信号与系统讨论课讲1.ppt

1、优秀精品课件文档资料,第6章 信号的矢量空间分析,信号矢量空间的基本概念； 信号的正交函数分解； 相关； 能量谱和功率谱； 信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析 相关、正交概念的应用：匹配滤波器，CDMA,6.1 信号矢量空间的基本概念,线性空间 范数 内积 柯西施瓦茨不等式,一线性空间,现代信号分析理论要借助于泛函分析等数学工具,泛函分析中，一个重要概念是函数空间，即由函数构成的集合，并在集合上赋予各种代数、拓扑结构,线性空间： 设X为一非空集合，若在X中规定了元素的加法和元素的数乘运算，并满足相应的结合律及分配律，则称X为一线性空间,1) N维实数空间R N,R N 空间的元素

2、 x 由 N 个有序的实数组成,x与元素 y=(y1, y2, , yN)T 相加及与a数乘定义为,如果上述定义中实数改为复数，则构成复数空间CN,2) 连续函数空间 L,在区间a,b上全部连续函数的集合构成该空间,各函数的相加和倍乘定义为,x+y)(t)=x(t)+y(t), tR,ax)(t)=a x(t), tR,二范数、线性赋范空间,范数是矢量长度概念的推广，是矢量自身的重要的属性,设X为一线性空间，若对于任意xX，有一个确定的非负实数|x|与它对应，并满足,1) xX，|x|0，当且仅当x=0，|x|=0,2) xX 及aR ，|ax|=|a|x,3) |x+y|x|+|y,则称|x

3、|为X的范数，X为线性赋范空间,完备的线性赋范空间称为Benach空间,1. RN与CN空间的范数,令 p 为实数，1p，在 RN 或 CN 空间元素x=(x1,x2, , xN) 的 p 阶范数定义为,最常用的范数为|1 ，|2 ，,对于xC2， 给定x=(1,j)，则其范数为,例,在R2或R3中，二阶范数的物理意义是矢量的长度； |x|2也称为欧氏范数或欧氏距,2. 连续/离散时间信号空间 L/ l 空间中的范数,1)连续时间信号空间 L中，元素x的p阶范数|x|p的定义,对于定义在闭区间内的信号， sup表示其幅度值,2)离散时间信号空间 l 中，元素x的p阶范数|x|p的定义,x(t)

4、的上确界,1-范数表示 信号作用的强度,1-范数,2-范数的平方表示信号的能量,2-范数,范数,定义在闭区间的x，|x| 表示信号的峰值,即信号幅度,U或I在单位电阻上消耗的能量,三内积,直角坐标平面内两矢量相对位置关系,内积的概念反映了元素之间的关系，在时域信号 中则反映了信号之间的相互关系，如正交、 相关; 完备的内积空间称为Hilbert空间,先由二维矢量空间引入内积的概念,或,推广之，多维,上式表明：给定了的矢量长度，标量乘积式反映了 两矢量之间相对位置的“校准”情况,二维矢量空间的内积(点积)运算,实内积空间,设RN为实线性空间，如果对于RN中的任意x,yRN，均有一实数 x,y与之

5、对应, 满足以下公理,则x,y称为x与y的内积，R称为实内积空间(欧氏空间,2) x,y =y,x， 交换律,1) x,x0, 当且仅当 x=0 时， x,x=0,自内积正定性,3) x,y =x,y，为任意实数 齐性,4) x+y,z =x,z+ y,z，zC(R) 分配律,N维实线性空间，定义为,复内积空间,设CN 为复线性空间，如果对于CN中的任意x,yCN，均有一复数 x,y与之对应, 满足以下公理,则x,y称为x与y的内积，C称为复内积空间 (酉空间,2) x,y =y,x*， 共轭交换律,1) x,x0, 当且仅当 x=0 时， x,x=0,自内积正定性,3) x,y =x,y，为

6、任意复数 齐性,4) x+y,z =x,z+ y,z，zC(R) 分配律,N维复线性空间，定义为,信号空间L/l 内的两连续/离散信号的内积,对于L/ l空间，信号x与其自身的内积运算,连续/离散函数空间的内积,四、Cauchy-Schwarz不等式,Cauchy-Schwarz不等式,所以,对于一般情况的证明见教材p323,6.2 信号的正交函数分解,矢量的正交分解 正交函数 正交函数集 复变函数的正交特性,怎样分解，能得到最小的误差分量,方式不是唯一的,一矢量的正交分解,当 =0，c12 = 1, V1、V2 完全重合； 随 增大，c12 减小； 当 =90，c12= 0 ，V1和V2垂直

7、,c12表示V1 和V2 互相接近的程度,利用二维矢量空间较直观的概念引出正交函数和正交函数族的定义,正交分解,空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量,平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量,一个三维空间矢量 ，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差,三维正交集,二维正交集,假设在区间 (t1,t2) 内用函数 f2(t) 近似表示 f1(t,方均误差,二、正交函数,分解原则：方均误差最小，即误差信号功率(能量)最小,交换微分与积分次序,此项为零,解得,若c12为零，则f1(t)不包含f2(t)的分量，称f1(t)、 f2(t)为正交,正交条件,试用sint 在区间 (

8、0, 2) 近似表示 f(t)，使方均误差最小,例6-1,解,即,试用正弦信号sint 在(0,2)区间内来表示余弦信号cost,所以,说明cost 中不包含 sint 分量，因此cost 和 sint 正交,显然,例6-2,解,例6-3,用正弦波逼近三角函数,所以,解,n个函数 g1(t),g2(t),gn(t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2) 内满足正交特性，即,则此函数集称为正交函数集,归一化正交函数集,三、 正交函数集(orthogonal function set,orthonormal set,规格化正交函数集,任意函数由正交函数集的线性组合近似,方均误差,注意到 gi(

9、t) 交叉项的积分为零, 交换微积分次序, 得到,分解原则是误差函数方均值最小,或,将ci 代回 表示式，得到最佳近似条件下的方均误差,四、复变函数的正交特性(orthogonality in complex signals,两周期信号在同一周期(区间)内正交的条件是c12=0，即,总结,两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号,对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满足正交,6.3 完备正交函数集、帕塞瓦尔定理,完备正交函数集 帕塞瓦尔定理,如果用正交函数集gi(t) (i=1,2,n)在区间(t1, t2)近似表示f(t,方均误差,若 ，此函数集称为完备(complete)正交函数集,称为广义傅立叶级数展开,一完备正交函数集,generalized Fourier series,在正交集gi(t)(i=1,2,n)之外，不存在函数x(t,则称gi(t)为完备的正交函数集,完备的正交函数集的另一种定义,二帕塞瓦尔定理(Parsevals theorem,物理意义： 一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函