4.2 二次型的标准型与规范型_第1页
4.2 二次型的标准型与规范型_第2页
4.2 二次型的标准型与规范型_第3页
4.2 二次型的标准型与规范型_第4页
4.2 二次型的标准型与规范型_第5页
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文档简介

1、第二节,标准形的定义,正交线性替换法,配方法,二次型的标准形与规范形,初等变换法,二次型的规范形,一、标准形的定义,定义 二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 经过非退化,线性替换 x= Cy所变成的如下形式(只含平方项,yTBy = d1y12 + d2y22 + + dryr2 ( r n ) (4.5,的二次型称为二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的标准形,不难看出，二次型 (4.5) 的矩阵 B 为 n 阶对角,矩阵,即,B = CTAC = diag(d1 , d2 , , dr , 0 , , 0,二、用正交线性替换法,化二次型为标准形,任一(实)二次型

2、一定可以通过正交线性替换化为标准形,例 1 用正交线性替换化下列二次型为标准形, 并求出所作的正交线性替换,一般地，用正交线性替换将二次型f ( x1 , x2,xn ) = xTAx (其中 AT = A) 化为标准形的步骤如下,Step1 求出二次型矩阵 A 的全部特征值,1 , 2 , , n,Step2 求出正交矩阵 P，使,PTAP = diag(1 , 2 , , n),Step3 作正交线性替换 X = PY ，其中,Y = (x1 , x2 , , xn )T Rn ，则二次型 f ( x1 , x2 ,xn ) 化为标准形1y12 + 2y22 + + nyn2,三、用配方法

3、,化二次型为标准形,例 2 用配方法把三元二次型,化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵,例 3 用配方法化二次型,为标准形,即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同,四、用初等变换法,化二次型为标准形,对A施以一系列行初等变换,例 4 用初等变换法化二次型,为标准形,例 5 用初等变换法化二次型,为标准形,五、二次型的规范形,标准形唯一吗,标准形不唯一,如果二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = xTAx (其中 AT,A) 通过可逆线性替换可以化为,y12 + + yp2 y2p+1 yr2 ( p r n,则称上式为该二次型的规范形,规范形中,正项的个数 p 称为二次型的正惯性指标,负项个数rp 称为二次型的负惯性指标. r 是二次型的秩. p ( r p ) = 2p r 称为二次型的符号差,定理 4.4 任一二次型 f ( x1 , x2 , , xn,都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规,范形是唯一的,推论1 任一实对称矩阵A都与对角矩阵,合同,其中 1

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