线性代数试题库(1)答案(2

1、线性代数试题库（1）答案题号-二二-三四五六总分得分评卷人、选择题:1.n阶行列式（3X 7=21 分）D的元素aij的余子式M ij与aij的代数余子式A ij的关系是（C ）A . A ij =M ijAij=(-1) nM ij Co Aij=(-1)i*Mij D。Aij=-Mij2 .设A是数域F上m X n矩阵，则齐次线性方程组A .当m n时，无解零解AX=O （ A ）C.当m=n时，只有零解D.当m=n时，只有非3.在n维向量空间V中，如果弋壬L （V，关于V的一个基%,.的矩阵分别为A，B.那么对n的矩阵是（C ）于 a，b 亡 F，acr+bT 关于基%,A. A+BB.

2、 aA+BC. aA+bBD. A+Bb1,52,4.已知数域F上的向量a 1,5,5 线性无关，下列不正确的是（ D ）A%，a2线性无关B . Ct2,(X3线性无关C. a3,5线性无关D . a 1,503中必有一个向量是其余向量的线性组合。5.Rn中下列子集，哪个不是子空间（Cn(印,an)|a R,i =1； , n且2 a 0iTC.n( ar , an) | a R, i =1,n且S ai =1i 二D. 06.两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（A。相似B .合同A :C.相等D .互为逆矩阵7.向量空间R3的如下变换中，为线性变换的是（b(X1,X2,X3)=(| X1 1

3、,1,1)B . b(X1,X2,X3)=(X1 +1,X2,X3)C. CT(X1,X2,X3)=(X2,X3,0)2 2 2D. b(X1,X2,X3)=(X1 ,X2,X3)二.填空题（3X10=30分）1.当且仅当I X1 + X2 + X3 = 0k= (-1或3)时，齐次线性方程组 3x1、-X2 +kX3 =0有非零解I2少, + X2 + k X3 = 0ai2 .设 A= a2H0,B=(bi，b2，b3)H0,则秩(AB)%( 1)。丄丄丄、3.向量（X，y，Z）关于基（0，1/2, 0），（1/3,0,0），（0,0，1/4）的坐标为 V?,：丿4 .设向量空间F2的线性

4、变换CT, T 为 CT(X1,X2)=(X1 +X2,X2),T(X1,X2)=(X1 X2,0),贝 U 1)&1, X? ) = ( 2X1,X2)。5.已知 V=为，2,%3,&) Ixj+2x2=0，则 dimV= (3)。t a)3 :3丿7.设a2,03,04是四维欧氏空间V的一个标准正交基，a二旳+口2-4,6.已知实矩阵A=(a 0)是正交阵，则b= (0)。P =口1 +(/2 -3,贝y |a |=(2 Ha,P= (3)a与 P的夹角寻d(sP) =(1)三、计算题1.求矩阵方程的解P 01+21 (3 n b / I。1 丿(10 分)解:x=求可逆矩阵 T使TAT为

5、对角形(10 分)解：由 E - A =0,再=1,兀2 =3X1 =(1,-1T,X2 =(1,1分别单位化，得2 JT3.设二次型 f(X1,X2,X3)=x： +2x； +5x2 + 2x1x2 +2X3 +6X2X3,回答下列问题:(1)(2)(3)(4)将它化为典范型。二次型的秩为何？二次型的正、负惯性指标及符号差为何？ 二次型是否是正定二次型？( 10分)解：(1)f(N，X2，X3)=y2中 y；y：-5y2,(2)r=5,(3)p=3;s=1，A=60,是正定二次型。四、证明题1.设V是数域F上一个一维向量空间。证明 V的变换C是线性变换的充要条件是：对于任意 E亡V， 都有C

6、 (E) =aE , a为F中一个定数。(10分)证明：=假设n是V的基，存在A- F,此时得匕=小，由b是线性变换，则a(n)=亦，所以CT佗)=cr(泸)=Zcr(n 陆1n =卫(泸)=，令)！ =aa则；U 任意 q, E2-V, a 齐，由叭匕1+)= +%)=&% +a2 (匕1)+巩匕2)b +cC +aa +babC2。行列式6+05 +a1a1 +b1=2a1b1C1匕2 + C2C2 中 a?a bza2b2C2b(k )=akq =k(a上 1 )=kb( ),. cr是线性变换。,(10 分)线性代数试题库20052006学年第一学期）答案考试时间120分钟bcacab

7、abcabcabc证：原式=b1C1a1+C1bi=aiblCi +aibiCi=2aiblcib2C2a2C232b2a2bC2a2b2C2a2b2C22 .设A是数域F上m x n矩阵，则齐次线性方程组 AX=O （ A ）题号-二二二-三四五、 六总分得分评卷人1.n选择题：（3X5=15分）阶行列式D的元素aj的余子式M j与aj的代数余子式Aj的关系是（C ）A j =M j B oAij=(-1) nM j Co Aj =(-1)iM j D。Aij=-MijA. 当m n时，无解C.当m=n时，只有零解D.当m=n时，只有非零解3.已知n维向量 1,5,g 线性无关，下列不正确的

8、是（D）Aot1 , ot2线性无关 B . a2,ot3线性无关C. ot3,1线性无关D. a 1,ot2,ot3中必有一个向量是其余向量的线性组合。4.若A是mxn矩阵，且r （A） =r，贝J A中（A. 至少有一个r阶子式不等于0,但没有等于0的r-1阶子式;B. 必有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r阶子式;C. 有等于0的r-1阶子式，没有等于0的r阶子式;D.有不等于0的r阶子式，所有r+1阶子式均等于0。5. 4.设A是三阶矩阵，|A|=1，则|2A2|=（)A. 2, B, 1, C8 , D 4二.填空题（3X6=18分）1.当且仅当k= （-1或3）时，齐次线性方程组

9、 伍1、2设 A= a2 主 0,B = (b, b2, b3)H0 则秩(AB0 X y-X 0 z-y - z 0 a3b 1k 3丿3.行列式234.已知实矩阵A=,Xt + X2 + X3 = 0化3x1、一 X2 + kx3 = 0有非零解2fXt + X2 + k X3 = 0为（1）。（a 0）是正交阵，则b=(0)。5.向量(X, y, Z)关于基(0, 1/2, 0), (1/3, 0,0),(0, 0, 1/4)的坐标为6设梟0为n阶可逆矩阵，则（A B丿ob(10 分)k 22丿三、计算题1.求矩阵方程的解1)3(10 分)解:x=2 1、12丿求可逆矩阵T使TAT为对角

10、形(15 分)I22厂解：由 E-A=1,兀2 =3X1 =（1,-1T，X2 =（1,1分别单位化，得几1 =r运Q22_72 J23.设二次型 f(X1,X2,X3)=X12 +2x； +5x； +2X1X2 +2X1X3 +6X2X3,回答下列问题:(1)将它化为典范型。(2)二次型的秩为何?二次型的正、负惯性指标及符号差为何?二次型是否是正定二次型?(12 分)解：(1) f(N，x2，X3)=%2 +y2+yI -y-5y5,(2)r=5 ,(3) p=3;s=1 ,(4)A=6 0,是正定二次型 。1-12求向量组的秩及其一个极大无关组。4.设向量组4,a 2 =,a 33、07(

11、101分)引15 3丿,a 5r 1-120叶 1_124a 11 -124a 11-124a10312a 20312a 20312a 2A= 30714日3T 0312a 3 3 a 10000a 3 3 a 1 a 22 156a 4031-2a 4 2 a 1000-4a 4 2 a 1 a 21 -120日50 00-4a 5 a10000 a 5a 1 (a 4 2 a 1-a 2 )其中r -3= 0,a2 -(a4-2a - a4r(A)=3,曰-a 2a1 -=0由此1宀2，a4疋个极大尢关组，a3 =3 1 + a2 , a5 - a2 + a4四、证明题1. A是正交矩阵，

12、证明(Aa, AP )=(a,P ) Aa =(10 分)证明：(Aa,AP ) = (Aa JaP =aTATAP b +cc + aa +babc2。行列式C1 ga1 +6=2a1b1C1b2 +c2C2 +a2a2 +b2a2b2C2=J(Aa, Aa ) = J(a,a =Aaa，(10 分)bcacababcabcabc证：原式=b1C1a1+Cla1b1=a1blC1 +a1b1C1=2a1blC1b2C2a2C2a2b2a2b2C2a2b2C2a2b2C2题号-二二-三四五六总分得分评卷人线性代数试题库（3）答案、选择题（3X 5=15分）1.已知m个方程n个未知量的一般线性方

13、程组 AX=B有解，则无穷多解的条件是（C ）A. mMn B. m=n C. 秩 A0)是正交阵，则b=0。|B|。二、计算题a4a 4a41 + a 41 + at a 2a 3a11 +a2 a 3aa 21 +a3a 1a 2a 31.计算行列式,（10 分）解：原式=a1a1a1a1a；a； a； a2a3a3a3a3a4a44 =1 + 0=1.a4a42.设 A=031X，求矩阵使 AB=A-B（10 分）解：设B=/a1a2la3b1b2b3c1 c2c3丿,V AB=A-B , /3b14b22b35c17c2G _ a13 a；J -a33 A4 _b22_b35 _57

14、_C22C3 丿解得B=3-44-52-33.Cl2（15 分）7!2求可逆矩阵T使T-1AT为对角形=0,再=1,為=3, Xj = （1,-1 j , X； = （1,1 y 分别单位化，得几 1 T仏=2 , 27所以T =2l!a/2J22 2丿解:设 a = （2由 E -A4.设二次型 f（X1, X；, X3 ） = 2X1；+ 5x2 +5x2 +4XiX2 -4XiX3-8X2X3，回答下列问题：（1 ）将它化为典范（2）二次型的秩为何？ （ 3） 二次型的正、负惯性指标及符号差为何？（ 4） 二次型是否是正定二次型？（ 12分）解：（1） f（x,X2，X3）=%2+y2-

15、15y： ,（2）r=4 ,（3）p=3;s=2，A=100,是正定二次型。四、证明题1.试证：设A是n阶矩阵，则|A*|=|A|Z（10 分）AA =Ae 取行列Ae TA:若A =0则A* =0此时命题也成立,anX2.试证：行列式b+ Cc + aa +bb1+ C1C1+a1a1 +b1=；b；+ C2c； +a2a； +b2aa1 a；C十C1C；aa1a 2a b a1 b1 a； b；a b a1 bl a； b；证明：原式=bblb；bb1 b； aQc；C1c；a1a；CC1C；bblb；Qc；,（10 分）=2a1a；bblb；C1c；线性代数试题库（4）答案题号二二二-三

16、四五、.六总分得分评卷人、选择题（3X7=21分）1.A.已知m个方程n个未知量的一般线性方程组 AX=B有解，则无穷多解的条件是（C ）2.mM n B. m=n C. 秩 A0),(10 分)a13丿sb三、计算题1.计算行列式5、7 ,求矩阵B ,2b1b2b3使 AB=A-B。(10 分)解得B=2 3-413-44-525 6 7-82c1c2c3丿,V AB=A-B , /a13 a 2 .a33b14b22b35C1 7c22C3丿G _a13 -a2J -a33 -rn4 b22 b35 c 17 C22 -C3 丿中必有一个向量是其余向量的线性组合。二.填空题（3X10=30

17、分）1. 设A是一个n阶实可逆矩阵，则二次型 x（aa）X的标准形是（XlX ）2. Q是向量空间 Rx上的变换 (即CT (f(x) =f(x),则(cT2-cr)(x2-X +3)=/x3 +12x2-20x +13. c M升 f sinx cosx、砧、斗 fSinx -cosx、3. 矩阵II的逆矩阵为II。lcosx sinx丿Icosxsinx 丿4. 设,口2,03卫4是四维欧氏空间V的一个标准正交基，a = S + 口2-4,=些 +2 s,贝y |a 1 = (2 )如，P= (3)0t与 P的夹角 & =V 63.设 A =3丿求可逆矩阵T使T-1AT为对角形（10分）解：由 E-A =0,1 =1,兀2 =3,X1 =(1,-1T,X2 =(1,1T 分别单位化，得 A1