浙江省2011年中考数学试题分类解析汇编专题9三角形

1、浙江 2011 年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形一、选择题1. （浙江舟山、嘉兴3 分）如图，边长为4 的等边 abc中， de为中位线，则四边形 bced的面积为（ a） 2 3（ b） 3 3（c） 4 3（d） 63【答案】 b。【考点】 等边三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理或正弦函数。【分析】 根据边长为4 的等边 abc 中， de为中位线，得出de=2，bd=2， b=600。从而 df=3 （ 可 用 勾 股 定 理 或 正 弦 函 数 求 得 ）。 再 利 用 梯 形 的 面 积 公 式 求 出 ：de bcdf2 43 3 3 。故选 b。222（浙江温州4

2、分） 如图，在 abc 中， c=90， ab=13， bc=5，则 sina 的值是a、5b、 12c、 5d、 131313135【答案】 a。【考点】 锐角三角函数的定义。【分析】 直接利用锐角三角函数的定义求解，sina 为a 的对边比斜边，求出即可： sina= bc5 。故ab13选 a。3. （浙江金华、丽水 3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为a、 600mb、 500mc、 400md、 300m【答案】b 。【考点】 平行的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理

3、。【 分 析 】 如 图 ， 由 于bcad ， 那 么 有 dae=acb ， 由 题 意 可 知abc=dea=90， ba=ed，利用 aas可证 abc dea，于是ae=bc=300，再利用勾股定理可求ac=ab 2bc 2500 ，从而可求得ce=ac ae=200。根据图可知从b 到 e 的走法有用心爱心专心1两种： ba ae=700； bc ce=500。最近的路程是500m。故选 b。4. （浙江湖州 3 分） 如图，在 abc 中， c 90o， bc 1， ac2，则 tana 的值为a 2b 1c 5d 2 5255【答案】 b。【考点】 锐角三角函数定义。【分析】

4、根据正切函数的定义，tana= bc1 。故选 b。ac25. （浙江宁波3 分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为，那么滑梯长 l 为(a)h(b)h(c)h(d)h sinsintancos【答案】 a。【考点】 解直角三角形的应用（坡度坡角问题），三角函数定义。【分析】 由已知转化为解直角三角形问题，角的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l ： sinh，llh。故选 a。sin6. （浙江台州4 分） 若两个相似三角形的面积之比为14，则它们的周长之比为a12b14c15d116【答案】 a。【考点】 相似三角形的性质。【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其

5、相似比为12，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得它们的周长之比为12。故选a。二、填空题1.（浙江舟山、嘉兴4 分）如图，在 abc 中， ab=ac，a40 ，则 abc的外角 bcd度【答案】 110。【考点】 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。用心爱心专心2【分析】根据等腰三角形的性质得到b=acb， 根据三角形的内角和定理求出b=acb=1（180 a）2=70，再根据三角形的外角性质即可求出答案：bcd=a+b=40+70=110。2. （浙江温州 5 分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）图 2

6、由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形 abcd，正方形 efgh，正方形mnkt 的 面 积 分 别 为s1 ， s2 ， s3 ， 若s1 +s2+s3=10，则 s2 的值是【答案】 10 。3【考点】 勾股定理的应用。【分析】 根据图形的特征得出线段之间的关系，从而利用勾股定理求出各边之间的关系，得出答案：图中正方形 abcd，正方形 efgh，正方形 mnkt的面积分别为s1， s2， s3，cg=ng， cf=dg=nf。12222s=（ cg+dg） =cg+dg+2cg?dg=gf+2cg?dg，s2=gf2，3222s =（ ng nf） =ng+nf

7、2ng?nf。22222s1+s2+s3=10=gf+2cg?dg+gf+ng+nf2ng?nf=3gf。s 的值是：s1s2s3 10。23 33. （浙江杭州 4 分） 在等腰 rtabc中， c=90， ac=1，过点 c 作直线 l ab， f 是 l 上的一点，且ab=af，则点 f 到直线 bc的距离为【答案】31 。2【考点】 等腰直角三角形的性质，勾股定理，。【分析】（ 1）如图，延长ac，做 fdbc 交点为 d，feac，交点为e，易得，四边形cdfe是正方形，即，cd=df=fe=ec。用心爱心专心3在等腰直角 abc 中， ac=bc=1， ab=af，ab=ac 2b

8、c 212122 。 af= 2 。在 rtaef 中，（ 1 ec） 2 ef2=af2，即 (1 df)2 df2=( 2 ) 2。解得， df=31 。2（ 2）如图，延长 bc，作 fd bc，交点为 d，延长 ca，作 feca 于点 e，易得，四边形 cdfe是正方形，即， cd=df=fe=ec。同上可得，在 rtaef 中，（ ec 1） 2 ef2=af2，即 (fd 1) 2 fd2=(2) 2。解得， fd=31。2综上所述， fd=3 1 。24. （浙江衢州 4 分） 在一自助夏令营活动中，小明同学从营地a 出发，要到 a 地的北偏东 60方向的 c处，他先沿正东方向

9、走了200m到达 b 地，再沿北偏东 30方向走，恰能到达目的地c（如图），那么，由此可知， b、c两地相距m【答案】 200。【考点】 解直角三角形的应用（方向角问题），三角形内角和定理，等腰三角形的判定。【分析】由已知可推出 abc=90+30=120， bac=90 60=30，再由三角形内角和定理得acb=30，从而根据等腰三角形等角对等边的判定求出b、 c 两地的距离bc=ab=200。5. （浙江宁波 3 分）如图，在 abc 中， ab=ac， d、 e 是 abc 内两点， ad平分 bac， ebc=e=60，若be=6cm， de=2cm，则 bc=cm【答案】【考点】 等

10、腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形性质。【分析】 延长 ed交 bc于 m，延长 ad交 bc与 n，作 dfbc，交 be于 f。 ab=ac， ad平分 bac， anbc， bn=cn， ebc=e=60， bem 为等边三角形。 efd 为等边三角形。用心爱心专心4 be=6cm， de=2cm， dm=4。 ndm=30， nm=2。bn=4。 bc=8。6. （浙江义乌4 分） 右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图其中ab、cd分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，abc=135，bc的长约是 5 2 m，则

11、乘电梯从点 b 到点 c 上升的高度h 是m【答案】 5。【考点】 解直角三角形的应用（坡度坡角问题） 。【分析】 过点 c 作 ab的延长线的垂线 ce，即乘电梯从点b 到点 c 上升的高度 h，已知 abc=135， cbe=180 abc=45。25。ce=bc?sincbe= 5 2 sin45 =5 22h=5。三、解答题1. （浙江绍兴 8 分） 为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为 代步工具，如图 1 所示是一辆自行车的实物图车架档ac与 cd的长分别为45cm， 60cm，且它们互相垂直，座杆ce 的长为 20cm，点 a， c， e 在同一条直线上，且 cab=75，如图2

12、（ 1）求车架档 ad的长；（ 2）求车座点 e 到车架档 ab的距离（结果精确到1cm参考数据： sin75 0.9659 ，cos75 0.2588 ，tan75 3.7321 ）【答案】 解：（ 1） ad= 45 260 275 ，车架当ad的长为 75cm。（ 2）过点 e 作 efab，垂足为点f，距离 ef=aesin75=（ 45+20）sin75 62.7835 63cm。车座点e 到车架档ab的距离是63cm。【考点】 解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数。用心爱心专心5【分析】（ 1）在 rtacd中利用勾股定理求ad即可。（ 2）过点 e 作 efab，在 rte

13、fa 中，利用三角函数求ef=aesin75，即可得到答案。2. （浙江绍兴 12 分） 数学课上，李老师出示了如下框中的题目在等边三角形abc中，点 e 在 ab上，点 d在cb的延长线上， 且 ed=ec，如图试确定线段ae与 db的大小关系，并说明理由小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（ 1）特殊情况 ?探索结论当点 e 为 ab的中点时，如图1，确定线段ae与的 db大小关系请你直接写出结论：aedb （填“”，“”或“ =”）（ 2）特例启发，解答題目解：题目中，ae与 db的大小关系是：aedb （填“”，“”或“=”） 理由如下：如图 2，过点 e 作 efbc，交 ac于点

14、 f，（请你完成以下解答过程）（ 3）拓展结论，设计新题在等边三角形abc中，点 e 在直线 ab 上，点 d 在直线 bc上，且 ed=ec若 abc的边长为1， ae=2，求cd的长（请你直接写出结果）【答案】 解：（ 1） =。（ 2） =。证明如下：在等边 abc 中， abc=acb=bac=60，ab=bc=ac，efbc， aef=afe=60=bac。 ae=af=ef。 abae=ac af，即 be=cf。用心爱心专心6ed=ec， edb=ecb。 abc=edb bed=60， acb=ecb+fce=60， bed=fce， dbe efc（sas）。 db=ef。

15、ae=bd。（ 3）答： cd的长是 1 或 3。【考点】 全等三角形的判定和性质，三角形外角定理；等边三角形的判定和性质。【分析】（ 1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出d=deb=30，推出db=be=ae 即可得到答案。（ 2）作 efbc，证出等边三角形 aef，再证 dbe efc 即可得到答案。（ 3）分为两种情况：一是 e 在 ab 的延长线上， d 在线段 cb的延长线上，求出 cd=3，二是 e 在 ba的延长线上，d在线段 bc的延长线上，求出cd=1，即可得到答案。3. （浙江金华、丽水 6 分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当 50 70时（ 为梯子与地面所

16、成的角） ，能够使人安全攀爬现在有一长为 6 米的梯子 ab，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度ac（结果保留两个有效数字， sin70 0.94 ，sin50 0.77 ，cos70 0.34 ，cos50 0.64 ）【答案】 解：当 =70时，梯子顶端达到最大高度，sin = ac ， ac=sin70 60.94 6=5.64 5.6 （米）ab答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6 米。【考点】 解直角三角形的应用（坡度坡角问题），有效数字。【分析】 易知 越大，梯子顶端达到最大高度，利用70正弦值可得最大高度ac。4. （浙江衢州 10 分） abc

17、是一张等腰直角三角形纸板， c=rt， ac=bc=2，（ 1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由（ 2）图 1 中甲种剪法称为第1 次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的ade 和 bdf中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取， 并记这两个正方形面积和为s2（如图 2），则 s2=；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第用心爱心专心73 次剪取，并 四个正方形面 和 s3， 操作下去， 第10 次剪取 ， s10=；（ 3）

18、求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面 之和【答案】 解：（ 1）如 甲，由 意，得ae=de=ec，即 ec=1，s2=1 =1。正方形 cfde如 乙， mn=x ， 由 意，得am=mq=pn=nb=mn=x，由 c=rt， ac=bc=2，根据勾股定理，得ab=22 。2 3x 2 2 ，解得 x2 2。s 正方形 pnmq=2 28 。339 1 8 ，甲种剪法所得的正方形面 更大。9（ 2） s2= 1 ，s10= 1 。2 29（ 3）探索 律可知： sn= 1 。 剩余三角形面 和 2n 11111。2（ s s s s ） =2（ 19 ） =9122n4222【考点】

19、 分 ，正方形的性 ，勾股定理，等腰直角三角形的性 。【分析】（ 1）分 求出甲、乙两种剪法所得的正方形面 ， 行比 即可。（2）按 1 中甲种剪法，可知后一个三角形的面 是前一个三角形的面 的1 ，依此可知 果。21（3）探索 律可知：sn=，依此 律可得第10 次剪取后余下的所有小三角形的面 之和。2n15. （浙江台州 10 分）丁丁想在一个矩形材料中剪出如 阴影所示的梯形，作 要制作的 筝的一个翅膀 你 根据 中的数据帮丁丁 算出be、cd的 度 ( 精确到个位，3 1.7) 【答案】 解：由 abc120o 可得 ebc60o。在 rtbce中， ce 51， ebc60o，用心爱心

20、专心8cece51 tan60o be ， be tan60o tan60o 30 。在矩形 aecf中，由 bad45o，得 adf daf45o 。 df af 51。 fc ae 34 3064。 cd fcfd64 51 13。因此 be的长度约为 30cm， cd的长度约为 13cm 。【考点】 解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数。【分析】在 rtbce中，ce=51，ebc=60， 求得 be，在矩形 aecf中，由 bad- 45，从而求得 df=af=51，从而求得 be， cd的长度。6. （浙江台州12 分） 如图 1， ad和 ae分别是 abc 的 bc边上的

21、高和中线，点d 是垂足，点e 是 bcde的中点，规定：a be 特别地，当点d、 e重合时，规定： a0另外，对 b、 c 作类似的规定(1) 如图 2，在 abc中， c 90o， a 30o，求 a、 c；(2) 在每个小正方形边长均为1 的 44的方格纸上，画一个 abc，使其顶点在格点( 格点即每个小正方形的顶点 ) 上，且 a 2，面积也为2；(3) 判断下列三个命题的真假 ( 真命题打“ ”，假命题打“” ) ：若 abc中 a 1，则 abc为锐角三角形； 【】若 abc中 a 1，则 abc为锐角三角形； 【】若 abc中 a 1，则 abc为锐角三角形 【】【答案】 解：（

22、 1）如图，作bc边上的中线ad，又 acbc。 a cd 1。bd过点 c 分别作 ab边上的高ce和中线 cf， acb90o，af cf。 acf caf30o。 cfe60o。用心爱心专心9ef ef1 c af cf cos60o 2。（ 2）画图如下：（ 3）；。【考点】 解直角三角形，三角形的角平分线、中线和高，作图（应用与设计作图），真假命题的定义。【分析】（ 1）根据直角三角形斜边中线、高的特点进行转换即可得出答案。（ 2）根据题目要求即可画出图象。（ 3）根据真假命题的定义即可得出答案。7. （浙江义乌 6 分） 如图，已知 e、f 是 abcd对角线 ac上的两点，且 b

23、eac，dfac.（ 1）求证： abe cdf；（ 2）请写出图中除 abe cdf 外其余两对全等三角形（不再添加辅助线） 【答案】 解：（ 1）四边形 abcd是平行四边形， ab=cd， abcd ， bae=fcd。又 beac，df ac， aeb=cfd=90。 abe cdf （ aas）。（ 2） abc cda ， bce daf。【考点】 平行四边形的性质，垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定。【分析】 （ 1 ）根据平行四边形的性质得到ab=cd，abcd，推出 bae=fcd，根据垂直的定义得到 aeb=cfd=90，根据 aas即可证得。（ 2）根据 sss得

24、到 abc cda，根据 sas得到 bce daf。8. （浙江义乌 10 分） 如图 1，在等边 abc 中，点 d 是边 ac的中点，点 p 是线段 dc上的动点 ( 点 p与点 c 不重合 ) ，连结 bp. 将 abp绕点 p 按顺时针方向旋转 角（ 0 180），得到a1b1p, 连结aa1，射线 aa1 分别交射线pb、射线 b1b于点 e、 f.（ 1） 如图 1，当 0 60时， 在 角变化过程中， bef 与 aep 始终存在关系（填“相用心爱心专心10似”或“全等”），并说明理由；（ 2）如图 2，设 abp= . 当 60 180时，在 角变化过程中，是否存在 bef

25、与 aep全等？若存在，求出 与 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（ 3）如图 3，当 =60时，点e、 f 与点 b 重合 .已知 ab=4，设 dp=x ，a1bb1 的面积为s，求 s 关于 x 的函数关系式 .【答案】 解 :（ 1） 相似。由题意得： apa =bpb= ， ap= a p， bp=b p，1111则 paa1=pbb1 = 18090。22 pbb =ebf， pae=ebf。1又 bef=aep ， bef aep 。（ 2）存在，理由如下：易得： bef aep。若要使得 bef aep，只需要满足be=ae即可， bae=abe。 bac=60， bae

26、= 6090230 。2 abe= ， bae=abe，230即 =2 +60 。（ 3）连结 bd，交 a1b1 于点 g，过点 a1 作 a1hac于点 h。 b1 a 1p=a1pa=60 ，a1b1ac。由题意得： ap= a1 p ， a=60。用心爱心专心11 paa1 是等边三角形。a 1h=3 ( 2 x) 。2在 rtabd中， bd=2 3bg=233 (2x)33 x22 s a1 bb11433 x2 33x （0 x 2）。22【考点】 相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】（ 1）通过证明 pae=ebf，结合公共角证明即可。（2）易得： bef aep，结合一组对应边相等的相似图形全等，最后根据全等三角形的性质可知。（3）连接 bd，交 a1b1 于点 g，过点 a1 作 a1hac 于点 h根据三角形的面积公式可得s 关于 x 的函数关系式。9. （浙江省 8 分）如图，点 d， e 分别在 ac，ab 上(