第五章第五节数列的综合应用

1、X2,4依次成等差数列，而1, y1, y2,8依次成等比数列，则 OP1P2的面积是（）第五章第五节数列的综合应用课下练兵场难度及题号容易题中等题稍难题知识点（题号）（题号）（题号）等差、等比数 列的综合问题1、26、811数列在实际问题中的应用45、9、1012数列与解析几何、不等式的综合应用37、选择题1.已知a, b R +, A为a, b的等差中项，正数 G为a, b的等比中项，贝U ab与AG的大小关系是D.不能确定A. ab= AGB. abA AGC. abw AGa斗b解析：依题意A =于，G/Ob, AG ab=号Ob ab=-诃)=何咛亜0,/ AG ab.答案：C2.等

2、差数列an的前n项和为Sn, S9= 18, Si3= 52,等比数列g中，b5= 85, b7= a?,则bi5的值为A.64B. 64C.128D. 128解析：因为 S9 = 2(ai + a9)= 9a5= 18, S13 = (ai + ai3)= 13a7= 52,所以 a5= 2,a7= 4,又 b5= a5, b7= a7,所以 q2= 2, bi5= b7 q8= 4X16 = 64.答案：B3.在直角坐标系中，O是坐标原点，Pi（xi, yi）, P2（x2, y2）是第一象限的两个点，若 1, xi,A.1B.2C.3D.4解析：根据等差、等比数列的性质,可知 Xi= 2

3、, X2= 3, yi = 2, y2= 4.二 P 1(2,2), P2(3,4). SAOP1 P2= 1.答案：A4.（20佃黄冈模拟）据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟 通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面 240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是A.10秒钟B.13秒钟C.15秒钟D.20秒钟解析：设每一秒钟通过的路程依次为a1, a2, a3,an,则数列an是首项a1 = 2,公差d= 2的等差数列，由求和公式有na1 + “? 1川=240, 即卩2n+ n（n 1） = 240，解得n=15.答案

4、：C5.某人为了观看2019年南非足球世界杯， 从2019年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为P且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到 2019年的5月1日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱（元）的B.a(1 + P)5总数为A. a(1 + p)4碍1 + P)4 (1 + P)D. p(1 + p)5- (1 + P).比如:将其称为三角形数;解析：依题意，可取出钱的总数为a(1 + P )4 + a(1 + P )3 + a(1 + p)2+ a(1 + p)4(1 + P)1 (1 + P) a 5 =a1(1 + p) = p(1 +

5、 P) (1 + P).答案：D6.（2019湖北高考）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数6 10 图1他们研究过图1中的1,3,6,10,，由于这些数能够表示成三角形,类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378222解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an = n(n+ 1)，第n个正方形数为bn= n2.由此可排除D(1 378不是平方数).将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知,符合题意的是C选项.答案：C二、填空题7.已知函数 f(x)= a bx 的图象过点 A(2

6、, 1), B(3,1)，若记 an= log2f(n)(n N*), Sn是数列an的前n项和，贝U Sn的最小值是解析：将A、B两点坐标代入f(x)得I1 =ab 1a =,解得8,b =2- f(x)= 8.2x,- f(n) = 8 2“ = 2n3,- an = log2f(n) = n 3.令 an 0,即卩 n 3 0, n 2)行的第2个数是解析：设第n(n 2)行的第2个数构成数列a*，则有as a2= 2,84 83= 3,85 a4= 4,，an an 1 = n 1 ,相加得 an a2= 2+ 3 + + (n 1)= 2+ ；_ (n 2)(n + 1)(n 2)答

7、案：n+ 29.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出万元资金进行奖励.1解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a1, a2,，a10,则an= -Sn + 1,贝U a1=2, an an-1= 2an，即an= 2an-1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S10 = 2046.答案：2046三、解答题10.某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，经济危机后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得经

8、济危机第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少 2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且经济危机后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自经济危机后第一个月起累计收入Tn与时间n（以月为单位）的关系为Tn = an+b,且经济危机第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问经济危机后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.解：则该公司经济危机后经过n个月，改革后的累计纯收入为Tn 300 n,不改革时的累计纯收入为 70n 3n + ,又90=a+bTa = 80170 = 2alb =10由题意建立不等式80n + 10 300 n 70n 3

9、n n（n 1）, 即 n2+ 11n 2900，得 n 12.4./ nC N* ,取 n= 13.则经济危机后经过 13个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 11.已知等差数列an的前n项和为Sn，公差dMQ ai= 1,且ai, a?, ay成等比数列.求数列an的前n项和Sn；设 bn= 21,数列bn的前 n 项和为 Tn,求证：2Tn 9bn1+ 18（謊丁1）.解：（1） a1, a2, a7成等比数列，- a2= a1 a7,即十 d）2= a1（a1 + 6d）, 又 a1= 1, dM0 d= 4.n(n-1)2-Sn = na12d= n+ 2n(n-1

10、) = 2n - n.2Sn2n(2n- 1)(2)证明：由(1)知 bn= ：= 2n - 1= 2n，二bn是首项为2,公差为2的等差数列, 2Tn- 9bn-1 + 18= 2n2 4.(n + 9)bn+1 (n+ 9) 2(n + 1) n+ 10n + 9“ + 9 + 佃 6 + 10n当且仅当n= n，即n=3时取等号.又中等号不能同时取到, 2Tn- 9bn-1+ 18 (n 1).12.某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了 11条和余下的y-1条的8，第2次播放了 2条以及余下的8第3次播放了 3条以及余 1下的1,以后每次按此规律插播

11、广告，在第x次播放了余下的x条(x1). + 2n - 18(n - 1)+ 18=2n2- 16n + 36 = 2(n2-8n + 16) + 4= 2(n- 4)2 + 44,当且仅当 n = 4 时取等号.64 X2n64n64bn64 2n64n64 一 64,=1 + 22+ x（7）x +8-7工=0, y= 1 + 22+x已7厂1.8x用错位相减法求和，可得y= 49 + (x- 7) 尹.y- N J. x-7=0.二尸7,:y=49.故这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为 49.8(1)设第k次播放后余下 ak条，这里a0= y, ax= 0,求ak与ak-1的递推关系式;(2)求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广