第01讲自主招生数学试题的特点

1、 第01讲:自主招生数学试题的特点 1 第01讲:自主招生数学试题的特点杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码 自从2006年全国重点院校高考改革试点“破冰”以来,各高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台.全国自主招生学校数目不断增加,而且各校自主招生规模比例也在增加,自主招生己不是少数人参加的“特技”考试,早在2008年上海交大、复旦大学通过自主招生录取的人数就首次超过高考录取的人数,而是广大考生进入重点高等学校的重要途径. 数学在自主招生考试中处于龙头的位置,占领数学,就能取胜于自主招生考试.但由于自主招生考试没有考试大纲,且各校命题都充分利用其

2、“自主性”,使得自主招生考试的数学试题,呈现出范围的不确定性,难度度量的不统一性,题型的多样性,有别于高考和竞赛等的基本特性.所有这些都使考生不知如何准备？老师无法进行总结辅导. 通过对近年来各校自主招生考试数学试题,可以发现自主招生考试数学试题有如下特点: 1.基础的深入性:基础知识、基本技能称之为“双基”大家知道,能力与“双基”有着辩证关系.没有扎实的“双基”,能力培养就成了无源之水,无本之木.所以,“双基”是各种考试的基本要求,但自主招生考试则对“双基”的要求则更深入.例1:(2012年“北约”自主招生数学试题)求+=1的实根的个数.解析:练习1:1.(2005年上海交通大学保送生考试试

3、题)已知=-,x,yr,则(x,y)= .2.(2005年复旦大学基地班数学试题)在实数范围内求方程+=3的实数根.例2:(2011年“北约”自主招生数学试题)是否存在四个正实数,它们两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解析:练习2:1.(2007年北京大学自主招生数学试题)解方程组.2.(2000年上海交通大学保送生数学试题)设3次多项式f(x)满足:f(x+2)=-f(-x),f(0)=1,f(3)=4,试求f(x).例3:(2010年“北约”自主招生数学试题)0,求证:sin.2.(中等数学.2007年第12期.数学奥林匹克问题高214)设正数列an满足:a1=,a2=,且8an+

4、14+4an+an-1=3(n2).求数列an的通项an. 3.知识的广泛性:知识是数学的载体,是各类考试命题的基础,因此,如高考、全国联赛等均有限定知识范围及掌握程度的考试大纲.但自主招生考试因其“自主性”的特点,没有也不可能有考试大纲.自主招生考试包含并超出高考大纲,知识要求更加广泛,掌握程度有更高要求,但有别于联赛大纲.例7:(2008年清华大学自主招生数学试题)设a,b,c都为有理数,+也为有理数,证明:,均为有理数. 第01讲:自主招生数学试题的特点 3 解析: 练习7:1.(2008年复旦大学自主招生数学试题)请证明是一个无理数. (2009年北京大学自主招生数学试题)是否存在实数

5、x,使tanx+,cotx+均为有理数？2.(2005年保加利亚数学奥林匹克试题)求所有的三元正整数组(x,y,z),使得:a=+为一整数.例8:(2001年上海交通大学联读班数学试题)若(a+1)(b+1)=2,则arctana+arctanb= .解析:练习8:1.(2001年复旦大学基地班数学试题)与正实轴夹角为arcsin(sin3)的直线的斜率记为k,则arctank= (结果用数值表示).2.(2004年复旦大学保送生考试数学试题)设x1,x2是方程x2-xsin+cos=0的两解,则arctanx1+arctanxx2= .例9:(2002年上海交通大学保送生数学试题)()用数学

6、归纳法证明以下结论:1+2-(n2,nn*);()若有1-0,y0),f()=-,求函数f(x)的解析式.2.若函数f(x)满足:f()=,f(0)=1,f(1)=3.()求函数f(x)的解析式;()定义f0(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)(n0),求fn(x).例12:(2006年复旦大学选拔生考试数学试题)f(x)在1,+)上单调递增,且对任意的x,y1,+),都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,证明:存在常数k,使f(x)=kx在x1,+)上成立.解析:练习12:1.(2008年清华大学自主招生数学试题)已知f(x)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=x2,求f(

7、x).2.(2006年清华大学自主招生数学试题)已知函数f(x)满足:对任意实数a、b有f(ab)=af(b)+bf(a),且|f(x)|1,求证:f(x)恒为0.(可以利用以下结论:若g(x)=0,|f(x)|m,m为一常数,那么(f(x)g(x)=0). 第01讲:自主招生数学试题的特点详解 1 第01讲:自主招生数学试题的特点详解杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码 自从2006年全国重点院校高考改革试点“破冰”以来,各高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台.全国自主招生学校数目不断增加,而且各校自主招生规模比例也在增加,自主招生己不是少数人

8、参加的“特技”考试,而是广大考生进入重点高等学校的重要途径. 数学在自主招生考试中处于龙头的位置,占领数学,就能取胜于自主招生考试.但由于自主招生考试没有考试大纲,且各校命题都充分利用其“自主性”,使得自主招生考试的数学试题,呈现出范围的不确定性,难度度量的不统一性,题型的多样性,有别于高考和竞赛等的基本特性.所有这些都使考生不知如何准备？老师无法进行总结辅导. 通过对近年来各校自主招生考试数学试题,可以发现自主招生考试数学试题有如下特点: 1.基础的深入性:基础知识、基本技能称之为“双基”大家知道,能力与“双基”有着辩证关系.没有扎实的“双基”,能力培养就成了无源之水,无本之木.所以,“双基

9、”是各种考试的基本要求,但自主招生考试则对“双基”的要求则更深入.例1:(2012年“北约”自主招生数学试题)求+=1的实根的个数.解析:+=+=|-3|+|-5|(-3)-(-5)|=2+=1的实根的个数=0.练习1:1.(2005年上海交通大学保送生考试试题)已知=-,x,yr,则(x,y)= .解:由=-=(-)=-,又=-(x,y)=(,).注本题答案不唯一:x=t2+t+,y=t2+t+,故本题是错题.2.(2005年复旦大学基地班数学试题)在实数范围内求方程+=3的实数根.解:设=a,=ba+b=3,a4+b4=17,由an+2+bn+2=(a+b)(an+1+bn+1)-ab(a

10、n+bn),令xn=an+bn得:xn+2=3xn+1-abxn,且x1=3,x2=a2+b2=(a+b)2-2ab=9-2abx3=3x2-3ab=27-9abx4=3x3-abx2=3(27-9ab)-ab(9-2ab)=81-36ab+2a2b2=17ab=2,或16.若,或x=-9,或x=6;若a,b是方程t2-3t+16=0的两根,而该方程无实根.综上,原方程的实根为x=-9,x=6.例2:(2011年“北约”自主招生数学试题)是否存在四个正实数,它们两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解析:不妨设四个数分别为a,b,c,d,且abcd(显然四数中没有两个相等,否则两两乘积不能

11、有6个不同值),则abacad,adbdcd,bcbd.若bcad,则abacbcadbdad,则abacadbcbdcdab=2,ac=3,ad=5,bc=6,bd=10,cd=16abcd=32,abcd=30,矛盾.综上,不存在四个正实数,它们两两乘积分别是2,3,5,6,10,16.练习2:1.(2007年北京大学自主招生数学试题)解方程组. 2 第01讲:自主招生数学试题的特点详解 解:由(x-1)(x-4)=-2x=2,或3,或.2.(2000年上海交通大学保送生数学试题)设3次多项式f(x)满足:f(x+2)=-f(-x),f(0)=1,f(3)=4,试求f(x).解:(法一)设

12、f(x)=ax3+bx2+cx+d,由f(x+2)=-f(-x)f(x+2)+f(-x)=0a(x+2)3+b(x+2)2+c(x+2)+d+a(-x)3+b(-x)2+c(-x)+d=02a(x+2)2+x(x+2)+x2+2b(x2+2x+2)+2cx+2d=0(3a+b)x2+(6a+2b+c)x+4a+2b+d=03a+b=0,6a+2b+c=0,4a+2b+d=0;由f(0)=1d=14a+2b+1=0a=,b=-,c=0f(x)=x3-x2+1f(3)=1,不满足f(3)=4.故满足条件f(x)的不存在.(法二)f(x+2)=-f(-x)f(x)的图像关于点(1,0)对称,故可设f

13、(x)=a(x-1)3,由f(0)=1-a=1a=-1f(x)=-(x-1)3f(3)=-8,不满足f(3)=4.故满足条件f(x)的不存在.例3:(2010年“北约”自主招生数学试题)0,求证:sintan. y解析:如图,作单位圆,设角的终边op与单位圆交于点p,作phx轴 p t于h,过点a(1,0)作atx轴,交op于t.则由sopas扇形aopsotaoaph o h a x oaatphatsin9时,方程有三个不等根:x=-k-3,.例5:(2011年“北约”自主招生数学试题)求过抛物线y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3两交点的直线方程.解析:设两交点分别为p(x1,y

14、1),q(x2,y2),则,5+2得:7y1=-6x1+1点p(x1,y1)在直线l:7y=-6x+1上,同理可得点,q(x2,y2)也在直线l:7y=-6x+1上,又根据两点确定一条直线过两交点p,q的直线方程为:7y=-6x+1.练习5:1.(2007年北京大学自主招生数学试题)已知圆系方程x2+y2+kx+(4k+10)y+10k+20=0(kr,k-1),求证:它过定点.解:因x2+y2+kx+(4k+10)y+10k+20=0(x+4y+10)k+x2+y2+10y+20=0它过定点(1,-3).2.(2007年天津高考试题)己知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20

15、相交于a、b两点,则直线ab的方程是 .解:设两交点分别为a(x1,y1),b(x2,y2),则,-得:x1+3y1=0点a(x1,y1)在直线l:x+3y=0上,同理可得点,b(x2,y2)也在直线l:x+3y=0上,又根据两点确定一条直线过两交点p,q的直线方程为:x+3y=0.例6:(2002年上海交通大学保送生考试试题)设数列an满足关系an+1=2an2-1(n=1,2,),若n满足an=1(n=2,3,).试证明:()|a1|1;()a1=cos(k为整数).解析:()反证:假设|a1|1a121a2=2a12-11a3=2a22-11an1,与an=1矛盾;()令a1=cos,则

16、a2=2a12-1=2cos2-1=cos2a3=2a22-1=2cos2-1=cos22an=cos2n-1=1=cos2k2n-1=2k=a1=cos(k为整数). 4 详解 第01讲:自主招生数学试题的特点详解 练习6:1.(中等数学.2007年第12期.数学奥林匹克高中训练题(104)已知数列an满足:a1=1,an+1=an+.求证:a1+a2+an.解:由a1=1,an+1=an+an+1anan1.令an=tann,n,);由a1=11=;由tann+1=an+1=an+=tann+=tan(+),n,)+,)n+1=+n=-()n-1;又因tannna1+a2+an=tan1+

17、tan2+tann1+2+n=+()n-1.2.(中等数学.2007年第12期.数学奥林匹克问题高214)设正数列an满足:a1=,a2=,且8an+14+4an+an-1=3(n2).求数列an的通项an.解:由a1=,a2=,且8an+14+4an+an-1=3a3=,a4=,整理发现:a2=,a3=,a4=,猜测:an+1=(n1). 用数学归纳法证明:当n=1时,an+1=,即a2=成立;假设当n=k时,an+1=成立,即ak+1=ak=1-2ak+12,由8an+14+4an+an-1=3ak+2=(ak1)=,即n=k+1时,an+1=成立. 由0an0,tantan=cos0ta

18、n,tan中恰有一个为正一个为负+(-,)+=.例9:(2002年上海交通大学保送生数学试题)()用数学归纳法证明以下结论:1+2-(n2,nn*);()若有1-1,利用()的结论求:(1sin1+2sin+nsin). 6 第01讲:自主招生数学试题的特点详解 解析:()当n=2时,1+2-1+2-成立;假设当n=k时,1+2-成立,即1+2-,则1+2-+=2-2-=2-,即当n=k+1时,不等式成立,由数学校归纳法原理知:当n2时,1+2-成立;()由1-1ksin=(1-,1)n-(1+)1sin1+2sin+nsinnn-(2-)1sin1+2sin+nsinn1-+(1sin1+2

19、sin+nsin)1(1-+)(1sin1+2sin+nsin)1(1sin1+2sin+nsin)=1.练习9:1.(2001年复旦大学选拔生考试数学试题)(-)= .解:(-)=.2.(2005年复旦大学选拔生考试数学试题)(-)= .解:(-)=1. 4.背景的深刻性:自主招生考试的命题无疑是以高校老师为主导的,其命制的试题必然有其学识背景,另一方面,自主招生的性质:“为高校选拔有特长的优秀学生”决定着自主招生试题必有一些背景深刻的特色试题.即这类试题都具有高等数学背景.例10:(2003年上海交通大学保送生数学试题)求证:为最简分式.解析:令f(a)=a3+2a,g(a)=a4+3a2

20、+1,则为最简分式f(a)与g(a)无公因式.f(a)=a3+2a=a(a2+2),而g(a)=a4+3a2+1=0无实根a不是g(a)因式,同理a2+2也不是g(a)因式f(a)与g(a)无公因式;因式定理:多项式f(x)含有因式x-a的充要条件是f(a)=0;多项式f(x)含有因式ax2+bx+c(=b2-4ac0,y0),f()=-,求函数f(x)的解析式.解:由f(xy)=f(x)+f(y)+(x2-1)(y2-1)-1f(xy)-(xy)2=f(x)-x2+f(y)-y2,令g(x)=f(x)-x2g(xy)=g(x)+g(y),令x=at,y=as(a0,a1)g(at+s)=g(

21、at)+g(as),令h(x)=g(ax)h(x+y)=h(x)+h(y),由柯西定理知,h(x)=h(1)xg(ax)=h(1)xg(x)=h(1)logaxf(x)=h(1)logax+x2,由f()=-h(1)loga+=-h(1)loga2=1f(x)=h(1)logax+x2=h(1)loga2log2x+x2=log2x+x2.2.若函数f(x)满足:f()=,f(0)=1,f(1)=3.()求函数f(x)的解析式;()定义f0(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)(n0),求fn(x).解:()设f(0)=b,由f()=f()=f()=f(x)+f(y)=f(x+y)+

22、f(0)f(x+y)-f(0)=f(x)-f(0)+f(y)-f(0),令g(x)=f(x)-f(0)g(x+y)=g(x)+g(y),由柯西定理知,g(x)=axf(x)=ax+b,由f(0)=1,f(1)=3a=2,b=1f(x)=2x+1;()由f0(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)f1(x)=f(f0(x)=f(2x+1)=2(2x+1)+1=22x+22-1f2(x)=f(f1(x)=f(22x+22-1)=2(22x+22-1)+1=23x+23-1,猜测fn(x)=2n+1x+2n+1-1.用数学归纳法证:略.例12:(2006年复旦大学选拔生考试数学试题)f(x)在1,+)上单调递增,且对任意的x,y1,+),都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,证明:存在常数k,使f(x)=kx在x1,+)上成立.解析:我们证明较强的命题:f(x)在r上单调,且对任意的x,yr,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,证明:存在常数k,使f(x)=kx在xr上成立. 首先分类:()若f(x)在r上单调递增,下面分步证明:当xn+时,令f(1)=k,由f(x+y)=f(x)+f(y)f(2)=2kf(3