《数学分析》多元函数微分学

1、.第四章 多元函数微分学一、本章知识脉络框图极 限连 续重极限与累次极限基本概念有 界 性极限存在的判别方法极值和最值基本性质极限与连续介 值 性 偏 导 数可 微 性概念可微和连续可微的必要条件可微的充分条件复合函数微分隐函数微分计 算参数方程微分多元函数微分学全微分（三元为例）df=fxdx+fydy+fzdz条件极值应 用高阶导数与微分多元极值切线、法线、法平面、切平面泰勒公式 二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面内容：l 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关

2、性，二元函数中值定理与Taylor公式.l 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.l 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线.l 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.3、 本章的基本知识要点(一)平面点集与多元函数1.任意一点与任意点集的关系.1) 内点. 若存在点的某邻域，使得，则称点是点集的内点。2) 外点. 若存在点的某邻域，使得，则称点是点集的外点。3) 界点（边界点）. 若在点的任何邻域内既含有属于得的点，又含有不属于的点，则称点是点集的界点。4) 聚点. 若在点的任何空心邻域内部

3、都含有中的点，则称点是点集的聚点。5) 孤立点. 若点，但不是的聚点，则称点是点集的孤立点。2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集所属的每一点都是的内点，则称为开集。2）闭集. 若平面点集的所有聚点都属于，则称为闭集。 3) 开域. 若非空开集具有连通性，即中任意两点之间都可用一条完全含于得有限折线相连接，则称为开域。4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。3.上的完备性定理.1) 点列收敛定义：设为平面点列，为一固定点。若对任给的正数，存在正整数，使得当时，有，则称点列收敛于点，记作 或 . 2）点列收

4、敛定理（柯西准则）平面点列收敛的充要条件是：任给正数，存在正整数，使得当时，对一切自然数，都有. 3）闭区域定理. 设是中的闭域列，它满足：(i) (ii) .则存在唯一的点.4) 聚点定理. 设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点。5) 有限覆盖定理. 设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了（即），则在中必存在有限个开域，它们同样覆盖了（即）。4. 二元函数定义：设平面点集，若按照某对应法则，中每一点都有唯一确定的实数与之对应，则称为定义在上的二元函数（或称为到的一个映射），记作,，且称为的定义域，所对应的为在点的函数值，记作或。（注：其它多元函数与二元函数相似）。（二）二元函数的极限。1.

5、定义 设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数，若对，都存在一个，使得时，都有 .则称在上当时，以为极限，记作。有时简记为。当、分别用表示时，上式也可写作.2. 重要定理及推论.1）的充要条件：对于的任一子集，只要是的聚点就有。2）设，是的聚点，若不存在，则也不存在。3）设、，是它们的聚点。若，但，则不存在。4）极限存在的充要条件是：对于中任一满足条件的点列，它所对应的函数列都收敛。3. 二元函数函数极限的四则运算.若，。则 1)；2) ; 3) .4. 累次极限.1) 定义：对于函数，若固定存在，且也存在，则称为在处先对后对的累次极限，记为，类似可定义。2) 重要定理及推论.1

6、 若与（或）都存在，则它们 相等；2 若，和都存在，则三者相等；3 若与都存在但不相等，则不 存在。（三）二元函数的连续性1. 定义 设为定义在点集上的二元函数，若对，都存在一个，只要，就有 则称关于集合在点连续。若在上任何点都连续，则称为上的连续函数。若，则称在处关于连续。同理可定义关于连续。2. 复合函数的连续性定理 设二元函数和在点连续，函数在点处连续，其中，则复合函数在点连续。3. 有界闭域上连续函数的性质.1）若函数在有界闭域上连续，则在上有界，且能取得最大值与最小值；2）若函数在有界闭域上连续，则在上一致连续；3）若函数在有界闭域上连续,对任意的、，且，则对任何满足不等式的实数，必

7、存在点，使得。4. 元函数唯一存在与连续可微性定理。若1）函数在以为内点的维空间区域内连续；2）偏导数在内存在且连续；3）；4）；则在的某一邻域内，方程唯一地确定了一个定义在的邻域上的n元连续函数使得:在内连续偏导数：而且 5. 由方程组确定的隐函数（隐函数组定理）若：1）与在以点为内点的区域内连续；2）（为初始条件）；3）在内具有一阶连续偏导数；4）在点处不等于零。则在点的某一（四维空间）邻域内，方程组唯一地确定了定义在点的某一（二维空间）邻域内的两个二元隐函数 使得：且当时，在内连续；在内有一阶连续偏导数，且6. （反函数组定理）若函数组满足如下条件：1）均是有连续的偏导数； 2）则此函数

8、组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组且(四) 多元微分学的应用1. 泰勒定理1) 若在点的邻域内存在阶连续的偏导数，则，有其中2) 当时，相应二元函数的麦克劳林公式为2极值 1）定义 设函数在点的某邻域内有定义，如果 满足，则称为的极大值（极小值），此时点称为的极大值点（极小值点）。极大值，极小值统称极值。2）函数在点的偏导数存在，则在点取得极值的必要条件为：，满足上述条件的点称为稳定点或驻点。3）极值的充分条件: 设函数在点的某邻域内具有二阶连续的偏导数，且是的稳定点。记则 当时，函数在取得极值，若，则取得极大值，若，则取得极小值； 当时，函数在点不取极值； 当时，不能判断在点是否极值；3

9、条件极值1）求条件极值的方法有两种：一种将条件极值化为无条件极值的问题来求解；并一种是用拉格朗日乘数法求解。2）拉格朗日乘数法求二元函数在约束条件下的极值步骤如下： 作相应的拉格朗日函数 令即求解上述方程组，得稳定点。判定该点是否为条件极值：如果是实际问题，可由问题本身的性质来判定，如不是实际问题，可用二阶微分判别。3) 对于条件极值的一般情形，求函数在约束条件（其中均具有一阶连续偏函数，且雅可比（Jacobi）矩阵的秩为m)下的极值步骤如下： 作拉格朗日函数分别令得到相应的方程组。解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定。(五)多元函数几何应用1. 平面曲线的切线与法线平面曲线由

10、方程给出，它在点的切线与法线的方程为：切线方程：，法线方程：。2. 空间曲线的切线与法平面1) 空间曲线由参数方程表出，假定不全为零，则曲线在处的切线方程式为：;曲线在处的法平面方程式为：.2) 空间曲线由方程式组给出.当中至少一个不为零时，曲线在点的切线方程为：，曲线在点的法平面方程为：。3. 空间曲线的切平面与法线设曲面由方程给出，是曲面上一点，并设函数在偏导数在该点连续，且不同时为零，则曲面上点处的切平面方程为：，曲面上点处的法线方程为：。四、基本例题解题点击【例1】设 是区域上有界的次齐次函数（）。问极限是否存在？若存在，试求其值。【提示】 是次齐次函数是指【解】 令。同时设。则.因，

11、故.从而=【例2】证明 在点两个偏导数存在，但在点不可微。【证明】显然，。因此在点两个偏导数存在且等于零.若在点可微，则有.即，但如果沿直线趋于零，有故，因此在点不可微。 【例3】设是连续的可导函数，证明满足方程。【证明】 设，则.于是。 【例4】设，其中和为可微分两次的函数. 证明：，其中 ，为拉普拉斯算子.【提示】计算时要计算三个二阶偏导数，而中地位是一样的，故可以考虑利用对称性，从而减少计算量。【证明】 ，. 由对称性即得，.于是 . 【例5】设为由所定义的函数.证明.【证明】 由得，于是有，同理可得，.注意的是上式一切成立.因此 . 【例6】设为由方程组（其中为参数）所定义的函数，求当

12、时和.【证明】.当时，解出得，因此 . 【例7】 求函数在下最小值。【解】 作拉格朗日函数令，即解得唯一驻点 将它们代入得。因此在下最小值为。 【例8】设在全平面上二次可微且恒不为零，证明的充分必要条件是满足方程.【证明】 必要性是显然的.现在证明充分性，由于在全平面上二次可微且恒不等于零，不妨设，令，则有.下面证明，实际上由可得，因此.这说明结论成立. 【例9】求函数一阶和二阶的偏导数，其中.【证明】等式两边微分，得 故有 .于是，.再将式微分一次，得.故有 .于是 . 【例10】设可微函数对任意实数()满足, 点是曲面上一点，且. 求此曲面在点处的切平面方程。【提示】 是一次齐次函数，弄清

13、楚齐次函数的导函数的特征很重要。【解】由已知，对任意的点有，.(*)将(*)两边对求导得：.(*)在(*)中令得：故当时，故令, 则法线方向为.故处法线方向为.从而曲面在点处的切平面方程为.即. 五、扩展例题解题点击【例1】设在上定义，若在点处连续，而且 在上有界，则在（0,0）处连续。【证明】 由中值定理，得（其中）由在上有界，知使.取当时有 （1）由在处连续，知当时，有 （2）取，当，时，由（1），（2）得在处连续。 【例2】设在闭立方体上连续。令。试证：在区间上连续。【证明】 令 可得在上连续。令且 可得在上连续。在关于在上连续。因为，所以在上连续。 【例3】设证明：在点处连续但不可微。

14、【证明】 由于故对取，当时，,即故在点处连续，下证在点处不可微。同理令且与k有关。所以在点处不可微。 【例4】设 证明：在点处连续但不可微。【证明】 由 当时，故从而在点处连续。又同理令考虑，即不存在。所以在点处不可微。 【例5】设在区域上上的函数，且1）对每个的存在；2），关于中的一致。试证：【证明】 由条件(2)，得当时 （1）在上面（1）式两边令，则存在，令由条件2），得.当时. （2）由条件1），得.当时. （3）由，得.当时有.取，当，时 即 例6】证明微分中值定理设二元函数在凸区域上两个偏导数都存在，则对于内任何两点，有其中【证明】 （1）令，则由一元函数的中值定理有： （），即

15、（），同理令，可得 （）代入（1）式即可证明。 【例7】设二元函数在区域上可微，且对，有证明：对任意成立：。【证明】 应用微分中值定理，有其中。 【例8】设求。【解】 由两边取对数 (1)两边对x求导有。则。同样在（1）式两端对y求导有：。则 【例9】证明不等式【证明】令则我们只须证明函数在区域 上的最小值0即可。令得由此可见函数的最小值只能在曲线上达到，且 因此，在上，即证。 【例10】设的外接圆半径为一定值，且所对的边长分别为试证明【证明】 如图1，设的外接圆半径为R，圆心为O，则由于（同弧上圆周角）有 A同理 D因此 O . C B 图1 【例11】设有一阶连续偏导数，试证：若，则有最小

16、值.【证明】由题设，当时，。 令， 则有 O 如图2，设是圆上的点，是过，的射线，则当，且时，有. 图2因此，当，在上取得最小值.又在有界闭区域上有最小，则该最小值也是在全平面上的最小值. 6、 训练题提示点评【训练题1】考虑二元函数，问此函数在(0,0)处是否连续？【提示及点评】考虑点延趋于零时的极限。 【训练题2】考虑二元函数在(0,0)处的可微性.【提示及点评】先计算得.再计算因此，在(0,0)处可微. 【训练题3】若是的函数，。试由证明等式：。【提示及点评】 利用 【训练题4】证明：二元函数在平面上处处连续但不一致连续。【提示及点评】连续性主要考虑时。取及特殊点列使得及. 【训练题5】

17、函数由方程给出，其中可微，求证： 。【提示及点评】将原方程两边对求偏导得：；将原方程两边对求偏导得：；【训练题6】设为可微函数，证明由方程所确定的函数满足：。【提示及点评】原方程两边对求偏导得;原方程两边对求偏导得。【训练题7】证明曲面上任何一点的切平面在各坐标轴上的截距之和为.【提示及点评】令.对曲面上任何一点处：计算得到切平面的法线方向。然后写出切平面方程。【训练题8】设具有连续的二阶导数且满足，试求的表达式。【提示及点评】是，的复合函数，由复合函数求导法则可以得到之间的关系式，再代入原等式得到的微分方程，可求出.【训练题9】若直角三角形的一条直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。【提示及点评】设一直角边为，斛边为且为常数，则另一直角边。从而面积。【训练题10】求椭圆的内接等腰三角形的最大可能面积，要求其底边平等于椭圆的长轴。【提示及点评】设等腰三角形底边与椭圆相交于两点,则面积。再利用条件极值的求法进行计算。【训练题11】试求函数的极值与极值点，并指出是极大值还是极小值。【提示及点评】计算出。求出满足的点.再通过二阶偏导判定：时，上述点都是极大值，而时该点不是极值点。就也说明函数有无穷多极大值点而无极小值点（中国人民大学