波函数和Schrodinger方程.ppt

1、1. 经典粒子运动状态的描述,第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释,一. 波函数,经典粒子的运动状态由位矢 和动量 来描述,经典粒子的描述方法反映不了波粒二象性,坐标r和动量p不能同时确定,测不准关系,自由粒子可以用德布洛意平面波描述,2. 微观粒子的运动状态由波函数 来描述,如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为,三个问题,De Broglie 平面波,自由粒子的波函数,是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢,a. 认为电子是由波

2、包组成，因而呈现出干涉与衍射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度,二. 波函数的统计解释,这种看法碰到了难以克服的困难,即自由粒子的物质波包必然要扩散。这与实验是矛盾的,1.对粒子波动性的几种理解,物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实际上抹杀了粒子性的一面,是带有片面性的,b. 波动性是由于大量电子分布于空间形成的疏密波.它类似于空气振动出现的纵波,即由于分子密度疏密相间而形成的一种分布.这种看法也与实验矛盾,与物质波相反的另一种看法是,实际上可以通过做这样的电子衍射实验,让入射电子流极其微弱.电子几乎一个一个地通过仪器.但只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样,把

3、波动性看成大量电子分布于空间所形成的疏密波的看法也是不正确的,它夸大了粒子性的一面,而实际上抹杀了粒子波动性一面,也带有片面性,然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？“电子既不是粒子,也不是波”.更确切地说,它既不是经典例子,也不是经典的波.我们也可以说,电子既是粒子,也是波,它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一.但这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经典概念中的粒子,在经典概念下,粒子与波的确是难以统一到同一客体上去,然而究竟应该怎样理解波粒二象性呢,把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M.Born(1926)提出的概率波,仔细分析一

4、下实验可以看出，电子所呈现的粒子性，只是经典粒子概念中的“原子性”或“颗粒型”，即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体出现在实验中，但并不与“粒子有确切的轨道”的概念有必然的联系.而电子呈现的波动性，也只不过是波动最本质的东西波的相干叠加性，但并不一定与某种实在的物理量在空间的波动联系在一起,1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样,2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样,1. 单电子衍射实验,单电子衍射实验结果分析,1) “亮纹”处是到达该处的电子数多，或电子到达该处的几率大。 “暗纹”处是到达该处的电子数少，或电子到达该处的几率小,2) 衍射图样由电子波动性引起 “

5、亮纹”处表示该处波强度大， “暗纹”处表示该处波强度小,结论:电子到达屏上各处的几率与波的强度成正比,2.玻恩统计解释,波函数在空间某点的强度(波函数模的平方)和在这点找到粒子的几率成比例,描写粒子的波是几率波，即德布洛意波是几率波,3.波粒二象性的图象,1）微粒是一粒一粒的,2）波函数并不确定什么时刻粒子到达哪一地点，而只是给出可能到达地点的一个统计分布,波的强度大的地方表明粒子可能到达该点的概率大,波的强度小的地方表明粒子可能到达该点的概率小,波函数描述粒子的状态是量子力学的基本原理之一,三. 波函数的性质,波函数统计解释 (或称玻恩统计解释,1）波函数的物理意义,在 时刻 点处、 体积内

6、，找到由波函数 描写的粒子的几率是,在 时刻 点处、单位体积内找到粒子的几率是,几率密度,在体积 内， 时刻找到粒子的几率为,粒子在整个空间出现的概率是1,2）归一化波函数,即波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变,和 描述的是粒子的同一个状态,令,满足该式的波函数称为归一化波函数，也称为归一化条件， 称为归一化因子,归一化因子不定,对归一化波函数仍有一个模为1的相因子不定性,若 是归一化波函数,也是归一化波函数（其中 是实数,称为相因子,求归一化波函数的方法,是归一化常数,波函数是平方可积,才能归一化,如果是不可积分时可用其它方法,特例: 自由粒子的波函数无法正常归一化,归一化条件为,自

7、由粒子德布洛意平面波为,或,自由粒子的德布洛意平面波不能正常归一化,具体如何处理后面再讨论,玻恩统计解释,归一化条件,描述N个粒子组成的体系的运动状态,四.多粒子体系的波函数,时刻第1个粒子处于 处 内, 同时第2个粒子处于 处 内,、 第N个粒子处于 处 内的几率为,一、态叠加原理,2.2 态叠加原理,微观粒子状态用波函数描述，称波函数为状态波函数. 量子力学的波的叠加原理称为态叠加原理,一般情况下，如果1和2 是体系的两个可能状态，那末它们的线性叠加,量子力学的态叠加原理,也是该体系的一个可能状态.其中C1 和 C2 是复常数。这就是量子力学的态叠加原理,态叠加原理更一般表述,若1 ，2

8、,., n ,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加,也是体系的一个可能状态。 (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数,物理意义,当体系处于态时，体系部分的处于1态，部分的处于2态.，部分的处于n，. 或: 几率处于1态, 几率处于2态,解释电子双缝干涉,也是电子的可能状态,空间找到电子的几率则是,一个电子有 和 两种可能的状态， 是这两种状态的叠加,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,相干项 正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹,在晶体衍射实验中，粒子反射后的状态为各种可能动量 的波函数的线性叠加,其中,有,上面是一维情况, 下面把它推广到三维

9、的情况,Fourier变换,任意波函数可以看作各种不同平面波的迭加,时刻粒子在 处附近体积元 内出现的概率,时刻粒子在 处附近体积元 内出现的概率,量子力学 建立于 1923 1927 年间，两个等价的理论 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程,薛定谔（Erwin Schrodinger，18871961）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法,微观粒子量子状态用波函数完全描述，粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间改变由运动方程来描写,2.3 Schrodinger 方程,一、引言,宏观

10、物体（质点）状态用位矢、动量描述，粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间改变由运动牛顿方程来描述,1）经典情况,二、引进方程的基本考虑,已知初始条件 、 和,由牛顿方程，可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 和,因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程,2）量子情况,1因为，t = t0 时刻，已知的初态是( r, t0) 且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间 的一阶导数,3.方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足,也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就

11、是说方程中只能包含, 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项,2.另一方面， 要满足态叠加原理，即，若 和 是方程的解，那末,三、自由粒子满足的方程,这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将对坐标二次微商，得,或,1)(2)式,对自由粒子，有,拉普拉斯算符,讨论,得,通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式 E = p2/2m 写成如下方程形式,4,做算符替换（4）即得自由粒子满足的方程（3,该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为波动方程,若粒子处于势场 中运动，则能量、动量关系变为,四、势场 中运动的粒子,将其作用于波函数 得,

12、五、多粒子体系的 Schrodinger 方程,第 个粒子所受到的外场,粒子间的相互作用,则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为,在讨论了波函数随时间变化的规律,即运动方程后，我们将利用运动方程来进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化,一、 几率密度随时间的变化,2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律,粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是,取共轭,5,6,表明在体积元中粒子几率的增加等于从体积元表面流入的几率,二、 几率流密度矢量,几率流密度矢量,几率流密度方程,在空间闭区域中将上式积分，则有,上面是定域几率守恒,当趋于 ，即让积分对全空

13、间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零,使用 Gauss 定理,是体积 的表面积,表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭,1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化,以m乘连续性方程等号两边，得到,质量密度,2） 质量守恒定律,质量流密度,定义电荷密度和电流密度,3） 电荷守恒定律,以e乘连续性方程等号两边，得到,式右边含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的，所以S是任意闭合面,三、波函数的标准条件,1. 根据Born统计解释， 是粒子在t时刻

14、出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求 应是 r, t的单值函数、而且是有限,2. 根据粒子数守恒定律,波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件,波函数标准条件,要求积分有意义， 必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数也连续,2.5 定态Schrdinger方程,一、定态Schrdinger方程,外场不含时间情况下的 Schrdinger 方程,可分离变量,令,两边同除以,有,第一个方程可以解得,第二个方程称为定态 Schrdinger 方程,整理后,可以得到如下两个方程,二、 Hamilton 算符的本征值方程,1.

15、 哈密顿算符,定态 Schrdinger 方程,可以写成,这个方程称为哈密顿的本征值方程,Schrdinger 方程,可以写成,2. Hamilton 算符的本征值方程的解,其中E是常数,求满足这个方程的解,即求满足这个方程的本征值,相应的一系列本征函数,这称为Hamilton 算符的本征值方程的解,得到Schrdinger方程的一系列特解,这样的波函数称为定态波函数,三、定态,1. 定态波函数,定态波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率=2E/h,由de Broglie关系可知,常数 En 就是体系处于波函数 所描写的状态时的能量,也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，定

16、态波函数 描写的状态称为定态,2.定态的性质,1）粒子的能量有确定值,2）粒子在空间几率密度与时间无关,3）几率流密度与时间无关,Schrdinger 方程,此方程是一个线性方程，因此方程的一般解为,四、Schrdinger方程的一般解,2.6 一维无限深势阱,一个粒子在不可透过的立方箱子中自由运动.这个三维运动可以通过分离变量法简化为三个一维的运动,物理模型,一、定态薛定谔方程,1. 势场,势阱内的粒子不可能跑到势阱外面来,所以势阱外找到粒子的几率为零,阱外波函数 为零,方程变为,它的通解是,2. 定态薛定谔方程的解,在势阱内，薛定谔方程为,令,因而,有两种情形的解,1,3. 能级与波函数,

17、由波函数标准条件:单值,有界,连续,则要求波函数在阱内外要连续,注意: A和B不能同时为零, 否则波函数为零,两种情况可合并=1,2,3,2,波函数归一化,一维无限深方势阱中粒子的能级和波函数,1）一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的,基态能量（最低能量,第一激发态能量为,4. 讨论,束缚态是指当 时，,2） 描述的是束缚态,3）与经典粒子的运动进行比较,经典粒子在势阱中运动：能量可以取从零到很大的所有的值（连续,粒子运动的速率不变,所以粒子在匣子内各处出现的几率相等,微观粒子在势阱中运动：能量取分立的 值,微观粒子在势阱内各处出现的几率密度为,由一维无限深方势阱问题的求解可以看出，解薛定谔

18、方程方程的一般步骤如下,方法,1、列出各区域的薛定谔方程,2、求解薛定谔方程,3、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续） 定未知数和能量本征值,4、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化 系数,2.7 线性谐振子,任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动,简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的,一. 势场,例如双原子分子，两原子间的势U是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，U有一极小值U0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级

19、数,取新坐标原点为(a, U0)，则势可表示为标准谐振子势的形式,可见，一些复杂的势场下粒子在平衡位置附近的小运动往往可以用线性谐振动来近似描述,在方程中做如下的无量纲化变换,方程,二. 定态薛定谔方程,但是 应该舍去。 所以再进行变换,则方程变成,当时，方程变为,它有渐近解,渐近解,代入（2.7-4)式中得,求: 和,可得H()满足的方程,三、 能级和波函数,能够避免这种情形出现的唯一方法是让级数在某一项“中止” 或“退化”为多项式，即要求H()是的n次多项式,可以用级数法求解H()的方程，结果发现：只要H()是“真”无穷级数，那么在x的时候H()就 e2,仍然使()发散,1. 级数求解,令

20、,等式两边 的各次幂系数相等，得到如下递推关系,分别求 和 ，代入方程（2.76），整理得,上面得到了方程的通解，我们来考虑波函数标准条件：单值，有限，连续,上面的级数显然满足单值和连续条件,2. 有限条件,为了使波函数满足有限条件，上面的级数必须从某一项起中断而成为多项式,3. 能级,多项式 或者都是偶数项或都是奇数项,由,和,得线性谐振子的能级,4. 波函数,与 对应的波函数,其中 称为厄密多项式, 是归一化波函数,厄密多项式 由 和 的递推关系得到,厄密多项式 的最高次项的系数为,下面给出前五个厄密多项式,一般表达式,递推关系,的奇偶性由 决定，称为 的宇称,1.线性谐振子的能级和波函数

21、,四. 讨论,能级,对应的波函数,Nn 是归一化常数，可以由归一化条件,得,2. 分立能级,2)零点能是,1) 能级是分立的,是等间隔的,3. 粒子运动的范围,经典振子的运动范围是在振幅之内(能量决定振幅,量子振子在空间出现的几率密度为,经典振子运动范围是振幅,与能量有关. 量子振子的波函数在经典运动范围之外并不等于零,因此在经典的振范围之外找到粒子的几率不等于零,最低三个能级的波函数.从中可看出经典振子的运动范围,即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，=a sin(t+ ) ,在点的速度为,4.几率分布(与经典力学比较,在经典力学中,在到+d之间的区域内找到质点的几率 与质点在此区域内逗留的时间dt成正比,谐振子波函数n有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 -a, a 区间每一点上都能找到粒子，没有节点,几率分布,2.8 势垒