人教版八年级下第十七章《勾股定理》单元培优练习题(含答案)

1、勾股定理一选择题1下列命题中，是假命题的是（ ）单元培优练习题a 有一个内角等于 60的等腰三角形是等边三角形b 在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半c 在直角三角形中，最大边的平方等于其他两边的平方和d 三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等2下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）a4，5，6 b1，1， c6，8，11 d5，12，233如图，在abc 中，acb90，ac8，ab10，cdab 于 d，则 cd 的长是（ ）a6 b c d4有一个三角形两边长为 4 和 5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ）a3 b c3 或 d以上都不对5如图是我国古代著名的“赵爽弦

2、图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 ae5， be12，则 ef 的长是（ ）a7 b8 c7 d76在下列各组数中，是勾股数的是（ ）a1、2、3 b2、3、4 c3、4、5 d4、5、67 在同一平面上把三边 bc3，ac4，ab5 的三角形沿最长边 ab 翻折后得到abc，则 cc的长等于（ ） a b c d8 如图，abc 的顶点 a，b，c 在边长为 1 的正方形网格的格点上，bdac 于点 d，则 bd 的长为（ ）a b c d9“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是 由四个全等的直角三角形和一个小正方形

3、拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ）a9 b6 c4 d310 从电线杆离地面 8 米处拉一根长为 10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有（ ）m a2 b4 c6 d811 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒 被水淹没部分长 10cm，这只烧杯的直径约是（ ）a9cmb8cmc7cmd6cm12若abc 的三边 a、b、c 满足（ab）2+|a2+b2c2|0，则abc 是（ ）a 等腰三角形b 直角三角形c 等腰直角三角形d

4、 等腰三角形或直角三角形二填空题13直角三角形两条边的长度分别为 3cm，4cm，那么第三条边的长度是cm14若abc 得三边 a，b，c 满足（ab）（a2+b2c2）0，则abc 的形状为 15 已知 a，b 是互质的正整数，且 a+b，3a，a+4b 恰为一直角三角形的三条边长，则 a+b 的值等于16 如图，在 rtabc 中，a90，abac4 ，点 d 为 ac 的中点，点 e 在边 bc 上，且 edbd， cde 的面积是 17将勾股数 3，4，5 扩大 2 倍，3 倍，4 倍，可以得到勾股数 6，8，10；9，12，15；12，16，20；，则我们把 3，4，5 这样的勾股数

5、称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 ， ， 18将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若 ab20cm，则阴影部分的面积是cm219三角形的三边长 a，b，c 满足 2ab（a+b）2c2，则此三角形的形状是三角形20 若 3，4，a 和 5，b，13 是两组勾股数，则 a+b 的值是 21 如图，小正方形边长为 1，则abc 中 ac 边上的高等于 22如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 abcd，中间阴影部分是一个小正方形 efgh，这样就组成 一个“赵爽弦图”若 ab5，ae4，则正方形 efgh 的面积为 三解答题23在abc 中，acb90，ac5，abbc+1，求 a

6、bc 的面积24如图，在abd 中，d90，c 是 bd 上一点，已知 bc9，ab17，ac10，求 ad 的长25操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为 a、b、c（如图），分别用 4 张这样的直角三角形纸片拼成如图的形状，图中的两个小正方形的面积 s 、s 与图中小正方形的面积 s2 3 1有什么关系？你能得到 a、b、c 之间有什么关系？26观察下表列举猜想3、4、5 324+55、12、13 5212+137、24、25 7224+25 13、b、c132b+c请你结合该表格及相关知识，求出 b，c 的值，并验证 13，b，c 是否是勾股数？27如图（1），是两个

7、全等的直角三角形（直角边分别为 a，b，斜边为 c）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2c2；（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当 a2，b4 时，求这个四边 形的周长参考答案一选择题1解：a、等腰三角形底角相等，若底角为 60，则顶 角为 180606060，若顶角为 60，则 底角为 60，所以有一个角为 60的等腰三角形即为等边三角形，故 a 选项正确；b、 直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合， 故 b 选项错误；c、 在直角三角形中，最大的边为斜边，根据勾股定

8、理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和，故 c 选项正确；d、 过三角形角平分线的交点作各边的垂线，则三角形分成 3 对小三角形，其中各顶点所在的两个直角三角 形全等，即过角平分线作的高线相等，故 d 选项正确；即 b 选项中命题为假命题，故选：b2解：a、42+5262，不能构成直角三角形，故 a 错误；b、12+12 ，能构成直角三角形，故 b 正确；c、62+82112，不能构成直角三角形，故 c 错误；d、52+122232，不能构成直角三角形，故 d 错误故选：b3解：acb90，ac8，ab10，bc 6，abc 的面积 abcd acbc，即 10cd 86，解得，cd故选：

9、c，4解：当长为 4 和 5 的两边都是直角边时，斜边是： ；当长是 5 的边是斜边时，第三边是：3第三边长是： 故选：c或 35解：ae5，be12，即 12 和 5 为两条直角边长时， 小正方形的边长1257，ef故选：c；6解：a、12+22532，不是勾股数，故本选项不符合题意b、22+321342，不是勾股数，故本选项不符合题意c、32+4252，是勾股数，故本选 项符合题意d、42+524162，不是勾股数，故本选项不符合题意故选：c7解：如图所示，连接 cc，根据对称的性质可知 cc ab，且 cc2ce， acbc abce，ce ，cc2ce 故选：d8解：如图所示： bca

10、e bdac， abcae4，ac 5，bc4即 44 5bd， 解得：bd 故选：c9解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，每一 个直角三角形的面积为：ab 84，4 ab+（ab）225，（ab）225169，ab3，故选：d10解：由题意得，在 rtabc 中，ac8，ab10，所以 bc 6 故选：c11 解：由题意，可得这只烧杯的直径是： 故选：d12 解：（ab）2+|a2+b2c2| 0，6（cm）ab0，a2+b2c20，解得：ab，a2+b2c2，abc 的形状为等腰直角三角形；故选：c二填空题（共 10 小题）13解：当这个直角三角形的两直角边分别为 3cm，4cm

11、时， 则该三角形的斜边的长为： 5（cm）当这个直角三角形的一条直角边为 3cm，斜边为 4cm 时，则该三角形的另一条直角边的长为： 故答案为 ：5 或 （cm）14解：（ab）（a2+b2c2）0，ab 或 a2+b2c2当只有 ab 成立时，是等腰三角形当只有第二个条件成立时：是直角三角形当两个条件都成立时：是等腰直角三角形15解：在直角三角形中，（1）若 a+4b 为斜边，则（a+4b）2 9a26ab15b20，（a+b）（3a5b）0a+b0，且 a，b 互质，a5，b3三条边长分别为 8，15，17，a+b8（a+b）2+9a2（2）若 3a 为斜边，则 9a2（a+b）2+（a

12、+4b）2，7a210ab17b20，（a+b）（7a17b）0a+b0，7a17b，a，b 互质，a17，b7三条边长分别为 24，45，51，a+b24综上得 a+b8或 a+b24 16解：点 d 为 ac 的中点故 addc ac2 ， 12，abd bdc abc由勾股定理得 bc 4 ，过 d 点作 df 垂直于 bc 于 f 点， df ，bd2ad2+ab212+4860，bd2 ，由勾股定理得 bf 3 ， 由射影定理得 bd2bfbe，be cebcbe4 ， cedf 2 cde故答案为：217解：符合 a2+b2c2即可，例如 5，12，13；8，15，17；9，40，

13、41（答案不唯一）18解：b30，acb90，ab20cm， ac10cmaedacb90，bced，afcade45，accf10cm故 101050（cm2）acf故答案为 5019解：2ab（a+b）2c2，2aba2+2ab+b2 c2，a2+b2c2，三角形的三边长 a，b，c 满足 2ab（a+b）2c2， 此三角形是直角三角形，故答案为：直角20解：3，4，a 和 5，b，13 是两组勾股数，a5，b12，a+b17，故答案为：1721解：过 b 作 bgac，交 ac 于点 g，在 rtacf 中，af2，cf1，根据勾股定理得：ac ， s 4 112 21 ， abc 正方

14、形 afed bce abd acf acbg，abc 则 bgbg ，故答案为：22解：直角三角形直角边的较短边为 3，正方形 efgh 的面积55432425241 故答案为：1三解答题（共 5 小题）23解：如图所示：设 abx，则 bcx1，故在 rtacb 中，ab2ac2+bc2，故 x252+（x1）2，解得；x13，即 ab13bc12， ac bc 51230 abc24解：设 cdx，则 bdbc+cd9+x 在acd 中，d90，ad2ac2cd2，在abd 中，d90，ad2ab2bd2，ac2cd2ab2bd2，即 102x2172（9+x）2，解得 x6，ad21026264， ad8故 ad 的长为 825解：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图 2、图 3 的形状