导数文科大题含详细答案

1、导数文科大题1. 知函数很）=1皿-2兀呻3,9（力三仪）+丫 +刃1班口式0）.（1）求函数fd）的单调区间;若关于I的方程5W=fl有实数根，求实数a的取值范围.答案（1）函数；W的单遍递增区间为（处）.单调逋减区间为住+T ；当口丘（讹）U 1-+切时方刼幻=a有实襯解析试题分析:C1）国数求导厂（町=从而得竿调区间；X（2 ）方程；+ anx-a = 0有实数根，即囲数做劝=；+ anx - a存在零点，分类讨论囲数WQ的单调性,1-3（1豳已得厂co =-力二呼 二空弩土 xE（a+8）令f 0即1-2龙0,解得0x| ;令厂CO 0即1一2充VO ,故函数fW的单调谨堵区间九（og

2、）单调谨减区间为（+）(2 由题得 r 0CO =厂O + 4x4- alnx =中 + alnx依题意方程2卡-0=0育宝数根r即函数hCO =中+ alnx- a存在零点.又用CO =-吉+OJf-l令/TOO = 0 爭=-.当a U 0 时fiM 0 * （eV）=左+a（l訂一a =為一12-1 0时，HCO , h（xy随工的变化情;兄如下表:当o 0时r肝co , h（x）随兀的变化情况如下表:（心）丄a（丄卄）a*0+At r)小ffi所以h二fl + Qin；-a = -Qlna为国魏i3 的扱小值也是最小值当九（中）A ，莎0 丈1时，巒数hW没有零; :当/1(9 1时注

3、意到h(l) = 1 ft 0 ,所以画数ZiOO存在零歳综上所述r当a E （-00.0） uL+00时方圜co = a有实数根.点睛：已知函数有零原求参数常用的方法和S路：C1直接法：直接根据題i殳条件构建关于参数的不等式再通过解不等式确主参数范围：（2 分离参数法:先将参数分离转化成画数的值域问题解决；（3 数形结合迭:先对解忻式变形.在同一侍面直常坐标系中.0出画数的图像.然后数形结合求解.2. 已知何-*血,5若.中,求函数“何在点1）处的切线方程；若函数何在L上是增函数，求实数a 的取值范围;令旳2宀竝），心L厂H是自然对数的底数）；求当实 数a等于多少时,可以使函数也）取得最小值

4、为3.解:心时，何5： 2（）.f= 2工 + = ；r（X）,数m）在点站）处的切线方程为：（2）函数h J】3在2上是增函数,.f= 2j：榔0- 17 （X），在-上恒成立,即叱小-,在畀上恒成立,T =-时,取等号,hr=血十一2i/2：r* - = 2迈 令J； ,当且仅当的取值范围为（-* 5（3）#（工）=工* - f（工）=口工-:rE（）. ffix=（7 =当T时严）在5 （X）：厂上单调递减，曲儿-=曲）=-1 = ?，计算得ft = 一出 气舍去）； 厂当心且时,即何在沖上单调递减,在匕讨上单调递增,二Me）沁 ft = ./=）= 1 + 血-，计算得出W满足条件；当

5、心，且訂时,即-，血）在上单调递减血）“ ids 一ft = 一，计算得出（舍去）;综上,存在实数5 L使得当MgJ时，有最小值3.解析（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程函数打在0上是增函数,得到f=2丁一 舁十一 0（X）-,在上恒成立，分离参数,根据基本不等式求出答案，（3）月心）=h - f仗）,求出函数的导数，讨论从而得出答案” I+ fnj + 1加）=3. 已知函数分别求函数fw）与川巧在区间d）上的极值；求证:对任意乂沖的=皿佇-1）解:（1）旷,令门巧 0 ,计算得出:心，九） 0 ,计算得出：Z兀I或故何在5）和仏+M上单调递减, 在（3上递增,如在Z）上有极小值f二1

6、 ,无极大值；T 1二工（少7）- 韻巧 0 贝y） V HY 2 故在上递增,在+Q上递减,決 fn小。=7以丿在 丿上有极大值,L ,无极小值；（2）由知,当坦叫寸,处Z吟C当 工仁 +0C)时 ZrrT + Inj： +11+1 + 1 =書皿)=忙 伽)jW令N ,则故)在卜冏上递增，在+M上递减,27巾7./)=市 机时综上,对任意*),/%；)*)解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得人”)及川打单调区间及极值；4. 已知函数加)佔一-5 可,其中心，7存为自然 数的底数.(1)当檸=时，讨论函数f 的单调性； 当戶勺时,求证:对任意的TZ m血)0解：(1)訂

7、时，皿(皿一少 贝y- ,?jw c)+c fns.-=r (sijtj： f +TTfmH-cost = /2A?nx+ ) /2 e1如+ Y C)故fS 0则问在R上单调递减.SUIT当陀时，id,要证明对任意的Trn,何 则只需要证明对任意的肛f对nx ah i 2a c=( x4 2)+s7J?.r c设看作以a为变量的一次函数，要使fiinxnd+2d r 0/(-) 0 I - - Z+l - r 0 ;. 7( 1) 01 X-+2 - r ):.则，即= -r皿+ l-e恒成立，二恒成立,对于 令帧巧=曲口 一 /-4-2 一 E贝y旳工）=- 2工 设X = f时= 即3.

8、就W聲三）cost 1.7?1t - shit 0换了）单调递增 在+兀）上h 0 n（A）单调递减, 则当 Z 时,函数M）取得最大值“fVi f rbt=sint 广+2 - c=stnt - (= )-+2 - e .1 snrt1 .，* i ,int u 35 “ 3 2i=円土 2 - e= - r=( +1)+ - -广(-)+V 011121 411()故式成立,综上对任意的咱“刈,何 解析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可 对任意的呵+ X）, fU） 0转化为证明对任意的（1 r）（7 = r f），即可,构造函数，求函数的导数,利用导SUIT

9、JOi + -50）数进行研究即可.5. 已知函数血）7严切当时,求函数何在工i处的切线方程； 求几C在区间区勿上的最小值.解:（1）设切线的斜率为k.因为 a = 2 所以 /&) = (2” _/%【)= 一 1).所以 /（）= 一2 斤=f （仙）=（心 一 1） = 一1所以所求的切线方程为U=7 即+=山根据题意得f）=i门），令f 0 ,可得.=.- 砒1三1则冬2若当讥L刃时，30 ,则血）在1上单调递增.所以/“曲=f（l） = 1 - H）化四，则心;5 ,当工日1.2时，九）创,则几T）在山2减.所以若上单调递若1 V 1 V戈，则2 舁：x1(1 , a i J1 1S

10、 L 2)2Fa0-0+0f()-e极小值r0所以九）严）随x的变化情况如下表:所以刃巧的单调递减区间为单调递增区间为所以问在Z上的最小值为弘-】）J 综上所述:当曲时严）“ f叹；当心店时 /Uh” = /(-) = (2 - fi)c当 2 a 3 时八工)5 = /(! - 1)= -严解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率，切点坐标，然后求出切线方通过血)M八1)i ,可得2 “ = 1 .通过叱2，心，2 c ,判断函数的单调性求出函数的最值.6. 已知函数二川n疏0卫eR).。(I)求f(x)的单调区间;(II )若对任意x 1, e,使得g(x) A x2 +(a+ 2)

11、x恒成立，求实数Ia的取值范围；(III )设F (x)=lg(QQl，曲线y = F (x) 上是否总存 在两点P, Q,使得 POQ是以O (O为坐标原点)为钝角柄点的钝角三 角幵，且最长边的中点在 y轴上？请说明理由。解：(！) =-+： y=-3r + 2x=x(-k+2).当 xe(-A0)、2 2环+时，侧0J(x)在区间上单调递增.(口)由 g(x)-x-(a-2tx，得 XE札心.hixGd，且等号不能同时取得，即111戈0 , 对任意兀訓同，使得 办)-+9 +臥恒成立,00（川）由条件，匕皿， 假设曲线J上总存在两点P仪满足：讯屯是以0为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点

12、在很轴上，贝y P仪只能在y轴两侧.不妨设川0|，则姑八门.Op+OQuO，.-F+F（W+F）vO 卞），是否存在P，6两点满足条件就等价于不等式（探）在时是否有解.9分 若时，二-广+（-!+广X广+广）vO，化简得?-r + 10,P、对Vr （01）此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点Q;11分 若131时，卞）不等式化为一r+dhMF+F）0,若0l恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q;+l）lnz若a0时，有口（），设扯X（r+l）lngl），则呵皿显然，当沦1时，叭no，即MM在1芒）上为增函数, 二M）的值域为颅1）严丿，即a+丈）， 二当时，不等式（）总有解.故对总存在符合

13、要求的两点 P、Q.13分综上所述，曲线 心上总存在两点具o ,使得是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在！轴上.14 分区间；（n）若当-7. 已知函数几忑）=山y +旷仪为常数）.（I）若 a=-2,求函数f（x）的单调 止E 1工时丿（工）W仏+ 2）恒成立，求实数a的取值范解: ( I )a=-2 时，f()= k 一 2hrj2二 K 6 (04)时,f(H 0,二函数f（x）的单调递减区间是（0,1,单调递增区间为（l+x）；（n）由已知条件得：1】2 + .伫（+2）几H（lu ）W ：v + 2r ； 二hL迟W 1冬K且等号不能同时取;.v + 2.r二和玄11山一f

14、T- + 2t令1X7 “仗e卩胡).十(.r - l)(.r + 2-2 lii .r)(In J； J；.9 (y)=丁 一 1 2 0, In 工 W LJ； + 2 - 2 In 2 0 .二孑）？ On二g）在i,e上为增函数；e- 2r二g（K）在i,e上的最大值为：E - 1e- = 2r,+x -二“的取值范围为:F 1/8. 已知函数 何=,7（1）若 D ,试判断fW）在定义域内的单调性；若me在+对上恒成立，求a的取值范围./（J） = hij -解:；函数工m 丄 f （工）=H 二函数的定义域为+ X丿，函数的导数旷 当 ，畑 0，此时函数单调递增.rr 2若fW 在

15、+对上恒成立,即.在+兀）上恒成立, 即2皿,令呦-，只要求得能）的最大值即可,.rr 1 /.I-fix- n1 G jt“何亠（L+x）、, 八丿在 十丿上单调递减,/./(.r) = I），此时函数单调递增.若在山+对上恒成立，, （1 * 皿 工- 门即 在I十丿上恒成立, 令巩叮=工加工-* ,只要求得川叫的最大值即可,讥工）=皿+1 - :2九）=宁1 一 (jj*-/./(.r) = 0即畑在+对上单调递减，10.设函数何7一1）八& （I）若函数3在似+乂）上单调递增，求实数a的取值范围;（n ）当2 C时，求函数人“）在1厲】上的最大值.答案解：（I严）的导数为maw如 函数

16、何在似3上单调递增, 即有加在（&F上恒成立, 则加在+M上恒成立.7/, 0 J； ji2(t门工) 0 t) J- 0 X 1 4；) 0 ) .T 0.z 加2川即郴 加加W细单调递减严Mi单调递增,/(j ),rrrri =加卩 H加 一 1 ) fi ( 5 曲)/() = 1/()=(和-He /r时，/./()=(仇一1疋一 /(0 P厶 /(JT)亠(1 fil(n 1)(? J函数，在L上的最大值为解析（I）求出函数的导数,根据题意可得 加曰在Uw）上恒成立,则在O.+X）上恒成立.运用指数函数的单调性，即可得到a的取值范（n）求出导函数和X W 如,判断出在m细单调递减，皿

17、“单 调递增，判断求出最值.11.本小题满分12分）已知函数f（1）当21时，求曲线卩口）在点TjTn处的切线方程;（2 ）当XD时，/0恒成立，求（1的取值范围。答案详解（1）当a = l时，f仗）=-/ = 2丁*1,贝yHt）= 5,即切点为LhJ因为r（z）=e-2T-2,则n-ir?,故曲线何在卜ije处的切线方程 为：卽4小）十2即期=卜十（2） fa）= h-灯2 =1,求导得：何-加,令gk) = f)Mr = 2a；F-2G, g(n = h-加(工D)；当加$ 1,即鼻茎2时，如S I-2心0，所以曲）在佩+00）上为增函数，所以*丁）在血+X）上满足/0= 1 - 0-0

18、-1=0，故当怎5时符合题意;当3fl 1,即辽时，令-加=0,得zh2Q0,X0Jn2a)In 2a0n2a.+oo)0+g(幻减函数极小值増函数当 （Ilii2a）时，g（卅1 - 2rt 0,即尸门叫（n）若f（丁）有两个极值点 环心，求实数a的取值范围。答案（I）代丁）任2堆一 /，f-f何=心曲-2） 0,当“0时，无解；当时，解集为k2； 当acO时，解集为刑2。（n）若f （丁）有两个极值点丁12，则=1*2是方程尸M 0的两个根。尸広2勿工孑，显然H*U，得：To_ .护 W、（,r - l）c-令如）=云h （也=H 。若T 0时，力单调递减且吃）时，当0/0，卅巧在+00）

19、上递增。要使f有两个极值点，需满足7在佩十刈上有两个不同解，得2ac，即2。解析本题主要考查利用导函数求解函数问题。（I）原不等式等价于皿（工-习0,分0, eO,和kO讨论可得；（n）设/巧=几町，贝piM是方程g（n的两个根，求导数可得3,若时，不合题意，若a0时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可 得关于B的不等式，解之可得。13.已知函数小尹5曲 (I)如果函数站=几“在儿上是单调增函数，求a的取值范围;(n)是否存在实数心U,使得方程 -八=以门在区间内 有且只有两个不相等的实数根 ？若存在,请求出a的取值范围;若不存在，请说明理由.解:(I)当=时严)二在山上是单调增函数,符合

20、题意.=扫工=-二时丿7町的对称轴方程为因为二问在山上是单调增函数,2所以计算得出咗2或心I所以心U 当时，不符合题意.综上,a的取值范围是 心 (n)把方程性2整理为huC J 、八=心2-阳1,即为方程伽血T) =+ (h?.ri 0)设,原方程在区间亡内有且只有两个不相等的实数根(: m)即为函数I，在区间广内有且只有两个零点才)=如盘 + 1-加)-1 =血 +(1 一 加M1 = S+i)S-i)XJ-工令= ,因为心,计算得出2 1或”一茹（舍）当闾1）时,HS 0甸工)罰 01 - 2(i T (1 -2n)r+fr+r-41 = 0-CLH=斤+1=2町1=门. (J+ f?a

21、 2r - 1 11 1 (I ，=n , “ V三种情况,最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案 方呈哼52 ” “整理为宀= n构造函数=心工料（1 一曲）工加.“工 0） 一、 ，.y，则原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根即为函数（-0I 在区间内有且只有两个零点，根据函数零点存在定理，结合函数的单调性，构造不等式组，解不等式组即可得到结14.设函数何：T bW丰D).(1)若1，求函数何 间.若曲线几C在点(X用)J处与直线 a 相切，求a,b的值.的单调区解.当盯=1时加=-3x4-6/(!)=- 3令 /() = 3t- - 3 0 ,则工 1 或工 W1 ； 门巧=：2

22、- n 则 7 r 的单调递增区间为(一*一1)和(L+X),递减区间为/(j ) = 3.1- - 3n ,-曲线k何在点3处与直线相切,解析尸巴)=0 f 敢NfF)= n”f2) = S s (id + b = X,即I解之，得仃=(1)当=1时,求出何的导函数m),令九) ，得出函数何的单r(2)= 0f=K，求出a和b.调增区间，反之得出单调减区间； 求出函数川巧的导函数,得出15.已知函数/=#” +位+ 1)a: + 2加仕一1)(/)若曲线y = /W在点(2,/(2)处的切线与直线2jc-r+i=o平行，求岀这条切线的方程 (H)讨论函数门划的单调区间；(/)若对于任意的xe

23、(b +艾)，都有/U)04I ）时/（兀）0所以，函数/W在区间（1，号）上单调递增,在区间（弓,+00）上单调递减.当 1)X1X1当 = 0 时 ja)=迅二，X 1由于 x 1.所以 /(x)=0.可知函数八力在定义区间(L+X)上单调递增6分)当 M 时尸=(11)卜-=)XB1若 & A 0.则 1时,有f （工）;0,函数/W在定义区间（1,+00）上单调递增,（8分） 若& 1,a得当XG（1,V a当XG- ,+001 a仃H)当心仆时，考查f=4舁+ 2净不合题意涪；3f7 2(1 12hH-a-2. a当 S( / )知 /(Xjtnax = /故只需 2/f ( fl)

24、 2 即 34 + 2 4hl( 7)(1 分)2 aa令f = -a，则不等式为一3r+ 2+ - t)构造函数 g(r)4/Hf + 3一2-亍(rU),贝 i g f J = = + 3十舟 AO, 知函数gQ在区间(O + Q上单调递增.因为 g(l)=4/Hl+3-2-l =0,所以当 f iB4.g(i)n.这说明不等式-3 + 2 + t)的解为 t 1,5P0 ,函数 F(x)单调递增;x( -1 , 1)时，F(x)0，函数F(x)单调递增。(2令+ 2纵十厂n心7*弓a-cwLMi T,则1异，即子：得。卜十沪即17.|设函数y_/M)在区间1)上的耳数为厂2) JW)在区

25、间1)上的耳数为9(尸). 若在区间D上期(4 ()恒成立.则称函数=/仃)在区间D上为”凸函数”已了 11和 J* 暑 Ij* 知实数是常数J(x) - V(1)若甘-fa 在区间曲円上为，凸函数J求m的取值范围；(2)若对满足JU2的任何一个实数g函数人町 在区间(切上都为”凸函数”，求仃a的最大值.答案/ (X)=工 23 乂 g(E)工 2 勒工 3.(1)由题意可得“刘；0在他3上恒成立，f (/()! 0/ ,解得升厂、2.二丁”的取值范围是(2., X)；令p m： = gO）=工m +护3 0对Vm e -2,2|上恒成立, ；：（；?-解得 T JV1.二（b “ = 1 （

26、1） 2*mg18.设直线心=齢4是曲线C：加=孑+2+的一条切线，g（A）= tjA+2z-23(1) 求切点坐标及酬的值；(2) 当册 Z时，存在 训0肝)饰W 2成立 ，求实数也的取值范围.答案（1）解：设直线 /与曲线C相切于点P佃必）,、:他）二八2汨2,阳+ 2二5,解得州=J或阳二3,=7 当皿=1时，牯，tP（-1厂1）在曲线C上，/-E,当Xq = 3时， 0 = 19，：P（3J9）在曲线C上，二13,_7切点 PdU，曲W二几0-办）二期-（1+诟+36解法一:懒EL，朋二Yi，设3，若存在诃0曲）饰 成立，则只要方傩血兰0， 孑=? - 2（1+dE）x =亦-2（1+

27、盘）切点PE19），仁13.（i）若l+di2 0即力-1，令丹（X） 0,得 卫2（1+4或沐0,松），；（M在（2（1+血+ra）上是增函数，令讥，解得0x2（l+a），十在0,2（1+涮上是减函数，； 扯畫k 珂2（1+测，令風2（1+。）0,解得22，（n）若1+xO即X-1，令笊力0,解得2（1+切或麗0,:雄0严），. 在（0加）上是增函数，.4（%二方 令砸0 ，不等式无解，二。不存在, 综合（i）（ii ）得，实数 d的取值范围为 2何.2 1 32136打 .x -r-x+36岛a-z+-7-l解法二：由J W-SW得 3,（ i）当XHO时，3 X236_设E 了+?若存在

28、/0柯饰（孟）2（孟）成立，则只要啪2， 8月Y识1一 72二宀空分3厂3；?，令刃（淀0解得16;. AW在6+K3）上是增函数，令护（x）e解得；.ox2,Aax+36（ii）当X二0时，不等式3不成立， a不存在,综合（i）（ii ）得，实数 d的取值范围为 2W）19.已知函数心G + Inx工在点代几引）处的切线与直线X+0+1 = 0平行.（1）求fl的值;（2）若函数/闊在区间 血坯+1）上不单调，求实数用的取值范围；（3）求证：对任意xEll+X）日-卫时，兀齐 恒成立.答案(1)门=1 (2 ) O?M1 (3 )见薯析试题解忻：（丄）;訥=口+曲X=丄-函数/（力= 在点处

29、的切线与直銭工+言:V+1=0平行a1 ee/. a = 1（2 ）巾=1Zfx）lfxj在（L+X 1上单调递减 令门小0得0xcl . /IX）在1上单调谨増 屈数工）在区i可冲W十1上不单调m 1/. 0 w X兀+ 1X再令 /if X1 = XInx 则 /(X)= I X4(0=(兀+lHlnx + l f 则 W(打=(X +I(服 + 胡 y-(兀+ 1加 +1 i = K-严弋壬1+艾I岸即加刘 在(L+X)上为堵函数/, /?! X) /?(1) = 1当Q1时fimo , iPf(-v)在厲+艾)上为埴函数.g(x g (1)-2(x + l)llnx+1.=X迂卜工,2

30、 2j 即 X+1 工+1亠卫刖壬意乂总(1=+艾i”Ei 一龙；1时/(-v)- 恒成立, x+1軀:?要轅戟削貓对朕,静!1駆鵝斷麻匏甌葩雷 田巒!i葩破頻驹赭关營軀,勰e 讥就拜:慣Effi构師如工上巴巴 且求駱,麹氐搞弾駆间.牖翱思卫緡渊軼220.已知函数何蔦+ E,血)”+咻町(I )求曲线T在点g处的切线方程； /U2加)有唯一解,试求实数a的取值范围.(n)若方程QTW =-二？ + 解：(I)旷3 _ : 27 = ； 又 f =2可得切线的斜率i切线方程为,即八1 j（n）方程血2血）有唯一解2-1 :ibtj- X ft有唯一解,2办（工）=-I :如-J- 设根据题意可得

31、,当工0时,函数9二川d与二“的图象有唯一的交点.如）一爲昇一宀汨+ 2J- X.1-令畑= ,得X = 1 ,或X = 2 , W）在1上为增函数,在d、e+x）上为减函数,故慢小血=M 1） = 1办楼丸值=办住）=:ihf21如图可得1,或心处2解析（I）求得函数 人”）的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程，可得 所求切线的方程；（n）方程血2血）有唯一解2-1 :ibtj 一工=n”有唯一解,设2力（工）=-I 3hi r - J-，求得导数和单调区间、极值，作出图象，求出直线L和加H的图象的一个交点的情况,即可得到所求a的范围.的单调性21.已知函数问”“（I）讨论问（n）若e U时严）5 + -）0都成立，求a的取值范围.（flH解：（I