为Tk+ 1= cknx2n k(十)k= Ckn( 1)kx 2 ，令眉XWx4n5k = 0,得 k= 4n,可取 10.25(2)x2y7= x(xy7)，其系数为 C7,灼7 = y (x2y6)，其系数为C6,- x2y7 的系数为 C7 C6= 8 28= 20.1163(3)(G 丄)8 的展开式的通项为 Tr +1 = c8(vx)8(二)r = ( prC8xF 2抵2皈8),为使Tr +1为有理项，r必须是4的倍数，所以r = 0, 4, 8，故共有3个有理项，分别是(r = 0, 1, 2,，T1 =( 2)0C8x4= X4, T5 =( 2)4c

9、8x=曽x, T9= ( 2)8C8x 2=5.答案：(1)B(2) - 20(3)3考点二二项式系数或各项系数和 最大，则展开式的常数项是()A. 360B. 180C. 90D. 45(2)(2015 安徽省“江南十校”联考)若(X+ 2 + m)9= a0 + a1 (x + 1) + a2(x + 1)2 + a9(x + 1)9,且(a0+ a2+ a8)2-(a1 + a3+ a9)2 = 39,则实数 m 的值为(A . 1或3B. -1或 3C. 1D. - 3解析(1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共-2511项，所以n= 10,宁省五校高三联J若开式中只有第

10、六项的二项式系数通项公式为Tr +1 = C10(7x)10 r(2)r= C102rx5尹，所以r = 2时，常数项为180.x2(2)令 x= 0,得到 a0+a1+a2+ a9= (2+ m)9,令 x= 2,得到 ao a1 + a2 a3+- a9= m9,所以有(2 + m)9m9= 39,即卩 mJ 2m = 3,解得 m = 1 或一 3.答案(1)B (2)AI桃藩禅*1 本例变为：若(X+ 2+ m)9= a0+ a1(x- 1) + a2(x- 1)2 + a9(x- 1)9,且(a。 + a2+ a8)2 (a1+ a3+ a9)2= 39,则实数 m 的值为.解析：令

11、 x= 2，得到 a0+a1+ a2+ a9 = (4 + m)9，令 x= 0,得到 a。一a1 + a2- a3+ -a9= (m+ 2)9，所以有(4 + m)9(m+ 2)9= 39,即卩 m2+6m+ 5 = 0,解得 m= 1 或一5.答案：1或5规律方法1二项式定理给出的是一个恒等式，对于a, b的一切值都成立.因此，可将a, b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令a, b等于多少时，应视具体情况而定,般取“1、- 1或0”，有时也取其他值.2.一般地，若f(x)= ao+ a1X + a2x2 + anxn，贝U f(x)的展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为

12、a0 + a2+a4+=f(1)+1 (一 “，偶数项系数之和为 a1 + a3+a5+ f (1)- f (- 1)2.(1)在二项式2X+3)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系X数之和为 B，且A+ B = 72,则n=.(2)(1 + 2x)n(其中n N且n 6)的展开式中x3与x4项的二项式系数相等，则系数最大项 为.解析：(1)(赋值法)由题意可知，B = 2n，令x= 1,得A= 4n，由A + B = 72,得4n+ 2n = 72,即 2n= 8, n= 3.由于x3与x4项的二项式系数相等，则n= 7.二 Tk+i = c7(2x)k.Ck2k C7+12k+11

13、316由 Ck2kC7-12k-1, 得 齐 k罟，-k = 5,系数最大项为 C7(2x)5 = 672x5 答案：(1)3(2)672 x5考点三二项式定理的应用A. 0C. 11解析015+ C2 016 X ( 1)设 a Z,且 Owa(n+ 2) 2n-1(n N*, n2).证明：因为n N*，且n2,所以3n= (2+ 1)n展开后至少有4项.(2 + 1)n= 2n+ cn 2n 1+ Cn 1 2+ 1 2n+ n 2n1 + 2n+ 12n + n 2n1= (n+ 2) 2n1, 故 3n(n + 2) 2n 1(n N*, n2).賁匹进匡:雯莠握ft )交汇创新与二

14、项式定理有关的交汇问题L典删131高考陕西设函数(XJ(x -)，x0 时，ff(x)表羽，x 0,达式的展开式中常数项为()A. 20C. 15B. 20D. 15解析x 0 时，f(x)=Xv 0,故 ff(x) = f(X)= ( VX+ 孑)6，其展开式的通项公式为 Tr+1 = C6 -(冈-炸)r= ( 1)6r - C6 -(血6 2r，由 6 2r = 0,得 r = 3，故常数项 为(1)3- C3= 20.答案A名师点评(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题，解决本题的关键是当 x0时，将ff(x)表达式转化为二项式.(2)二项式定理作为一个工具，也常与其他知识交汇命题，如

15、与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理,还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系.与曲线y= x2围成图形的面积为 .解析：Tr+1 = c3x厂3x2r = C3x3r3,令r = 1，得a = 3，直线y= 3x与曲线y= x2的交点坐 标为(0, 0)和(3, 9)，二直线y= ax与曲线y= x2围成图形的面积S= 3(3x x2)dx= (3x2 护)13= |.答案：2”匚薩宜亟垂;、1. (2015东北三校模拟)在(X2 一)5的二项展开式中，第二项的系数为()xA. 10C. 5B. 10D. 5解析：选D.展开式中的

16、第二项为T2= C1(x2)51( -)1,所以其系数为一C5= 5.2.A.B.C .D .x二项式(1 x)4n 1(n N)的展开式中，系数最大的项为()第(2n+ 1)或(2n+2)项第(2n+ 1)项第(2n+ 2)项第2n或(2n+ 1)项解析：选B.展开式中共有(4n + 2)项，其中第(2n+1)项与第(2n+ 2)项的系数绝对值相等， 但第(2n+ 1)项的系数为正，而第(2n + 2)项的系数为负，故第(2n+ 1)项的系数最大.3 . (2015黄冈模拟)设复数x=-2(i是虚数单位)，贝U C1 015X + C2 015x2 +。你3 +1 ic2 015x2 015

17、=()A . iC. 1 i解析：选 C.x=7 = 1 + i, C1 015x + c2 015x2 + C2 815/ 015 = (1 + x)2 015 1 = i2 015 11 i2i=i 1.4. 已知(x a)8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的x和是()A . 28B . 38C . 1 或 38D . 1 或 28解析：选C.由题意知C4 - ( a)4= 1 120,解得a =2,令x= 1,得展开式各项系数和 为(1 a)8 = 1 或 38.V3,解得等于J35. (2015 西临川一中等九校联考)二项式(ax+ g)6的展开式的第二

18、项的系数为则a x2dx的值为()27A.3C.3 或7D . 3 或10解析：选A.二项展开式的第二项 T2= C&axfx，则由题意有 警X C6a5= /3,a= 1，所以 1x2dx= 3x3|1= 3 ( 8)= 7- 26 . (2015贵阳市适应性考试)若(2x+a)4(a0)的展开式中常数项为96，则实数ax解析：(2X + a)4 的展开式通项为 C4(2x)4 r(a)r = 24rarc4x4 2r，令 4 2r = 0，得 r = 2,/22a2C2= 96,a2= 4,.a= 2.答案：227. (2015昆明市第一次调研)(x+ x)(1 QX)4的展开式中x的系数

19、是x解析：(1 一羽)4展开式的通项公式 Tr + 1= C4( Vx)r = ( 1)rC4X2, (2 + X)(1 -寸X)4的展开 X2 0 2 式中含 X 的项为- ( 1)4C4x2 + X ( 1)0c4x2=- X2 + X 1= 3x,故系数是 3.X答案：3& (2015福州质检)在(1 x2)20的展开式中，如果第等，则r =.4r项和第r + 2项的二项式系数相解析：由题意得，C40r= C2，故4r- 1 = r + 1或2 、4r 1 + r + 1= 20，即 r =-或 r = 4.3因为r为整数，故r = 4.答案：49已知二项式(3x+1)n的展开式中各项的

20、系数和为(1) 求 n;(2) 求展开式中的常数项.解: (1)由题意，得 Cn+ Ci+C2+ Cn= 256,即 2n= 256,解得 n= 8.该二项展开式中的第r+ 1项为8 4rTr+1= C8(飯)8 r (弓，=C8 X 3 ,256.令宁=0,得r = 2， 此时，常数项为 T3= c8= 28.10.已知(a2+ 1)n展开式中各项系数之和等于展开式的二项式系数最大的项的系数等于5，得解：由衆+554,求a的值.寸X 的展开式的常数项，而(a2+ 1)n20 5-C5 厂2nr 16 2 5 r 1 r Tr+1= C5 -5X2眾=令Tr +1为常数项，则20 5r = 0

21、, r = 4，.常数项 T5= c5x 16 = 16.5又(a2 + 1)n展开式的各项系数之和等于 由题意得2n= 16,. n = 4.由二项式系数的性质知，(a2+ 1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3, C4a4 = 54,. a= 3.能力提升1. (2014高考浙江卷)在(1 + x)6(1 + y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m, n),则f(3,0)+ f(2,A.C.解析：选C.因为f(m, n) = C6C4, 所以 f(3, 0)+ f(2, 1)+ f(1, 2) + f(0,=c3c4 + c6c4 + c6c2 + c0c4= 120.2. (

22、2015 山东枣庄模拟)若(x+ y)9按X的降幕排列的展开式中，第二项不大于第三项, 且X+ y= 1, xy0，贝U X的取值范围是()A. ( s, 5)B Q+R )1) + f(1, 2) + f(0, 3)=()45120B. 60D. 2103)D - (1 ,+s )4C. （s, 5解析：选D.二项式（x+ y）9的展开式的通项是-yr.Tr + 1= C9 X9 rc9 x91 y C9 x9 解析：x= 1，得 a1+ 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5= 5X (2x 1 3)4x 2 = 10. 答案：1015. 已知（2 + 2x）n. 若展开式中第5项，第

23、6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式 系数最大项的系数； 若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解：（1）- C4+ cn= 2C5,.n2 21n+ 98= 0. n= 7 或 n= 14,-y2依题意，有x+ y= 1Xy0由此得X (1 X) 4x7 ( 1 X)2 0x (1 X)1，即X的取值范围为（1 ,+ s）.则二项式（X2 + a）5的展开式中X的系数Xnn3. (2015 荆州模拟)已知 a = 4 2COS(2x+)dx,0解析：依题意得a= 42 COS0n(2x+ Edx = 2sin(2x +)n20 = 2,即 a = 2，贝U Tr+1 = c5( 2）rx10 3，当r = 3时，T4= 80X.故二项式（x2 +旦）5的展开式中x的系数为一80.80(2x 3)5 = a0+ a1X + a2X2 + a3X3 + a4X4 + a5X5，贝U a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 等于X答案：