专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明

1、专题提升（）以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13 1, DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E, BC丄AC于点C,交半圆于点F.已知图 Z13 1经典母题答图解：如答图，连结0E，设O O的半径是R，J则 0E = 0B= R.在RtAACB中，由勾股定理，得AB 7 AC2 + BC = 15. AC切半圆O于点E,.OE丄AC，/ OEA= 90= / C,A OE/ BC, AEOsA ACB, 鈔AO 一詐常解得R=45，75 AO = AB OB= 15 R=.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形,利用

2、比例线段求 AO的长.【中考变形】1.如图 Z13 2,在 Rt ACB 中，/ ACB = 90, O 是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.图 Z13 2(1)求证： ADOsA ACB;若O O的半径为1,求证：AC = AD BC.证明：（1）TAB是OO的切线， OD丄AB,/ C= /ADO = 90,v/ A= /A,:. ADOsA ACB;由(1)知， ADOsA ACB. A AC=ICD, AD BC = AC OD , OD = 1 ,二 AC = AD BC.2. 2017德州如图Z13 3,已知RtA ABC,/ C = 90, D

3、为BC的中点，以(1)求证：DE是O O的切线;图 Z13 3中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结 OE, EC,若AE :AC为直径的O O交AB于点E. AC是O O的直径,/ AEC=/ BEC= 90,v D 为 BC 的中点, ED = DC = BD,A/ 1 = / 2,V OE = OC,A/ 3=/ 4,/ 1+/3=/ 2+/4,即/OED =/ACB,V/ ACB= 90,A/ OED = 90,a DE 是OO 的切线;由(1)知/ BEC= 90,V在 RtA BEC与 RtABCA 中，/ B=/ B,/ BEC=/ BCA,be BC BECsA BCA,a

4、 bc= ba,2 BC2= be BA,v AE : EB= 1 : 2,设 AE= X,贝U BE = 2x, BA= 3x,V BC = 6,.6 = 2x 3x,解得 x= /6,即卩 AE= /6.3.如图Z13 4,已知AB是O O的直径，BC丄AB,连结OC,弦AD / OC,直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是O O的切线;(2)若 DE = 2BC, 求 AD : OC 的值.BB解：(1)证明：如答图，连结DO. AD / OC,/ DAO= / COB,/ ADO =/COD. OA= OD ,/ DAO = / ADO,/ COD= / COB.又 V

5、CO= CO, OD = OB,.COD 尢 COB(SAS ,/ CDO= / CBO = 90, 即卩 OD丄 CD.又点D在OO上，直线CD是OO的切线;由知， CODCOB,. CD = CB.V DE = 2BC,. DE = 2CD.V AD / OC,人 AD DE DE 2 EDA4 ECO,. AC二 CE二 dedecd 二 3.4. 2016广东如图Z13-5, OO是 ABC的外接圆，BC是O O的直径，/ ABC=30 .过点B作O O的切线BD,与CA的延长线交于点D ,与半径AO的延长线交于点E.过点A作O O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：

6、ACFsA DAE;若SAOC =斗3,求de的长;连结EF，求证：EF是O O的切线.FF中考变形4答图图 Z13-5解：(1)证明：V BC为O O的直径，/BAC = 90又V/ ABC= 30,./ ACB = 60,又 0A= OC,:. OAC为等边三角形，即/ OAC=/ AOC= 60, AF 为 O O 的切线,/ OAF = 90,/ CAF=/ AFC= 30,V de 为 O O 的切线，/ DBC =/OBE= 90/D =/DEA = 30,./ D =/CAF, / DEA =/AFC,:. ACFsA DAE;(2) AOC 为等边三角形，压aoc43oa243

7、,OA= 1, BC = 2, OB= 1,又 v/D =/BEO= 30, BD = 2心,BE=G，.DE = 3羽;证明：如答图，过点 O作OM丄EF于点M ,V OA= OB,/ OAF= / OBE= 90,/ BOE= / AOF, OAFN OBE(SAS,； OE = of ,v/EOF= 120, / OEM =/OFM = 30 / OEB=/ OEM = 30,即卩 OE 平分/BEF,又/ OBE= / OME = 90,OM = OB,a EF 为OO 的切线.5. 2017株洲如图Z13-6, AB为O O的一条弦，点 C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在

8、AE的延长线上，且 BE= EF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE/ BF;若 BD = 2,且 EA : EB : EC= 3 ： 1/5，求 BCD 的面积.4图 Z13-6中考变形5答图解：(1)证明：如答图，连结AC, be,作直线OC, BE= EF,/ F= / EBF,V/ AEB= / EBF+/ F,/ F= 2/ aeb,VC 是AB的中点， AC=BC,/ AEC=/ BEC,V/ AEB=/ AEC +/ BEC, / AEC= 1/ AEB,A/ AEC=/ F，二 CE/ BF;(2) V/ DAE =/DCB, / AED= / CEB, AD _ AE

9、即 ad _ A Cb_ CE，即 Cb_/5,/ BCD _ / ECB,:. ADEsA CBE,V/ CBD=/ CEB, CBEsA CDB, BD _ BE 即 2-CB _ CE，即 CB_ 励， CB_25 , AD_6 , AB_8 ,V点C为劣弧AB的中点,0C丄AB,设垂足为 G,则 AG= BG = AB4, CG = 7 CB2 BG2 = 2, Sabcd= 2bd CG =2X 2 = 2.6.如图Z13 7, AB是O O的直径，C为O O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E, AE交O O于点D，直线EC交AB的延长线于点P,连结AC, BC, PB :

10、 PC= 1 : 2.求证：AC平分/ BAD;(2)探究线段PB, AB之间的数量关系,并说明理由.解：(1)证明：如答图，连结 0C. PE 是 O 0 的切线， OCX PE, AE丄PE,A OC II AE,/ DAC= / OCA,V OA= OC,A/ OCA=/ OAC,/ DAC= / OAC, AC 平分/ BAD;线段PB, AB之间的数量关系为AB = 3PB.理由:V AB是O O的直径，/ ACB= 90,. / BAC +/ ABC = 90,VOB = OC,A/ OCB=/ABC,V/ PCB+/ OCB=PCB=/ PAC,V/ P 是公共角，二 PCBsA

11、 FAC, PC二PC2二 PBPA,V PB : PC= 1 : 2, PC = 2PB, PA=4PB,. AB = 3PB.7. 2016枣庄如图Z13 8, AC是O O的直径，BC是O O的弦，P是O O外一点，连结 PA, PB, AB,已知/ PBA=/ C.(1)求证：PB是O O的切线;(2)连结 OP,若 OP II BC, 且 OP = 8,CP图 Z13 8O O的半径为2/2,求BC的长.c中考变形7答图V OA= OB,./ BAC=/OBA,解：(1)证明：如答图，连结 OB,V AC是O O的直径,/ ABC= 90,/ C+/ BAC = 90 .V/ PBA

12、= / C,/ PBA+/ OBA= 90, 即卩 PB丄OB. PB是O O的切线;OO的半径为2迈， 0B= 2龍，AC = 42,OP/ BC,A/ BOP=/ OBC=/ C,又 V/ ABC= / PBO = 90,.山 ABCsA PBO,.IOh AO,即黔芈.BC = 2.8 2017聊城如图Z13 9,OO是ABC的外接圆，O点在BC边上，/ BAC的平分线交O O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.求证：PD是O O的切线;求证： PBDsA DCA;图 Z13 9中考变形8答图解：（1）证明：圆心O在BC 上, BC是O O的直径,/B

13、AC= 90，如答图，连结 OD, AD 平分/ BAC,/ BAC= 2/DAC,V/ DOC= 2/ DAC,/ DOC= / BAC= 90,即卩 OD 丄 BC, PD / BC,A OD 丄PD , V OD 为 OO 的半径, PD是O O的切线;(2)证明：V PD / BC,./ P=/ ABC,V/ PBD+/ ABD= 180,/ ACD +/ ABD= 180,/ PBD=/ ACD,.PBDsdcA; ABC为直角三角形， BC2= AB2 + AC2= 62 + 82= 100,二 BC= 10,V OD 垂直平分 BC,A DB = DC,V BC 为 O O 的直径，/ BDC = 90,在 RtADBC 中，DB2 + DC2= BC2, 即卩 2DC2= BC2= 100, DC = DB = 5j2,VA pBDsA DCA,PB BD 切“ DC BD 5迈 X 5225 DC二 AC，即 PB二 AC 二 8 二才【中考预测】CD 与OO相切于点C,2017黄冈模拟如图Z13 10, AB为O O的直径,F, OD交O O于点E.证明:且OD丄BC,垂足为(1) / D = /AEC;2(2) OA = OD OF.(2) V/ B=/ AEC,