《应用数理统计》吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案

1、第二章假设检验课后作业参考答案3.1某电器元件平均电阻值一直保持2.64门，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61门。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准 偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06门，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(:=0.01)解：(1)提出假设 Ho ： 二-2.64, H1- 2.64X 7。2.61-2.64 o(2)构造统计量u- 3比屯本题中：a =o.o5 u.95=1.64即, u u0.95拒绝原假设H0认为在置信水平0.05下这批元件不合格。3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布N讥匚2 ,其中：；

2、=40kg/cm2。现从一批这种钢索的容量为 9的一个子样测得断裂强度平均值为 X，与以往正常生产时的 相2比，X较丄大20( kg/cm )o设总体方差不变，问在=0.01下能否认为这批钢索质量显著提高？解：(1) 提出假设 H。： 讥，Hi .0(2) 构造统计量 u= =0 =1.5；0 /、n 40/3否定域V = ：u - u1 .给定显著性水平:=0.01时，临界值u-2.33u :.，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%):3.253.273.243.263.24设测定值服从正态分布，问在-0.01下能否接受假设，

3、这批矿砂的镍含量为3.25?提出假设：日01=轨=3.25H：叫构造统计量：本题属于匚2未知的情形，可用t检验，即取检验统计量为:t=本题中，x =3.252,S=0.0117,n=5代入上式得：0.3419t= 3.252-3.25= 0.0117 .5匚 1否定域为：解:本题中，口 =0.01,t.995 (4)= 4.6041t t1 :.1 -2-接受H。,认为这批矿砂的镍含量为3.25设总体为正态分布N（f2）,试在水平5%检验假设:（i）H0:0.5%巴：0.5%（ii）H0 - _0.04%H, .5 -1）?本题中，-0.05 n=10to.95（9） =1.8331 vt =

4、4.1143.拒绝H 0（ii）构造统计量:未知，可选择统计量nS22 二2-0本题中，S =0.035%n=10二 0 =0.04%代入上式得：2。（035%）=7.6563（0.04%）否定域为:；_： （n - 小本题中,122 :：:_：（n T）= L：（n -1） 接受H。爲=16.9193.6使用A（电学法）与B（混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是-0.72C的冰块，下列数据是每克冰从 -0.72C变成0oC水的过程中吸收的热量（卡/克）；方法 A:79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.0479.97,80.05,80.03,80.0

5、2,80.00,80.02方法 B:80.02,79.94,79.97,79.98,79.97,80.03,79.95,79.97假设每种方法测得的数据都服从正态分布，且他们的方差相等。检验H。：两种方法的总体均值相等。(, =0.05)解：X = 5 Xj =80.020请Y13 i8 y二 79.97881 13 _ 2 1 8 - 2S2 =送(XiX j =5.4X1O*,S；=送(Y Y) =8.6x10*8 i413i4(1)提出假设H 0 :叫=J2, H1 :叫2(2)构造统计量t 二nn2 n n2 2n n2XY_.n 1S12n2Sf3.98(3)否定域V =t 就口 +

6、 n2 -2 )aS + n2 -2=t tr ot(n1 + n2 - 2 )给定显著性水平=0.05时，临界值t : m n2 -2 =t0.975 19 = 2.09301 2(5) t t - n“ n2-2，样本点在否定域内，故拒绝原假设，认为两种方法的总体均值不 1卫2相等。3.7今有两台机床加工同一种零件，分别取6个及9个零件侧其口径，数据记为X1,X，X6及丫1,丫2,丫9，计算得66992 2、Xj =204.6,、Xi -6978.93? Y307.8? Yi -15280.173i 1i 1i di d假设零件的口径服从正态分布，给定显著性水平:=0.05，问是否可认为这

7、两台机床加工零件口径的方法无显著性差异？ 解:2 1 n 2 2 2 1 n 2 23Xi -X0.345, S2Yi -Y 0.357I F F。（人匕1 ）n yn i丄2 2 2 2(1)提出假设 Ho：；2,出：；一2（2）构造统计量m1A1.031（3）否定域F F ：.n 1 -1, n2 -1V = * F v F 婕（n 1, n? 1*给定显著性水平=0.05时，临界值F -in1 -1 n2- F0.975 5,8 二 4.821 .2F ：F 一 n1 -1,n2 -1 ,样本点在否定域之外，故接受原假设，认为两台机床加工零 1空2件口径的方差无显著性影响。3.8用重量法

8、和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO2的含量，得如下结果重量法：n=5 次测量，X = 20.5%, S =0.206%比色法：n=5 次测量，Y = 21.3%$ = 0.358%假设两种分析法结果都服从正态分布，问（i）两种分析方法的精度 （二）是否相同？（ii） 两种分析方法的 均值（）是否相同？ （=0.01）解:（ i）提出原假设：H0 : J - ；2H1: J =匚2对此可采用统计量2n1（n2 _ 1）S1F 一 2n 2 （m -1） S2在H下，F ： F （厲-1, n2 -1）,我们可取否定域为 1V一彳卩UFF 口（厲 _1,匕一1）I 2J k 2J此时 P（ V

9、H0）-二-0.01本题中，m=5,x=20.5%,3=0.206%q=5,y=21.3%,0=0.358%代入上式得:22匚_ n 1(n2 一1)35 (5-1)(0.206%)22n2(m -1)S；5 (5-1) (0.358%)1Fo.oo，5) =14-94 =0.0669Fo95(5, 5) =14.94由于F0.005(5, 5) VFF0.995(5, 5).接受H。即无明显差异。(ii)提出假设：H0： 7二JH1 :叫i2这种二未知的场合，用统计量叩2（门1ni$ -2)n2(X -Y)rbS21 n1 _ 其中 S2 = 区-X)2(y-Y)2n2 i d：在H0成立时

10、，t服从自由度为n n2 -2的t分布。 否定域为：V=t这上5+门2-2)L.2丿此时 P( V H)=g =0.01本题中，口 =5,1=20.5%,0=0.206%q =5, y=21.3%,S =0.358%代入上式得：t=n1n2(n1n2 -2)n 1 +压(X -Y).mS2 n2S；55(55二2) (20.5%二21.3%)Y 5+5J5(0.206%) + 5(0.358%)=-3.8737t ： (n1 n2 -2) =t 0.995 (8) =3.35541 2寫t讣左(口 +n2 2)2-拒绝H0,即差距显著。3.9设总体X : N(4), Xi, ,Xi6为样本，考

11、虑如下检验问题：=0 比=-1(i) 试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为:=0.05Vj=2才 U1= U 0.975 =0.05这里H0 :-0二 P|X :2*1.96 = 0.05y -2X _ -1.645 /f1Id、x 0P2X 乞一1.645 1 = P 一乞一1.645 二( 一1.645) =1 门(1.645)=1-0.95=0.05V2 =1.50 乞 2X 2.12 _1.5- 一 乞 2.120IVnJPV2- (2.215) (1.50) =0.98 0.93 =0.05fl II 2X 兰 1.96 V32X _ -1.96或2X _1.96 P(

12、V3 H)=1-P X 1.96X -0方1 =2(1 门(1.96) =0.05-1.96IIJ(ii)犯第二类错误的概率=-=7频数81617106210试问这个分布能看作为泊松分布吗？（ ： =0.05）解：检验问题为:Ho : P(x 二 k)二 ke参数为k!已知，的最大似然估计7/=X = n p = 0 ”1*60I6皆、-：卜6*丄 7* 2 =260 60 60F4F6F820e丄= =0_2 e 0!1 2= px -n-=2*1!2 _22!二 PX =3；二3!4-2=p fx =4，4!5厶/二 PX =5；=5!6 J2= PX =6.； =6!-0.1353e0.

13、2707_2=2* e 二 0.2707= 1.5* e0.2030= 2*e=0.09023二4* e 0.03611542* e = 0.012045”X 一 7 =1 -PX _6： =0(8 -60*0.1353) 260*0.1353.(16-60*0.2707) 2 . . . . (1 -60*0.0120) 260*0.270760*0 .0120=0.6145由于弋（k-1）=W0.05.接受H0,认为这批零件的直径服从正态分布。3.17用D AgostinoD检验法检验例3.20。解：H。：维尼纶纤度服从正态分布 H!:维尼纶纤度不服从正态分布为了便于计算，统计量 D的分子

14、可以换成与其相等的形式:定义统计量:57.345123.18=0.466r_k对于给定的显著性水平=0.01，查表得D $ = D0.995 =1.59,= D0.005 = -3.57，由于 Dq c D c D 冬,故接受 H，认为维尼纶222_2纤度服从正态分布.18用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下:甲（小时）：1610165016801700175017201800乙（小时）：15801600164016401700试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异匕-0.05） ？解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一

15、组的数据下边标有横线。设两个总体的分布函数分别为F1（x ）与F2（x）,它们都是连续函数，但均为未知 我们要检验的原假设为：H 0：R(x) *2(x)表 3-18序号123456789101112数据158016001610164016401650168017001700172017501800这里1700两组都有，排在第 8,第9位置上，它的秩取平均数（8+9）/2=8.5 这里m = 7 压=5,T取T?,即T=T 2 =1 2 4 5 8.5=20.5从附表13查得T=T=22,T,二保=43 TvT1)=22.拒绝H0,认为两种材料制成的灯泡的使用寿命有显著差异3.21对20台电子

16、设备进行3000小时寿命试验，共发生12次故障，故障时间为34043056092013801520166017702100232023501650试问在显著水平=0.10下，故障事件是否服从指数分布?原假设为：H。：F(x) = F0(xr) =1-e 二 x0求未知参数曲勺极大似然估计值解:二丄 X (340 430650)=1416.6712 i=i12X(i)按公式F0(X(i);=1-e1416.67计算X点的分布函数值，在列表计算di值。X(i)niF(X(i)；令FW)F(XRF 0(X (i” 納 -F n ( X ( i)|厂(X (牛) _Fc ( X；糾di34010.21

17、3400.08330.21340.13000.213443010.26180.08330.16670.17850.09510.178556010.32650.16670.25000.15990.07650.159992010.47760.25000.33330.22760.14430.2276138010.62250.33330.41670.28910.20580.2891152010.65800.41670.50000.24130.15800.2413166010.69020.50000.58330.19020.10680.1902177010.71330.58330.66670.13000

18、.04670.1300210010.77290.66670.75000.10620.02290.1062232010.80560.75000.83330.05560.02780.0556235010.80960.83330.91670.02370.10700.1070265010.84700.91671.00000.22870.31200.3120S2.2108由表可知& =2.2108,给定显著水平a =0.10,查附表9得S2,o.io =1.65Sn S12,0.10.拒绝H0,既不认为故障时间服从指数分布。3.19由10台电机组成的机组进行工作，在2000小时中有5台发生故障，其故障发

19、生的时间为：13509654271753665试问这些电机在2000小时前发生的故障时间 T是否服从平均寿命为 1500小时的指数分布?(:=0.1)解：H。：故障时间服从指数分布H1 :故障时间不服从指数分布求未知参数T?的极大似然估计值为1 57?Xj =10325 yF Xj 门？ =1 - e辰计算X i点的分布函数值，再计算 di，计算过程见下表:X()F(X(严i -1ni nF(X行列-目律-F(X(i)?)di42710.33900.20.3390.1390.33966510.4750.20.40.2750.0750.27596510.6070.40.60.2070.0070.

20、207135010.7300.60.80.1300.0700.130175010.8170.81.00.0170.1830.183合计1.134由表知S： =1.134，在给定的置性水平-0.1下，查表得Sna = S5,朗=1.23 A Sn，故接受H 0，认为服从平均寿命为1500小时的指数分布3.20考察某台仪器的无故障工作时间12次，的数据如下：28425492138159169181210234236265试问无故障工作时间是否服从指数分布？(=0.1)解:Ho :无故障工作时间服从指数分布Fo Xi 宀11 12丄、Xi =150.66712 _xH1 :无故障工作时间不服从指数分

21、布 求未知参数T?的极大似然估计值为：计算X 点的分布函数值，再计算 d，计算过程见下表:X()F0(X(ei -1ni nFjXf 严 n丄-F0(Xfi) n )di2810.17000.0830.1700.0870.1704210.2430.0830.1670.1600.0760.1605410.3010.1670.250.1340.0510.1349210.4570.250.3330.2070.1240.20713810.6000.3330.41702.670.1830.26715910.6520.4170.50.2350.1520.23516910.6740.50.5830.1740

22、.0910.17418110.6990.5830.6670.1160.0320.11621010.7520.6670.750.0850.0020.08523410.7880.750.8330.0380.0450.04523610.7910.8330.9170.0420.1260.12626510.8280.9171.0000.0890.1720.172合计1.891由表知S； =1.891，在给定的置性水平口 =0.1下，查表得S；a = S；o.i =165 Dn，故在 =0.20下，接受 H 0，两位工人加工的主轴外径服从相同的分布。(2)秩和检验法将两组数据按从小到大的顺序排列，划横线为甲的数据序号1234567数据19.019.219.419.719.719.819.8骨口. 序号891011121314数据20.020.120.420.520.520.6