重点增分专题八空间位置关系的判断与证明讲义理

1、重点增分专题八 空间位置关系的判断与证明全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷n全国卷川2018直线与平面所成的角、正方体的截面-T 12求异面直线所成的角-T 9面面垂直的证明 7 19(1)面面垂直的证明-T 18(1)线面垂直的证明-T 20(1)2017面面垂直的证明-T 18(1)求异面直线所成的角-T 10圆锥、空间线线角的求解-T 16线面平行的证明-T 19(1)面面垂直的证明-T 19(1)2016求异面直线所成的角-T 11空间中线、面位置关系的判定与性质-T 14线面平行的证明 7 19(1)面面垂直的证明-T 18(1)翻折问题、线面垂直的证明-9(1)(1) 高考对此部

2、分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题或只考一道解答题.(2)选择题一般在第911题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小.(3)解答题多出现在第 18或19题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明,难度中等.考点一 空间点、线、面的位置关系保后讲点大稳定常规角度考双基1.判定直线间的位置关系已知a是一个平面，m n是两条直线，A是一个点，若n?a , n? a ,且AC m AC a，贝U m, n的位置关系不可能是()B.相交C.异面A.垂直D .平行解析：选D因为a是一个平面，m n是两条直线,A 是一

3、个点，n?a , n? a,且 AC m, AC所以n在平面a内，m与平面a相交,且A是m和平面a相交的点,所以m和n异面或相交，一定不平行.2.命题真假的判定已知直线 m ,平面a , 3 ,且mla , ? 3 ,给出下列命题: 若a / 3 ,贝Uml ;若a丄3 ,贝Um/ ;若mI ,贝U a丄3 ；若m/ I ,贝U a丄其中正确的命题是（A.C.解析：选A对于,若all3 , ml a ,则ml 3 ,又丨？ 3 ,所以ml ,故正确,排除B.对于，若mi ,ml a ,则I丄a ,又I ? 3 ,所以a丄3 .故正确.故选 A.3.线面垂直、面面垂直的判定G是EF的中点，现在沿

4、如图，在正方形 ABC中, E, F分别是BC CD的中点,AE, AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B, C, D三点重A. AGL平面 EFHC. HFL平面 AEF合，重合后的点记为H,FAHI平面B .EFHHGL平面AEF解析：选B根据折叠前、后 AHI HE AHI HF不变,得AH!平面EFH B正确;过A只有一条直线与平面 EFH垂直， A不正确;/ AGL EF, EFI GH AGH GH= G, EF丄平面 HAG 又 EF?平面 AEF 平面 HAI AEF过H作直线垂直于平面 AEF 一定在平面 HAG , C不正确;由条件证不出 HGL平面AEF - D不正

5、确.故选 B.4.求异面直线所成的角（2018 全国卷n ）在正方体 ABCDAiBiCD中，E为棱CG的中点，则异面直线 AE与 CD所成角的正切值为（B.D.C1解析：选C如图，连接BE因为AB/ CD所以AE与CD所成的角为/ EAB在 Rt ABE中 ,设 AB= 2,贝U BE=75 ,贝U tan / EAB=鲁爭，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为解题方略判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法（1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结 合有关定理，进行肯定或

6、否定.（3）借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.小创新变换角度考迁移1.与充要条件的交汇设I ,m n为三条不同的直线，其中m n在平面a内，则“ I丄a”是“ I丄m且I丄n”的（A.充分不必要条件B 必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A当l丄a时,垂直于a内的任意一条直线，由于m n?a,故“ I丄m且I丄n”成立，反之，因为缺少m n相交的条件，故不一定能推出“ I丄a”故选A.2.线面位置中的创新某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目.图1项目:折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等;项目:打开

7、过程中（如图2)，检查 OMk ONh O M=O N;项目:打开过程中（如图2)，检查 OKh OLh O K=O L;项目:打开后（如图3）,检查/ 1 =/ 2 = / 3 =/ 4 = 90;项目:打开后（如图3）,检查 AB= CD= A B = C D .在检查项目的组合中，可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是A.B .C.D .解析：选B A选项，项目和项目可推出项目，若/MON/ M O N，则MN较低，M N较高，所以不平行，错误；B选项，因为/ 1 = / 2=/ 3=/ 4= 90所以平面ABCD平面A B C D，因为AB= A B，所以AA平行于地面，由知，OO

8、 / AA /平面MNN M ,所以桌面平行于地面， 故正确；C选项，由得，Oh= ON OA丄AA , 0 A丄AA , AB= A B,所以AA / BB ,但OA与O A是否相等不确定,所以不确定00与BB是否平行，又 OO/ MN所以不确定 BB与MN是否平行，故错误；D选项，0P 0L= 0 K = 0 L，所以 AA / BB，但不确定 0M与 ON 0 M ,0 N 的关系，所以无法判断MN与地面的关系，故错误综上，选B.3.线面角与体积交汇（2018 全国卷I）在长方体ABCDABCD 中,AB= BC= 2, AC与平面BBCC所成的角为30则该长方体的体积为（B .诽C.

9、8pD . 8/3解析：选C 如图，连接 AC, BC, AC / AB!平面A.8BBCC,/ ACB为直线 AC与平面BBCC所成的角，/ ACB= 30又AB=2BC= 2,在 Rt ABC中, AC= sn而=4.在 Rt ACC中，CC=RAC/绚KAl= 42-22+ 22= 2 谑, V长方体=ABx BC CC = 2 X 2 X24.线面角与面积交汇（2018 全国卷n ）已知圆锥的顶点为S,母线SA SB所成角的余弦值为8, SA与圆锥底面所成角为 45若 SAB的面积为 如5,则该圆锥的侧面积为解析：如图， SA与底面成45角, SA0为等腰直角三角形.设 0A= r,贝

10、y S0= r, SA= SB=/2r.在 SAB中, cos / ASB= 7,8 sin / ASB=5,8 &SAE= SA- SB- sin / ASB=2x(72 02jr5,= 40血 n .答案：40返n考点二空间平行、垂直关系的证明 增度精点析母题一一高考年年“神”相似求典例 如图，在四棱锥 P-ABCDK AB/ CD AB1 AD CD= 2AB 平面PADL底面ABCD PAL AD, E和F分别是CD和PC的中点,证:PAL底面 ABCDBE/平面PAD平面BEFL平面PCD证明(1) 平面PAD_底面ABCD且PA垂直于这两个平面的交线 AD PA?平面PAD PAI

11、底面 ABCD(2) AB/ CD CD= 2AB E 为 CD的中点, AB/ DE 且 AB= DE四边形ABED平行四边形. BE/ AD又 B曰平面PAD AD?平面PAD BE/平面 PAD/ AB! AD且四边形 ABED为平行四边形. BE! CD ADI CD由(1)知PA!底面ABCD PAI CD PAG AD= A, PA?平面 PAD AD?平面 PAD CD!平面PAD又PD?平面PADCDL PD/ E和F分别是CD和PC的中点, PD/ EF,CDL EF又 BE! CD且 EFn BE= E,CDL平面 BEF又CD?平面PCD平面BEF!平面PCD练子题一一高

12、考年年“形”不同1.在本例条件下，证明平面BE巳平面ABCD证明：如图，连接 AE ACDc线面平行的判定定理:a? a , b? a , a/ b? a/线面平行的性质定理:a T 3 = b? a / b.面面平行的判定定理:a? 3 , b?3 , aT b= P , a / a , b / a ? a / 3 .面面平行的性质定理:Ty = a, 3门丫 = b? a / b.设ACT BE= O连接FO/ AB/ CD CD= 2AB 且 E 为 CD的中点, AB綊 CE四边形ABCE为平行四边形. O为AC的中点，贝U FO綊2PA又PAL平面ABCD FO!平面 ABCD又 F

13、C?平面 BEF平面BEF!平面 ABCD2.在本例条件下，若 AB= BC求证BE1平面PAC证明：如图，连接 AE AC设ACT BE= O AB/ CD CD= 2AB 且 E 为 CD的中点. AB綊 CE又 AB= BC 四边形 ABCE为菱形, BE! AC又 PAL平面 ABCD BE?平面 ABCD PAI BE又 PAT AC= A, PA?平面 PAC AC?平面 PAC BE!平面 PAC解题方略1.直线、平面平行的判定及其性质2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m?n?a , mT n= P , l 丄 m, l 丄 n? I 丄 a .(2)线面

14、垂直的性质定理:a ? a / b.(3)面面垂直的判定定理:a? 3 ,(4)面面垂直的性质定理:T 3= l , a? a , a 丄 l ? a 丄 3 .多练强化C1.(2019届高三郑州模拟均为平行四边形，M N, G分别是AB AD EF的中点.求证：BE/平面DMF平面BDE/平面MNG证明：如图，连接 AE贝U AE必过DF与GN的交点Q连接MQ则 皿0为 ABE的中位线，所以 BE/ MQ又BE?平面DMF MQ平面DMF所以BE/平面DMF 因为N, G分别为平行四边形 ADEF的边AD EF的中点,所以DE/ GN又DE?平面MNG GN?平面MNG所以DE/平面MNG又

15、M为AB的中点，N为AD的中点,所以MN ABD的中位线，所以 BD/ MN又BDP平面MNG MN平面MNG所以BD/平面MNG又DE与 BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE/平面MNG2.如图，在四棱锥 RABCDK 平面PABL平面ABCDAD/ BCPAL AB CDL AD BC= CD= 2AD求证：PAI CD求证：平面 PBDL平面PABC证明： 因为平面PABL平面ABCD平面PABn平面ABCAB又因为PA1 AB所以PAL平面ABCD又CD?平面ABCDPcT A所以PAL CD取AD的中点为E,连接BE,由已知得，BC/ ED且BC= ED所以四边形BCD是

16、平行四边形,又CDL AD BC= CD所以四边形 BCDE正方形,连接CE所以BDL CE又因为 BC/ AE BC= AE所以四边形ABCE是平行四边形,所以C日AB则BDIAB由 知PAI平面ABCD所以PA1 BD又因为PAn AB= A,所以BDI平面PAB因为BD?平面PBD所以平面 PBDL平面PAB考点三平面图形中的折叠问题增分考点 讲练冲关典例(2019届高三湖北五校联考)如图，在直角梯形 ABCDK/ ADC= 90 AB/ CD AD= CD= 2AB= 2 , E为AC的中点，将 ACD沿AC折起，使折起后的平面 ACDf平面(1)求证：BC!平面ACD 点F在棱CD上

17、，且满足 AD/平面BEF求几何体 F-BCB的体积.解(1)证明： AC= paD + cD= 2也,/ BA(=/ ACD= 45 , AB= 4 ,在 ABC中 , bC= aC+ Ab 2ACX AB cos 45 = 8 ,- aB= aC+ bC= 16 , ACIBC平面ACDL平面 ABC平面ACDn平面 ABC= AC, BC?平面ABC BC!平面 ACD/ AD/平面BEF AD?平面ACD平面ACDn平面BEF= EF AD/ EF, E为AC的中点, EF% ACD的中位线,1由(1)知，VF-BCE= VbCEF=X SxCEfX BC3C1c111SLCEF=：S

18、4ACD= -X -X 2X 2=二,4422 VF-Bc= 1X 1x2 边=解题方略平面图形折叠问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线 段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折 叠前的图形.多练强化如图，在矩形 ABCD中, AB= 3, BC= 4, E, F分别在线段 BC, AD上，EF/ AB将(1)求证：NC/平面MFD若EO 3，求证：NDL FC;求四面体NEFD体积的最大值.解： 证明：四边形 MNEI和四边形

19、EFDC都是矩形, MN/ EF, EF/ CD MN= EF= CD / MN綊 CD四边形 MNC是平行四边形， NC/ MD/ NC平面MFD MD平面MFD NC/平面 MFD证明：连接ED平面MNEE平面ECDF且NE! EF,平面MNER平面ECD三EF, NR 平面 MNEF NE!平面 ECDF FC?平面 ECDFED厂C FC! NE EC= CD 四边形 ECDF为正方形， FC! ED又 Em NE= E ED NE 平面 NED FC丄平面NED/ ND?平面 NED - ND! FC. 设 NE= x,贝U FD= EC= 4-x,其中 0x/2 ,设 AF1a2+

20、 b2 1=a , FE= b,则 AEF的面积 S= jabw 2x二y = x-2 12= 2(当且仅当a= b= 1时等号成立),所以（VAEF）max= X g X 寸2 = -62.D(2)由题意得AC= AD答案：平、 1 1所以 V-ACE= 2 VP-AC:= 4VP-ABCD1 1=4 X 3SABCD PA43=4x 1 x 2x 密(何x 1=誓11.如图，在直三棱柱 ABCABC中，AB= AO AA= 3 , BC= 2 ,匚D是BC的中点，F是CG上一点.(1)当CF= 2时，证明：BF丄平面 ADF 若FD丄Bid 求三棱锥 Bi-ADF的体积.W|解：(1)证明：因为AB= AC D是BC的中点,所以ADL BC在直三棱柱 ABCABC中，因为BB丄底面ABC AD?底面ABC所以ADL B B.因为B8 Bi B= B,所以ADL平面Bi BCC因为Bi F?平面B BCC所以ADL Bi F.在矩形 B BCC中，因为 C F= CD=1, B C = CF= 2,所以 Rt DCF Rt FCB,所以/ CFD=/ CBF,所以/ B FD= 90所以Bi FL FD因为Am FD= D所以B F丄平面 ADF