二阶线性微分方程的解法

1、二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 y py qy f(x) (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程其中p、q均为实数，f (x)为已知的连续函数 .如果 f (x)0,则方程式 (1)变成y py qy 0(2)我们把方程 (2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式 (1)叫做二阶常系数非齐次线性方程 . 本节我们将讨论其解法 .二、二阶常系数齐次线性微分方程1解的叠加性定理1如果函数yi与 y是式的两个解，则y Ciyi也是式的解，其中C1,C2是任意常数.证明 因为yi与y是方程的解，所以有y1py1 qy1 0y2 py2 qy20将y Ci yi C2y2

2、代入方程 的左边，得(C1 y1 C2y2) p(C1 y1 C2y2) q(C1 y1 C2y2)=Ci(yi pyi qyi) C2(y2 py2 qy2)0所以y Ciyi C?y2是方程的解定理 i 说明齐次线性方程的解具有叠加性 .叠加起来的解从形式看含有Ci,C2两个任意常数，但它不一定是方程式(2)的通解 2线性相关、线性无关的概念设yi，y2，,yn,为定义在区间i内的n个函数，若存在不全为零的常数kk2,心，使得当在该区间内有 kk?y2knyn0,则称这n个函数在区间I内线性相关，否则称线性无关.例如1, cos2 x,sin2 x在实数范围内是线性相关的,因为2 21 c

3、os x sin x 0又如1, x,x2在任何区间（a,b）内是线性无关的，因为在该区间内要使k1 k2x k3x20必须 k1k2k3 0.对两个函数的情形，若上 常数，则y2线性相关 若吐 常数，则y2y2y1，y线性无关.3二阶常系数齐次微分方程的解法定理2如果y1与y2是方程式的两个线性无关的特解，则 yCdC2y2（G，C2为任意常数）是方程式（2）的通解.例如，y y0是二阶齐次线性方程，sin x，y2cosx是它的V1两个解，且 -tan X 常数，即y1，y2线性无关，所以 y2yC1 y1C2y2& sin x C2 cos x（C1,C2是任意常数）是方程y y 0的通

4、解rx由于指数函数y e （r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，根据指数函数的这个特点，我们用y来试着看能否选取适当的常数r ,rx使y e满足方程（2）.将y erx求导，得rx2 rxy re , y r e把y, y , y代入方程，得.2 rx(r pr q)e 0因为e0,所以只有r2 pr q 0只要r满足方程式（3）, y erx就是方程式 的解.我们把方程式（3）叫做方程式（2）的特征方程，特征方程是一个代数方程其中r2,r的系数及常数项恰好依次是方程（2） y , y , y的系数特征方程（3）的两个根为A,2P一,因此方程式（2）的通解有下列三种不同的情形2(1)当

5、 p4q 0时，ri,r2是两个不相等的实根riP . P2 4q2P P2 4q2yierix, y2er2x是方程的两个特解，并且上e（ri r2）x常数，即y2yi与y2线性无关根据定理2,得方程 的通解为 yCieC2ex2 当p 4q 0时，九“是两个相等的实根ri D ,这时只能得到方程的一个特解yi erix,还需求出另 一个解y2,且里 常数，设里 u（x）,即yiyirix ,、y2e u(x)yerix(uriu), yerix(u2riuu).将y2, y2, y代入方程，得erix (u2r1ur12u) p(ur1u) qu 0整理，得erixu (2ri p)u (

6、ri2 pri q)u 0由于 eriX 0,所以 u (2ri p)u (r, pq q)u 0因为ri是特征方程(3)的二重根，所以ri2pri q 0, 2rip 0从而有u 0因为我们只需一个不为常数的解，不妨取u x,可得到方程 的另个解rixy2xe .那么，方程(2)的通解为c Fix 小rixy CieC2xe即y (GC2x)erix.(3)当p2 4q 0时，特征方程(3)有一对共轭复根rii ，r2i(0)-Tt曰(i )x(i)x于是yie，y2e利用欧拉公式eixcosxisin x把yi,讨2改写为yi(i )x ex ei x ee x(cos xi sinx)y

7、2(i )x ex ei x ee x(cos xi sinx)yi，y之间成共轭关系，取yi = (yi y2) e x COS x， 2一1、x .y2評 y2) e sin Xy2yixe sin xxe cos xtan x 常数，所以方程(2)的通解为方程的解具有叠加性,所以yi , y2还是方程的解,并且xy e (C1 cos x C2 sin x)综上所述，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下(1)写出方程的特征方程2r pr q 0(2)求特征方程的两个根ri, a根据ri, r2的不同情形，按下表写出方程 的通解.2特征方程rpr q 0的两个根r1, r2方程 y py

8、 qy 0的通解两个不相等的实根r1r2yC1er1xC2er2x两个相等的实根r1 r2y (G C2X)er1x一对共轭复根r1,2iy e x (C1 cos x C2 sin x)例1求方程y 2y 5y 0的通解.解：所给方程的特征方程为r2 2r 50ri1 2i,r21 2i2例2求方程d孚2dS dt2dt的特解.解所给方程的特征方程为2rS2r0满足初始条件 St 04,S t 01 02r1r21通解为S(C1C2t)e t将初始条件St 0 4代入，得Ci4,于是S (4 C2t)e t,对其求导得S(C2 4 C2t)e t将初始条件S t 02代入上式，得C22所求特

9、解为S (4 2t)e t例3求方程y 2y 3y 0的通解.解 所给方程的特征方程为r2 2r 3 0其根为r13, r21所以原方程的通解为y C1e 3x C2ex二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3设y是方程(1)的一个特解，丫是式(1)所对应的齐次方程式(2) 的通解，则y Y y是方程式(1)的通解.证明把y Y y代入方程(1)的左端：(Y y ) p(Y y ) q(Y y )=(Y pY qY) (y py qy )=0 f(x) f (x)y Y y 使方程(1)的两端恒等 ,所以 y Y y 是方程(1)的解.定理 4 设二阶非齐次线性方程 (1)的右端 f

10、(x) 是几个函数之和 ,如y py qyf1(x)f2 (x) (4)而 y1 与 y2 分别是方程y py qyf1(x)与 y py qy f2(x)的特解，那么yiy就是方程(4)的特解，非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出 .2. f (x) e Xpm(x)型的解法f(x) e xPm(x),其中 为常数,Pm(x)是关于x的一个m次多项式.方程(1)的右端f (x)是多项式Pm(x)与指数函数e x乘积的导数仍为同一类型函数 ,因此方程 (1)的特解可能为 yQ(x)e x,其中Q(x)是某个多项式函数 .把yQ(x)e xy Q(x) Q(x)exy 2Q(x)

11、 2 Q(x) Q(x)e x代入方程 (1)并消去ex,得Q (x)(2 p)Q(x) ( 2pq)Q(x)Pm(x)(5)以下分三种不同的情形，分别讨论函数 Q(x)的确定方法(1) 若 不 是 方 程 式 (2)的 特 征 方 程 r2 pr q 0 的 根 , 即2 p q 0 ,要使式 (5)的两端恒等 ,可令 Q(x) 为另一个 m 次多项式 Qm(x) :Qm (x) b0 b1x b2x2bmxm代入 (5)式,并比较两端关于 x 同次幂的系数 ,就得到关于未知数 b0,b1, ,bm的 m 1个方程 .联立解方程组可以确定出 bi (i 0,1, ,m) .从而得到所求 方程

12、的特解为y Qm(x)e x(2) 若是 特 征 方 程 r2pr q 0 的 单 根 , 即22pq 0, 2p 0 ,要使式 成立，则Q (x)必须要是m次多项式函数 ,于是令Q(x) xQm(x)用同样的方法来确定 Qm(x) 的系数 bi(i0,1, ,m).22(3) 若 是 特 征 方 程 r 2 pr q 0 的 重 根 , 即 2 p q 0,2 p 0.要使(5)式成立，则Q (x)必须是一个 m次多项式，可令2Q(x) x2Qm(x)用同样的方法来确定 Qm(x)的系数.综上所述，若方程式(1)中的f(x)Pm(x)e x,则式(1)的特解为xkQm(x)e其中Qm(x)是

13、与Pm(x)同次多项式，k按 不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.2x例4求方程y 2y 3e 的一个特解解 f(x)是 Pm(x)ex型,且 Pm(x) 3,2对应齐次方程的特征方程为r22r0,特征根根为口 0,02.=-2是特征方程的单根，令yxbe 2x，代入原方程解得故所求特解为3b02y32xxe2例5求方程y 2y (x 1)ex的通解.解先求对应齐次方程 y2y y 0的通解.特征方程为 r2 2r 1 0, r1r2 1齐次方程的通解为再求所给方程的特解Y (G C2x)ex.1, Pm(x) x 1由于1是特征方程的二重根，所以y x2(a

14、x b)ex3. f (x)A cos xB sin x型的解法把它代入所给方程，并约去ex得6ax2bx 1比较系数，得11ab62于是y2/Xx(61 x1)e所给方程的通解为y y y(C1C2x1 2xx3)e26f(x) Acos x Bsin x,其中 A、B、均为常数.此时,方程式成为y py q Acos x Bsin x(7)这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式 的特解y也应属同一类型，可以证明式(7)的特解形式为yxk(acos x bsin x)其中a,b为待定常数.k为一个整数.当i不是特征方程r2 pr q 0的根，k取0； 2当i不是特征方程r pr

15、q 0的根，k取1;例6求方程y 2y 3y 4sinx的一个特解.解 1， ii不是特征方程为r2 2r 3 0的根，k 0.因此原方程的特解形式为y acosx bsi nx于是ya si nx bcosxy acosx bsin x将y,y ,y代入原方程，得4a2a2b4b04解得a2,b455原方程的特解为：y2cosx4 . sin x55例7求方程y2y 3yexsin x的通解解 先求对应的齐次方程的通解 Y.对应的齐次方程的特征方程为r2 2r 30ri 1,r23Y C1e x C2e3x再求非齐次方程的一个特解y 由于f(x) 5cos2x e x,根据定理 4,分别求出方程对应的右端项为fi(x) ex, f2(