2 4高等数学同济大学第六版本

1、实用文档 文案大全 习题2?4 1? 求由下列方程所确定的隐函数y的导数dxdy? (1) y2?2x y?9?0? (2) x3?y3?3axy?0? (3) xy?ex?y ? (4) y?1?xey? 解 (1)方程两边求导数得 2y y?2y?2x y? ?0 ? ?于是 (y?x)y?y? ? xyyy? (2)方程两边求导数得 3x2?3y2y?2ay?3axy?0? ?于是 (y2?ax)y?ay?x2 ? ? axyxayy?22? (3)方程两边求导数得 y ?xy?e x?y(1?y?)? ?于是 (x?ex?y)y?ex?y?y? ? yxyxexyey? (4)方程两边

2、求导数得 y?e y?xeyy? 于是 (1?xe y)y?e y? yxee?1? 求曲在处的切线方程和法线方方程两边求导数于在? 实用文档 文案大全 所求切线方程为 )42(42axay? 即ayx22? 所求法线方程为 )42(42a xay? 即x?y?0? 3? 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数 22dxyd? (1) x2?y2?1? (2) b2x2?a2y2?a2b2? (3) y?tan(x ?y)? (4) y?1?xey? 解 (1)方程两边求导数得 2x?2yy?0? y?yx? 3322221)(yyxyyyxxyyyxyyxy? (2)方程两边求导数得 2b2

3、x?2a2yy?0? ? yxaby?22? 22222222)(yyxabxyabyyxyaby?(3方程两边求导数 y?sec2(x?y)?(1?y?)? 1)(cos1)(sec1)(sec222?yxyxyxy 实用文档 文案大全 222211)(sin)(cos)(sinyyxyxyx? 52233)1(2)11(22yyyyyyy? (4)方程两边求导数得 y?e y?xe yy? ? yeyexeeyyyyy?2)1(11? 3222)2()3()2()3()2()()2(yyeyyyeyyeyye yyyyy? 4? 用对数求导法求下列函数的导数? (1) xxxy)1(? (

4、2)55225?xxy? (3)54)1()3(2?xxxy? (4)xexxy?1sin? 解 (1)两边取对数得 ln y?xln|x|?xln|1?x|， 两边求导得 xxxxxxyy?11)1ln(1ln1? 于(2两边取对数2ll两边求导2于 实用文档 文案大全 (3)两边取对数得 )3ln(4)2ln(21ln?xxy两边求导得 1542(211?xxyy?于是 1)1(3(2?xxy (4)两边取对数得 ln21lnxy?两边求导得 21211xyy?于是 sinxxy? sin41?xx 5? 求下列参数方程所确定的函数的导数 (1) ?22btyatx? (2) ?cossi

5、n1(yx解 (1)atbtxydxdytt23?(2)?sin1cos?xydxdy 6? 已知?cossineyextt 解 eexydxdyttttsincos?当3?t时? 2121?dxdy 7? 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程 3)?x)4?x)2(25?x ln41sinln1x?xe24cotx?)1(xe?c1?211xe?2xco2?x? ? 21?xxe)? tb32?a2?sin?cos?.,tt求当3?t时tettcossin?tettsincos?33123?313?2dddd的cosi 实用文档 文案大全 (1)cosi(2)aa=(1dd

6、cosi?cosindd?所求切线方程所求法线方程(2aaaaaaadddd1所求切线方程11所求法线方程1求下列参数方程所确定的函数的二阶导d(1)(2)sico 实用文档 文案大全 (3)(4)t?存在且不为?(1)dd2(tttyddttx? (2) tabtatbxydxdyttcotsincos? tabtatabxydxydttx32222sinsincsc)(? (3) ttttteeexydxdy23232? tttttxeeexydxyd3222943232)(? (4) ttftftfttfxydxdytt?)()()()(? )(1)(22tfxydxydttx? 9?

7、求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33dxyd? (1)?321ttytx? (2)?ttytxarctan)1ln(2? 解(1)tttttdxdy231)1()(223? ? )31(412)231(3222tttttdxyd? )1(832)31(4125333tttttdxyd? 实用文档 文案大全 (2ddlnarcta tttttdxyd4112)21(2222? 3422338112)41(ttttttdxyd? 1落在平静水面上的石产生同心波若最外一圈波半径的增大率6m问秒末扰动水面面积的增大率为多少设波的半径对应圆面积两边同时求导 S t?2?rr? 当t?2时? r?6?

8、2?12? r?t?6? 故S t?|t?2?2?12?6?144? (米2?秒)? 11? 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中? 其速率为4m2/min ? 当水深为5m时? 其表面上升的速度为多少？ 解 水深为h时? 水面半径为hr21? 水面面积为?241hS? 水的体积为3212413131hhhhSV? dtdhhdtdV?2312? dtdVhdtdh?24? 已知h?5(m)，4?dtdV(m3/min)? 因此 ?2516425442?dtdVhdtdh(m/min)? 12? 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中? 开始时漏斗中盛满了溶液? 已知当溶液在漏斗中深为12cm时? 其表面下降的速率为1cm/min? 问此时圆柱形筒中溶液表面上