我地高考 椭圆知识点总结材料

1、实用文档 文案大全 椭圆知识点 一、椭圆的定义 平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF? ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121FFPFPF?，则动点P的轨迹为线段21FF； 若)(2121FFPFPF?，则动点P的轨迹无图形. 二、椭圆的标准方程 1当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222?byax)0(?ba，其中222bac? 2当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222?bxay)0(?ba，其中222bac?； 注：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐

2、标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2在椭圆的两种标准方程中，都有)0(?ba和222bac?； 3椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,(c?； 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c? 三、椭圆的简单几何性质 椭圆：12222?byax)0(?ba的简单几何性质 （1 ）对称性：对于椭圆标准方程12222?byax)0(?ba说明：把x换成x?、或把y换成y?、或把x、 y同时换成x?、y? 、原方程都不变，所以椭圆12222?byax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

3、 （2）范 围：椭圆上所有的点都位于直线ax?和by?所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax?，by?。 实用文档 文案大全 （3）顶 点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆12222?byax)0(?ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1aA?，)0,(2aA，),0(1bB?，),0(2bB 线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221?,bBB221?。 a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作acace?22。 因为)0(?ca，所以e的取值范围是)1

4、0(?e。e越接近1，则c就越接近a，从而 22cab?越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当ba?时，0?c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx?22。 注 ：椭圆12222?byax的图像中线段的几何特征（如右图）： （1）122PFPFa?； ePMPFPMPF?2211； （椭圆的第二定义） 2122aPMPMc?； （2）12BFBFa?； 12OFOFc?； 2212ABABab?； （3）1122AFAFac?； 1221AFAFac?； 1acPFac?； 实用文档 文案大全 四、椭圆12222?byax

5、 与 12222?bxay)0(?ba的区别和联系 标准方程 12222?byax ) 0(?ba 12222?bxay )0(?ba 图形 性质 焦点 )0,(1cF?，)0,(2cF ),0(1cF?，),0(2cF 焦距 cFF221? cFF221? 范围 ax?，by? bx?，ay? 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 )0,(a?，),0(b? ),0(a?，)0,(b? 轴长 长轴长=a2，短轴长=b2 离心率 )10(?eace 准线方程 cax2? cay2? 焦半径 01exaPF?，02exaPF? 01eyaPF?，02eyaPF? 注：关于椭圆12222?bya

6、x与12222?bxay)0(?ba的说明： 相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(?ba和)10(?eace，222cba?； 不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。 实用文档 文案大全 规律方法： 1、如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标 轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：?两个定形条件,一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2、椭圆标准方程中的三个量cba,的几何意义 椭圆标准方程中，cba,三个量的大小与坐

7、标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示 椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(?ba，)0(?ca，且)(222cba?。 可借助右图理解记忆： 显然：cba,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条 直角边。 3、如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4、方程均不为零）CBACByAx,(22?是表示椭圆的条件 方程CByAx?22 可化为122?CByCAx ，即122?BCByACx，所以只有A、B、C同号，

8、且A?B 时，方程表示椭圆。当BCAC?时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCAC?时，椭圆的焦点在y轴上。 5、求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c 相同。与椭圆12222?byax)0(?ba 共焦点的椭圆方程可设为实用文档 文案大全 12222?mbymax)(2bm?，此类问题常用待定系数法求解。 7判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依

9、据： 若把曲线方程中的x换成x?，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若把曲线方程中的y换成y?，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若把曲线方程中的x、y同时换成x?、y?，方程不变，则曲线关于原点对称。 8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、 三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF?相结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、，有关角21PFF? (21PFF?21BFF?)结合起来，建立21PFPF?、21PFPF?之间的关系. 焦点三角

10、形面积公式：12212tan2PFFFPFSb? (P为椭圆上任一一点) 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(?eace，因为222bac?，0?ca，用ba、 表示为)10()(12?eabe。 显然：当ab越小时，)10(?ee越大，椭圆形状越扁； 当ab越大，)10(?ee越小，椭圆形状越趋近于圆。 实用文档 文案大全 （一椭圆及其性质 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 （2）一动点到定点的距离和它到

11、一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率 2、椭圆的标准方程： ? ?222222221010xyyxabababab?或 3、椭圆的参数方程)(sincos为参数?byax 4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 ace? 2)(1abe? ? 10 ?e 5、椭圆的准线方程：左准线caxl21: ? 右准线caxl22:? （二） 、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式： 焦点在x轴上的椭圆的焦半径公式：1200 MFaexaeMxF?= （ 其中21,FF分别是椭圆的左右焦点） 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： ?02

12、01eyaMFeyaMF （ 其中21,FF分别是椭圆的下上焦点） （三） 、直线与椭圆问题（韦达定理的运用） 1、弦长公式：若直线bkxyl?:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),2211yxByxA（ 则：弦长221221)()(yyxxAB?221221)()(kx kxxx? 2121xxk? 2122124)(1xxxxk? 例1. 已知椭圆2241xy?及直线yxm。 （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。 实用文档 文案大全 2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆x2a 2y2b 21(ab0)的一条弦，中

13、点M坐标为(x0，y0)， 则AB的斜率为b2x0a2y 0. 运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，B(x2，y2) A、 B都在椭圆上，? x1 2a 2y1 2b 21，x2 2a 2y2 2b 21， 两式相减得： x1 2x2 2a 2y1 2y2 2b 20， x1x2x1x2a 2y1y2y1y2b 20， 即：y1y2x1x 2b2x1x2a2y1y 2b2x0a2y 0. 故：kABb2x0a2y 0. 例2 、过椭圆141622?yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。 实用文档 文案大全 （四）、四种题型与三种方法 四种题型 1、已知

14、椭圆C ：1162522?yx内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点. 求：PA+35PF的最小值。 2 、已知椭圆1162522?yx内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点. 求：PA+PF|的最大值与最小值。 3 、已知椭圆1162522?yx外一点A（5，6），l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，求：|PA|+d53的最小值。 4、定长为d (abd22?)的线段AB 的两个端点分别在椭圆)0(12222?babyax上移动. 求：AB的中点M到椭圆右准线l的最短距离。 实用文档 文案大全 三种方法 1 、椭圆22221xyab?的

15、切线与两坐标轴分别交于A,B两点， 求：三角形OAB的最小面积 。 2、已知椭圆 221123xy?和直线 l:x-y+9=0 ，在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦 点12,FF为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。 3、过椭圆2222xy?的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求AOB?面积的最大值 。 实用文档 文案大全 课后同步练习 1. 椭圆11692522?yx的焦点坐标是 , 离心率是_，准线方程是_. 2. 已知F1、F2 是椭圆221169xy?的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则MNF2的周长为( ) A8 B16 C25 D32 3. 椭

16、圆192522?yx上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 10 4. 已知椭圆方程为1112022?yx,那么它的焦距是 （ ） A. 6 B. 3 C. 331 D.31 5. 如果方程222?kyx表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.（0，+） B. (0,2) C. (1,+) D. (0,1) 6设21,FF为定点，|21FF|=6，动点M满足6|21?MFMF，则动点M的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段 7. 已知方程12?mx +my?22=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范

17、围为 . 8. 已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（23,25?），则椭圆标准方程是_ _ 9. 过点A（-1，-2 ）且与椭圆19622?yx的两个焦点相同的椭圆标准方程是_ _ 10. 过点P （3，-2），Q（ -23，1）两点的椭圆标准方程是_ _ _ 11. 若椭圆22189xyk?的离心率是21，则k的值等于 . 12. 已知ABC的顶点B、C在椭圆x2 3y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 . 13. F1、F2 分别为椭圆22xa +22yb=1的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2 是面积为3的正三角形，则b2的值是 14. 设M 是椭圆2212516xy?上一点，F1、F2 为焦点，126FMF?，则12MFFS? 15. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (A)2 (B) 22 (C) 12 (D) 24 实用文档 文案大全 16. 设?11229,4,5AxyBCxy?是右焦点为F的椭 圆221259xy?上三个不同的点，则“,AFBFCF成等差数列”是“128xx?”的（ ） （A）充要条件 （B