高考数学复习指导：备考指导

1、2019 高考数学复习指导：备考指导高考数学复习指导：备考指导( 一 ) 数形结合，借尸还魂【题 1】 (2009. 辽宁卷 12 题 ) 若 满足 2x+ =5,满足 2x+2(x-1)=5, + =( )(a) (b)3 (c) (d)4【分析】本题有数无形，仅靠枯燥的数字分析或推理，试图分别求出x1 与 x2，再求它们的和是不可能的. 唯一的出路是借尸还魂，到图中去寻找答案.【解析】 . 将条件式改写为及 .令 .如图，曲线 关于直线 对称 . 设直线 分别与曲线及直线 交于 ，则点 a,b 亦关于点 m对称 . 由 ，故选 c. ( 二 ) 调虎离山 命题转换【题 2】(2019. 四

2、月 . 湖北孝感理科 .14 题 ) 在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色. 先染 1，再染 2个偶数 2、4; 再染 4 后面最邻近的3 个连续奇数5、 7、 9; 再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10、12、14、16; 再染 16 后面最邻近的 5 个连续奇数 17、19、 21、23、 25. 按此规则一直染下去，得到一红色子数列 1， 2， 4，5， 7， 9， 10， 12，14， 16，17， . 则在这个红色子数列中，由1 开始的第2019第 1页个数是【分析】按题示规则, 对全体正整数操作如下：12345678910111213141516171

3、81920212223242526272829303132333435363738如果仅就现在的排列方法, 很难找出规律 . 于是想到 : 何不将那些染红了的数调出来, 用适当的方式重新排列呢?【解析】在以上各数中， 我们将所有打了圈的数称为合格数，并将所有合格数按奇, 偶相间的原则列成三角形数表如图2：立即发现其排列规律是：1. 第 n 行的最后 1 个数字是 ;2. 前 n 行共有 个合格数数 .题目已经暗示：2019 一定是合格数 , 设 2019 位于这张表的第 n 行 , 那么： , 即 , 故满足 (1) 式的最大值是 63. 当 n=63 时 , 最后 1 个数是第 个, 其值为

4、 , 这是个奇数 .据此 , 这一行应全为奇数. 由此倒推 6 数 , 则第 2019 个合格数是 3969-26=3957.( 三 ) 抽丝剥茧 , 水落石出【题 3】(2019 四月 . 湖北黄冈等6 市 .10 题 ) 已知数列满足：第 2页且 , 则图 3 中第 5 行所有数的和是( )a.62 b.64 c.32 d.34【分析】求和的前提条件是找出这个递推数列的通项公式.可是由递推关系找到求通项的规律, 不是轻而易举的事, 需要作逐步精密的探究 .如果不作 , 这道题很难 .【解析】第一步：递推关系式的右式, 分子的次数高于分母的次数 ,且分子为单项式, 分母为多项式 , 不便于推

5、理运算, 因此考虑岸边取倒数 .由第二步 , 由以上结果及, 知 是首项且公差 d=1 的等差数列 .这个过渡数列的通项公式是：.第三步 , 我们发现 虽然不是等比数列 , 但其比值是一个简单的一次式 . 这种情况适合叠乘法求通项：已知 这个数列的通项公式为 (n=1 也适合 ) 于是水落石出 , 图 5 中第 5 行所有数的和是：故选 a.( 四 ) 瞒天过海暗云飞渡【题 4】 ( 武汉二月调考 .15 题 ) 已知双曲线 的左顶点为 a，右焦点为 f, 设 p 为第一象限内曲线上的任意一点，若第 3页pfa=fap,则的值为【分析】无论是选择题, 还是填空题 , 都是无需讲道理的. 既如此

6、 , 解题人就可以省去一切繁文缛节, 不择手段地去找出正确的答案 . 显然 , 本题的答案与非零实数a 的取值范围无关,我们就可以挑选一个最便于计算的特殊位置解之.【解析】如图4，取图形的特殊位置, 使 pfaf.由条件知有a(-a,0),f(2a,0).在双曲线方程中令x=2a, 有：. 得 p(2a,3a).在直角三角形afp中， paf=45，而pfa=90paf.=2.【说明】 (1) 原题没有对点p 在第一象限曲线上的位置有所限制，这意味着的取值与点p 的具体位置无关，也就是是一个常数 . 这就是本题可以取特殊位值的根本原因.(2) 本题源于如下轨迹题：已知定点a(-a,0),f(2

7、a,0).一动点 p(x,y)满足 pfa=2paf,求点 p 的轨迹 .【解析】如图42，设 paf=，则 pfa=2. 由正切的二倍角公式：所求轨迹为双曲线的右支( 不含右顶点 ).( 五 ) 他山之石可以攻玉【题 5】(2019. 武汉二月调考 .10 题 ).过定点 p(3,1) 的直线交 x 轴正半轴于a, 交 y 轴正半轴于 b,o 为坐标原点，则 oab周长的最小值为( )第 4页a.8 b.10 c.12 d.【分析 1】本题是名副其实的不小的小题，不能用特殊值法解决，从形式上看，由于题中有坐标系为背景，是一道解析法求最值的问题 . 但是若真用解析几何的方法去做，却何其难也 .

8、 假如思考方向不限于解析法，例如用三角法去做，却是山穷水复疑无路，柳暗花明又一村【解析 1】如图 1，作 pmx轴于 m，pny轴于 n，则 on=2,on=1.设 oab=npb=，则 nb=2ton,ma=cot,ap=csc,pb=2sec.于是 oab的周长于是，故选 b.【说明】进一步研究：当且仅当，即时等式成立 . 此时 .于是，满足 oa+ab+ob=10.【分析 2】在华中师大数学通讯网站上，一位朋友利用几何思想给出了本题的绝妙解法，现介绍如下：【解析 2】首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径 .如图 2，设直角 oab 斜边上旁切圆的圆心为q(a,a)作 qha

9、b于 h, qmx 轴于 m， qny轴于 n 那么 qm=qn=qh=a由.qam qap 知 qm=qh,且 am=ah同.理 qn=qh且 bn=bh于.是l=qm+qn=2qh=2a.连 pq,则 . 令 即( 舍 ) ，或 . 于是所求 oab 的最小值为l=2a=10.第 5页本题还可以用导数法求解, 这里从略 .( 六 ) 避实击虚反客为主【题 6】(2019. 北京海淀区高三数学期中试题8) ：已知函数. 若实数使得有实根，则的最小值为 ( )(a) (b) (c)1 (d)2【分析题目给定的是关于变量x 的分式方程 , 就提论题地去做 , 无异于打一场耗时费力的攻坚战 , 希

10、望渺茫 . 但若将方程中的辅助变量 a,b 反客为主 , 则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地 .【解解析】将改写为： .令在直角坐标系aob中，设为直线 (1) 上一点，则.又设原点到直线(1) 的距离为，那么再令上增，故. 也就是的最小值为，选 (a)( 七 ) 擒贼擒王解题寻根【题 7】 (2019. 湖北卷 .6 题) ：在这四个函数中，当 恒成立的函数的个数是( )a， 0 b ，1 c ， 2 d， 3【分析】虽然是一道小题，可就是这一道不起眼的小题，那一届却难倒了一大批考生. 即使是考后，有些教师为了解这道题也费了九牛二虎之力. 为什么因为题中的四个函数，如第 6页果逐

11、一探究，哪都不是省油的灯. 为此人们不得不反思：擒贼擒王，解题寻根. 这道题的根究竟在哪里呢?原来除直线函数外，无论什么函数的图像都是曲线，而曲线只有上凸和下凹两种简单形式，这就是本题的根.【解析】解本题应先掌握凸，凹函数的性质，如图 61，曲线 在弦 ab的上方，我们称它是上凸的函 数，在曲线上任取两点a， b，作有交 于 c， ab于 m，那么，如图 62 ，曲线在弦 ab的下方，我们称它是下凹的函数，同理，由，又说明下凹函数有性质：以上结论与曲线所在象限无关，这是因为曲线经过平移后，不影响它们的数量关系.题中的四个函数，所以在 (0 ， 1) 内，式子不是恒成立。又是下凹的，只有是上凸的

12、，这就是说，在(0 ， 1) 内，使式子恒成立的函数只有一个。选b。( 参看图 7， 14)后记：无独有偶，今年的北京卷也有类似的试题： 对于函数 ，有如下结论： 当 时，上述结论中正确结论的序号是本题的正确答案是第 7页，它与湖北卷第6 题有异曲同工之妙.，( 八 ) 惜墨如金小题小作【题 8】(2019. 全国 2 卷 .12 题 ) 将半径都为1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( )a b c d【说明】对于这一题，笔者从某参考资料上看到的答案十分繁杂，原文如下：【解析】正四面体的高最小时，即四个小钢球与正四面体的各个面相切。首先求出一个小球的球

13、心o1到另三个小球球心所在平面o2o3o4的距离 ( 如图 7-1) 。o1o2=o2o3=o3o4=o4o1=2 o2e= o2o= oo1=然后再求出最上面的小球的球心o1到正四面体的顶点a 的距离 ao1， ( 如图 7-2)设 ab=x 则 bo， = oa= o1a= -1=o1bao， o， b o1b2=o， o12+o， b2 ( -1)2=12+ - +1=1+ -=0 x x=o， a= =4 o1a=3由题意可知三个球面到正四面体底面的距离为1 ，正四面体的高就本题而言，以上的解法确实太繁了. 在高考的有限时间里，花这么第 8页大的代价是不值的. 以下提出两种简略些的方法.【解 1】为求正四面体的高的最小值，只须解决三个问题：其一，这4 个钢球两两外切，其球心也连成一个正四面体，因为其棱长为2，所以它的高为2其二，这个球心四面体与原正四面体的两底面距离为1( 等于球的半径 );其三，这个球心四面体与原正四面体的两顶距离为3( 等于球的半径的3 倍 ) ，因此，这个正四面体的高的最小值为，选 c。【解 2】我们不妨称原四面体为容器正四面体 , 四个球心连成的四面