一阶电路时域分析

1、第11章 一阶电路时域分析,11. 1 电感元件和电容元件,11. 2 动态电路方程的列写,11. 3 动态电路的初始条件,11. 4 一阶动态电路,11. 6 全响应的分解,11. 5 二阶动态电路,11. 9 状态变量法,11. 7,11. 8 卷积积分,一、电感元件 (inductor,inductance,变量: 电流 i , 磁链,1. 线性定常电感元件,n 为电感线圈的磁链,l 称为自感系数,l 的单位名称：亨利 符号：h (henry,电感以磁场形式存储能量,11.1 电感元件和电容元件,韦安（ -i ）特性,2. 线性电感电压、电流关系,由电磁感应定律与楞次定律,i , 右螺旋

2、 e , 右螺旋 u , i 关联,3) 电感元件是一种记忆元件,2) 当 i 为常数(直流)时，di / dt =0 u=0, 电感在直流电路中相当于短路,4) 当 u，i 为关联方向时，u=l di / dt； u，i 为非关联方向时，u= l di / dt,电感的电压-电流关系小结,1) u的大小与 i 的变化率成正比，与 i 的大小无关,3. 电感的储能,不消耗能量,从t0 到t 电感储能的变化量,无源元件,4. 电感的串并联,1）电感的串联,根据kvl和电感的电压电流的关系，有,等效电感与各电感的关系式为,结论：n个串联电感的等效电感值等于各电感值之和,2) 电感的并联,根据kcl

3、及电感的电压与电流的关系式，有,等效电感与各电感的关系式为,结论：n个并联电感的等效电感值 的倒数等于各电感值倒数之和,当两个电感并联（n=2）时，等效电感值为,二、电容元件 (capacitor,电容器,线性定常电容元件,电路符号,电容以电场形式存储能量,描述电容的两个基本变量: u, q 对于线性电容，有：q =cu,1. 元件特性,电容 c 的单位：法拉， 符号：f (farad,常用f，pf等表示,库伏（q-u） 特性,c tan,2. 线性电容的电压、电流关系,电容的电压-电流关系小结,1) i的大小与 u 的变化率成正比，与 u 的大小无关,3) 电容元件是一种记忆元件,2) 当

4、u 为常数(直流)时，du/dt =0 i=0。电容在直流电路中相当于开路，电容有隔直作用,4) 表达式前的正、负号与u，i 的参考方向有关。当 u，i为关联方向时，i= c du/dt； u，i为非关联方向时，i= c du/dt,3. 电容的储能,从t0到 t 电容储能的变化量,不消耗能量,无源元件,4. 电容的串并联,1）电容的串联,由kvl，有,代入各电容的电压、电流关系式，得,等效电容与各电容的关系式为,结论：n个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值的倒数之和,当两个电容串联（n=2）时，等效电容值为,2）电容的并联,由kcl，有,代入各电容的电压、电流关系式，得,等效电容与各电容

5、的关系式为,结论：n个并联电容的等效电容值等于各电容值之和,电容元件与电感元件的比较,电容 c,电感 l,变量,电流 i 磁链,关系式,电压 u 电荷 q,1) 元件方程是同一类型,2) 若把 u-i，q- ，c-l， i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程,3) c 和 l 称为对偶元件, 、q 等称为对偶元素,s未动作前,i = 0 , uc = 0,i = 0 , uc =us,1. 什么是电路的过渡过程,稳定状态,三、 动态电路简介,稳态分析,s接通电源后很长时间,初始状态,过渡状态,新稳态,过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程,过渡状态（瞬态、暂态,2.

6、 过渡过程产生的原因,1）电路内部含有储能元件 l 、m、 c,能量的储存和释放都需要一定的时间来完成,2）电路结构发生变化,支路接入或断开； 参数变化,3. 稳态分析和暂态分析的区别,稳 态 暂 态,换路发生很长时间后,换路刚刚发生,il 、 uc 随时间变化,代数方程组描述电路,微分方程组描述电路,il、 uc 不变,4. 分析方法,返回目录,5.2 动态电路方程的列写,依据：kcl、kvl和元件约束,例1,例2,复习常系数线性常微分方程求解过程,例3,返回目录,一、t = 0+与t = 0-的概念,换路在 t=0时刻进行,0- t = 0 的前一瞬间,0+ t = 0 的后一瞬间,11.

7、3 动态电路的初始条件,初始条件就是 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值,0,0,二、换路定律,q =c uc,t = 0+时刻,当i()为有限值时,q (0+) = q (0,uc (0+) = uc (0,电荷守恒,当u为有限值时,l (0+)= l (0,il(0+)= il(0,磁链守恒,换路定律成立的条件,三、电路初始值的确定,2) 由换路定律,uc (0+) = uc (0-)=8v,1) 由0-电路求 uc(0,uc(0-)=8v,3) 由0+等效电路求 ic(0,il(0+)= il(0-) =2a,例 2,t = 0时闭合开关s , 求 ul(0,1,已知,求,2) 0

8、+时刻电路,小结求初始值的步骤,1. 由换路前电路（稳定状态）求 uc(0-) 和 il(0,2. 由换路定律得 uc(0+) 和 il(0,3. 画出0+时刻的等效电路。 （1） 画换路后电路的拓扑结构； （2） 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向,4. 由0+电路求其它各变量的0+值,电阻电路( 直流,电阻电路,返回目录,对l元件,当积分上限为t0+ ，下限为t0- ，则有,若ul为有限值,若换路时刻t =0时刻，则为,对于联接有多个电容的结点（但不含电压源），换路前后电荷守恒： q(0+)= q(0-) 即 cuc(0+)=cuc(

9、0-) 对于由多个电感构成的回路（不含电流源），换路前后磁链守恒： (0+)=(0-) 即 lil(0+)=lil(0,例11.1-1 图示电路，求它们换路前后的磁链关系,解:列kvl方程,对上式在0-，0+进行积分， 设i1、i2、i3、i 、q2、us为有限值,0,l1 i1(0+)i1(0)+l3 i3(0+)- i3(0)=0 l1 i1(0+)+l3 i3(0+)=l1 i1(0)+l3 i3(0,磁链是和还是差与电流的参考方向有关,初始条件(初始值)是求解变量及其阶(n-1)导数在t=0+时的值。 uc(0+)、il(0+)称为独立初始值。 电路在过渡过程状态时，遵守： 换路定则、

10、kvl、kcl及各元件的vcr 求初值用0+网络,例11.1-2 图示电路，t0时电路处于稳态，t=0时k闭合 求i(0+)、 ic(0+) 、 ul(0,解: t0-时 uc(0-) =0 il(0-) =0 据换路定则: uc(0+)=uc(0-)=0 il(0+) =il(0-) =0,画时0+等值网络，电容用短路代替，电感开路,i(0+) =ic(0+)=12/(4+8)=1a ul(0+)=81=8v 由此可见: ic(0-)=0 ic(0+)=1a ul(0-)=0 ul(0+)=8 ic 、 ul可跳变,讨论：将上例中的电源换成交流电源us(t)=10sin(t+300)v， 再

11、求i(0+)、 ic(0+) 、 ul(0,解: t0-时 uc(0-) =0 il(0-) =0 据换路定则: uc(0+)=uc(0-)=0 il(0+) =il(0-) =0,画时0+等值网络，电容用短路代替，电感开路,us(0+)=10sin300=5v i(0+) =ic(0+)=5/(4+8)=0.42a ul(0+)=80.42=3.36v 结论: 外加电源应考虑t=0+时的值,例11.1-3 k断开前电路处于稳态，t=0时k断开，u(t)=10sin2t(v) 求uc(0+)、 il(0+) 、 i(0+) 、 il(0,解: t0时 处于正弦稳态 用相量法求 uc(t)和il

12、(t,写成时域表达式,令t=0-有,据换路定则: uc(0+)=uc(0-)=-5v il(0+) =il(0-) =-2.5a 画时0+等值网络,求uc(0+)、 il(0+) 、 i(0+) 、 il(0,列a结点电压方程,求uc(0+)、 il(0+) 、 i(0+) 、 il(0+) uc(0+)=-5v il(0+)=-2.5a,当uc(0+)或il(0+)不为0时，画0+网络，电容用电压源uc(0+)代替，电感用电流源il(0+)代替,例11.1-4 t0时电路处于稳态，t=0时k由1位合到2位。 求uc1(0,解: t0-时 uc2(0-) =0 uc1(0-) =u0 当开关由

13、1合到2，此时: uc1(0+) uc1(0-) uc2(0+) uc2(0,但uc1(0+)= uc2(0+) 故必须用q(0+)= q(0-)求解 (c1+c2) uc1(0+) =c1uc1(0-)+c2uc2(0-) =c1u0+0=c1u0,例11.1-5 :电路如图(a)所示，开关未动作前电路已达稳定， 求uc(0+)、 il(0+) 、 、,11.4 一阶动态电路,全解=齐次解+特解 全响应=自由响应+强制响应,列方程,非齐次线性常微分方程,解答形式为,非齐次方程的通解,非齐次方程的特解,例1,一、经典解法,与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分

14、量称为稳态分量,变化规律由电路参数和结构决定,全解,uc (0+)=a+us= u0,a= u0-us,由起始条件 uc (0+)=u0 定积分常数 a,齐次方程 的通解,特解（强制分量,us,通解（自由分量，暂态分量,us u0,令 =rc , 称 为一阶电路的时间常数,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,电压初值一定,r 大（c不变） i=u/r 放电电流小,c 大（r不变） w=0.5cu2 储能大,工程上认为 , 经过 3 5 , 过渡过程结束,电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间,特征方程: lp+r=0,特征根 p,确定a,a= i(0+)= i0,i (0+) =

15、 i (0-),例2,通解,令 = l/r ，一阶rl电路的时间常数,l大 初始储能大 r小 放电过程功率小,电流初值一定,il (0+) = il(0-) = 1 a,uv (0+)= -10000v,例3,t=0 时刻 s 打开, 求 uv,电压表量程为 50v,根据例2结论,续流二极管,小结,经典法求解一阶电路过渡过程的一般步骤,列写微分方程（以uc或il等为变量）； 求非齐次方程的通解（相应的齐次方程的解,求非齐次方程的特解（稳态解）； 确定初始条件（0+时刻,求初始值的步骤,根据初始条件确定积分常数,二、三要素法,特点: （1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同 同一电路

16、不同支路变量解的自由分量形式完全相同 （2）同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初始值不同 同一电路不同支路变量解的强制分量和待定系数不同 （3）同一电路不同支路变量解的强制分量均为该变量的稳态解,任意支路量方程的形式,强制分量,自由分量,恒定激励下一阶电路的解的一般形式为,令 t = 0,适用范围：激励为直流和正弦交流,例4,已知： t=0时合开关s。 求 换路后的uc(t)的全响应， 强制分量，自由分量,解,全响应,强制分量,自由分量,定性画曲线的几个要点,三、 脉冲序列作用下的rc电路,0 t t,uc(0+)=0,uc()=100v,t,2t,3t,100v,= rc,t t 2t

17、,uc(t+)=100v,uc()=0,= rc,1） t,0 t t,稳态解,u2,u1,2） t 与 接近,等效电路图,仿真2,这类问题的分析特点： （1）认为电路已经进入稳态 （2）画不同状态下的电路图，求解电路 （3）利用边界条件求出关键点电压/电流,t t 2t,等效电路图,100v,u2,u1,0,100v,u2,u1,0,0 t t,t t 2t,t = t,t = 2t,这类问题的分析特点： （1）设电路已经进入稳态 （2）画电路图，求解电路 （3）利用边界条件求出 关键点电压/电流,1. mosfet反相器的输出延迟,四、一阶电路几个典型的应用实例,ui1 = “0,ui1

18、= “1,ui1 由“1”变为 “0,cgs2 充电,ui1 = “0,ui1 = “1,cgs2 放电,ui1 由“0”变为 “1,ui1 = “0,ui1 = “1,tpd, 01,tpd, 10,2. dc-dc变换,问题：如何改变直流电压,方法一,ugs,us,缺点：类似桥式整流， 直流质量较差,改进思路： 利用电感维持电流的能力,开关信号,ugs,u、i,ton,toff,t,0 t ton 时段等效电路,i1,i2,i,t,这类问题的分析特点： （1）设电路已经进入稳态 （2）画电路图，求电路解 （3）利用边界条件求出 关键点电压/电流,0,方法二,ton t ton + toff

19、 时段等效电路,ugs,u、i,t,i1,i2,i,ton,toff,t,0,ugs,u、i,t,i1,i2,i,ton,toff,t,这类问题的分析特点： （1）设电路已进入稳态 （2）画电路图，求电路解 （3）利用边界条件求出 关键点电压/电流,0,从工程观点来估计u,因为l值取得较大， 可看作 ii 不变， 因此 u=u 也不变,电感吸收的能量为,电感发出的能量为,稳态时电感 每周期能量守恒,降压斩波器 buck converter,3. ac-dc变换,用二极管的模型1分析电路,_,i,d1,d3,d2,d4,_,u,r,1）d1d4共有16种状态,2）电流 i 只能从上往下流,3）

20、d1d4有两种可能的导通模式： d1和d4同时导通； d2和d3同时导通,非线性电路， 分段讨论,u,设d1和d4同时导通,设d2和d3同时导通,条件 i 0 us 0 ， u = us,条件 i 0 us 0 ， u = us,r 获得直流,问题1：该直流电压平均值多大,问题2：如何改进该直流电压的质量,电容具有维持电压的能力,d1和d4同时导通,给c充电,us下降，电容放电。 很大，放电很缓慢。 正弦的衰减速度rc放电速度。 uc us ，d1和d4截止,us 0时,uc us，二极管不导通,假设uc为某值,rc放电,us 0时,d2和d3同时导通,给c充电,1. 直流电压平均值提高,2.

21、 直流电压脉动减小,rc放电,uc -us，二极管不导通,4. 用op amp构成微分器和积分器,1）积分器,如果uius（常数），则,线性函数,2）微分器,如果ui t us （线性函数），则,常数,正反馈电路：虚短不再适用 虚断仍然适用,电路开始工作时存在小扰动。 由于正反馈，uo为usat或usat,设uousat， 则u,设此时uc=0，等效电路为,由于正反馈，uousat,5. 用op amp构成脉冲序列发生器,uousat，此时uc=usat/2，等效电路为,由于正反馈，uousat,t,uo,uc,0,占空比：d=ton/t,也可以得到,如何使占空比可调,t=t/2时,如何产生三

22、角波,返回目录,r分别为5 、4 、1 、 0 时求uc(t)、 il(t) ，t 0,uc(0-) = 3v il(0-) = 0,1. 列方程,5.5 二阶动态电路,一、经典解法求解析表达式,2. 求自由分量,r5,r4,r1,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,有关欠阻尼二阶动态电路中3个参数的讨论,自由振荡角频率/ 自然角频率,衰减系数,欠阻尼 0,物理上稳定的系统,衰减振荡角频率,3. 用初值确定待定系数,r5,r4,r1,r5,r4,r1,看仿真,il,uc,过阻尼，无振荡放电,4. 波形与能量传递,r5,0 t tm uc 减小, i 增加,t tm uc 减小 , i 减小,il,uc,

23、0 t tm uc 减小 , i 增加,t tm uc 减小 , i 减小,r4,临界阻尼，无振荡放电,欠阻尼，振荡放电,r1,uc 减小， i 增加,uc 减小 ，i 减小, uc | 增加，i 减小,讨论半个周期中能量的关系,r0,无阻尼振荡,二、用直觉解法定性画支路量的变化曲线,1. 过阻尼或临界阻尼（无振荡衰减,初值 导数初值 终值,uc(0-) = 3v il(0-) = 0,uc,il,以过阻尼为例,2. 欠阻尼（衰减振荡,初值 导数初值 终值 经过多少周期振荡衰减完毕,uc(0-) = 3v il(0-) = 0,回忆一阶电路中的时间常数：35 后过渡过程结束,后过渡过程结束,振

24、荡周期为,衰减过程中有 0.24/0.132次振荡 或0.4/0.133次振荡,衰减系数,衰减振荡角频率d,衰减过程中有 0.24/0.132次振荡 或0.4/0.133次振荡,初值 导数初值 终值 经过多少周期振荡衰减完毕,3. 无阻尼,初值 导数初值 最大值,uc(0-) = 3v il(0-) = 0,因为无阻尼，所以能量守恒,il取最大值时，uc=0，因此,1.5,1.5,三、关于列写方程和求初值的讨论,特点： （1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同 自由分量形式完全相同 （2）同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初值不同 强制分量和待定系数不同 （3）同一电路不同支

25、路变量微分方程列写和初值获取难度不同,返回目录,5.6 全响应的分解,全解=齐次解+特解 全响应=自由响应+强制响应,激励,外部输入（独立源,元件的初始储能,零状态响应,零输入响应,全响应,全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,uc (0-)=u0,例1,强制分量(稳态解,自由分量(暂态解,两种分解方式的比较,零状态响应,零输入响应,物理概念清楚 利于叠加,计算简单,全响应= 零状态响应 + 零输入响应,全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解,强制分量(稳态解,自由分量(暂态解,原因1：zir 和 zsr 都是可能单独出现的过渡过程,原因2：zsr 对于分析一

26、般激励的响应非常重要,uc (0-)=0,零状态,激励,响应,输入输出线性关系,小结,2. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始储能引起的响应 , 都是从初始值衰减为零的指数衰减函数,3. 衰减快慢取决于时间常数 rc电路 = rc , rl电路 = l/r,4. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数,1. 一阶电路的零状态响应与输入成正比，称为零状态线性,5. 一阶电路的全响应既不与初始值成正比，也不与输入成正比,返回目录,一、单位阶跃函数(unit-step function,1. 定义,t = 0合s u(t) = e,t = 0拉闸

27、 i(t) = is,5.7 单位阶跃响应和单位冲激响应,2. 单位阶跃函数的延迟,3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号,例 1,例3,二、单位阶跃响应单位阶跃激励下电路的零状态响应,u(t)= (t)+ (t-1) -2(t-2,il(t) = (1-e -t / 6) (t) + (1 -e-(t -1) / 6 ) (t-1) -2(1-e-( t -2) / 6 ) (t-2,例4,已知: u(t)如图示 , il(0-)= 0。 求: il(t) , 并定性画出其波形,例5 求图示电路中电流 ic(t,解法一： 两次换路，三要素法,解法二,三、单位冲激函数（unit impulse

28、function,1. 单位脉冲函数 p(t,2. 单位冲激函数 (t,定义,例6,0,uc e (t,ic ce (t,3. 单位冲激函数的延迟 (t-t0,t = t0,4. 函数的筛分性,同理有,f(0)(t,例7,f(t)在 t0 处连续,单位斜升函数,四、(t)与(t)的关系,五、一阶电路的冲激响应,单位冲激响应：单位冲激激励在电路中产生的零状态响应,方法1. 由单位阶跃响应求单位冲激响应,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t,s(t,单位冲激,(t,单位阶跃,(t,先求单位阶跃响应 令 is (t),uc(0+)=0,uc()=r,= rc,已知,求： is (t)为单位冲激时，电路

29、响应 uc(t)和 ic (t,ic(0+)=1,ic()=0,再求单位冲激响应 令 is (t),冲激响应,阶跃响应,方法2. 分两个时间段来考虑冲激响应,关键在于求uc(0+),uc 不可能是冲激函数 , 否则kcl不成立,电容中的冲激电流使电容电压发生跳变,方法1：对微分方程00积分,步骤： (1) 列写方程； (2) 观察方程求uc(0+)； (3) 求ic,方法2：电路直接观察法,uc(0-)=0,在 作用的00范围内的等效电路为,步骤： (1) 画00范围内电路； (2) 求 ic； (3) 求 uc,在00范围内将c用电压源替代,2) t 0+ 零输入响应（rc放电,il不可能是

30、冲激,2） t 0+ rl放电,返回目录,5.8 卷积积分,一、卷积积分的定义和性质,定义,设 f1(t), f2(t) t 0 均为零,性质1,证明,令 = t- ：0 t : t 0,性质2,二、卷积积分的应用,线性网络 零状态,h(t,即,性质4,性质3,f ( t,利用卷积积分可以求任意激励作用下的零状态响应,物理解释,在0 t t0时段将激励 e( t )看成一系列 (n个)宽度为 ，高度为 e( k )矩形脉冲的和,t = t0时刻的响应是由0 t t0时段的全部激励决定的（线性系统的因果性,0 t t0,第1个矩形脉冲,若单位脉冲函数 p ( t ) 的响应为 h p ( t,第

31、k个矩形脉冲,t0 时刻观察到的响应 应为 0 t0 时间内所有 激励产生的响应的和,积分变量（激励作用时刻,t 参变量(观察响应时刻,由t0的任意性，得,解：先求该电路的冲激响应 h(t,uc()=0,再计算 时的响应 uc ( t,例2,解,图解说明 f2(t,三、卷积积分的图形解法,卷,移,乘,积,由图解过程确定积分上下限,返回目录,一、状态变量,分析动态过程的独立变量,选定系统中一组最少数量的变量 x =x1,x2,xnt ，如果当 t = t0 时这组变量x(t0)和 t t0 后的输入e(t)为已知，就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应,x(t0) e(t) t t0,称这一组