导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

1、X2X2例3已知函数f(X )=2ax a2 +1X2 +1(I)当a =1时，求曲线y = f (X )在点(2, f (2 )处的切线方程;(n)当a H0时，求函数f (X )的单调区间与极值。导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1.求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。已知函数f(xlxl(a +2)x2+2ax (a0),求函数的单调区间32f (X)=x -(a +2)x +2a =(x -a)(x -2)例1已知函数f(x)

2、=x-2-(a +2)1 nx (a0)求函数的单调区间XX2 -(a +2)x +2a (x -2)(x -a)f (x) =解：(I)当a =1时，曲线y = f(x )在点(2, f(2)处的切线方程为6x + 25y-32=0 。(n)由于aH0，所以fx)= 2L,由f (x) = 0，得X1=,X2=a。这两个实根都在定氐 +1 )a/2a(x2+1 )2x(2ax-a2+1 ) -2a(x-a)xf (X )=2 2(X2+1)J a2 2(X2+1)义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数 a的取值分a0和a cO两种情况进行讨论。(1)当a aO时，则x -a2函数f(

3、x )在X2 =a处取得极大值f(a) = 1。(1) 当a cO时，则xX2。易得f(X )在区间(二，a)，1(-，七T内为增函数，在区间a(a,-丄)为减函数。故函数 f(X )在X1 =-丄处取得极小值aaf 一丄=一32 ；函数I a丿f ( X)在X2 =a处取得极大值f (a )=1。以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解 题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。(区间确定零点不确定的典例)例4某分公司经销某

4、种品牌产品，每件产品的成本为3兀，并且每件产品需向总公司交的管理费，预计当每件产品的售价为X元(9wX w 11)时，一年的销售量为(12- X)(1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 X的函数关系式；(2 )当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值a 元(3 aw 5) 2万件.Q( a).L=(x-3-a)(12-x)2,x 9,11 :.L(x)解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价X的函数关系式为:2(2)L，(x)=(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令=0得或x=12 (不合题意，舍去)/

5、3 aw 5, 86+-a 28 .33L(x)X=12在x=6+|a两侧L 的值由正变负.所以当8 6+|a 9即3 a=L(9)=(9-3-a)(12-9)=9(6-a).当 9 6+-aw 28 即- a 5 时,332Lmax=L(6+ |a)=(6+ -a-3-a): 12-(6+ -a): 2=4(3- 1 a)3.所以33339(6 a),Q(a)= 4卜3寸)3,/93兰日勺，9-5.2答若3 a0上的最小值；川)对一切的X亡(0,1 2f(x)兰g(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.解:1f 1(I ) f(X)=1 n X +1,令f(X )0,解得xA , f(x)的单

6、调递增是(e,+处 e11111(n )( i )0tt+2 - , t 无解；(ii )0t t+2，即 0t -时，f (x)min = f ()=- eeeee),10t-e313X 1可得 alnx-x-(分离参数)，设h(x)=lnx-一2 2x22 2x则 h，(X )= 1 -3X 2 2x2(X -1 Qx +1 )2x21令 h，(X )=0 ,得 X =1,x =(舍)312分当 0 ex cl 时,h(x ):0 ；当 X 1 时,h (x)vO/.当X =1时,h(x J取得最大值,h(x)max=-2 13 分二 a2.1 1(iii) t 时，f(x)在t,t +2

7、单调递增，f (x)min = f(t) =tInt 9 分 eI-1f (x) min e， jtl nt、, 2 2(川)由题意：2xln X 3x +2ax -1 +2在 x 忘(0,址上恒成立，即 2xln x 0、厶=0、Av 0;在 0时，在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。 1已知函数 f(x)x-ix+o-aw，求函数的单调区间32f(X)=ax2 F +(1 -a) =(1 -x)(ax/ +a)例2已知函数f(x)=(1 +a)lnx+ax2 (a0),求函数的单调区间 2f (x)Lax2 X +( 一a) _(X 1)(aX 1 +a)例3已知

8、a是实数，函数f(x) = JX(x-a)(I)求函数f(x )的单调区间;(n)设g(a )为f(x )在区间10,2 上的最小值。(i )写出g(a )的表达式;3 I 尸3 丿(x0 )，由 f，(x)=02Jx(ii )求a的取值范围，使得 6 g(a ) -2。解：(I)函数的定义域为 b,邑)，f，。戶憑+罕三二32Jx2Jxaa得x=。考虑一是否落在导函数 f（X）的定义域（0,邑）内，需对参数a的取值分a0两33种情况进行讨论。(1)(1)当a0在（0,母、）上恒成立，所以f（x ）的单调递增区间为0,兄）。aa当 a 0 时，由 f（X）0，得 x ；由 f（X）v0，得 0

9、vxv。33因此，当a0时，f（x）的单调递减区间为 匡，f （X ）的单调递增区间为 |,畑。由第（I）问的结论可知: 当a 0时，f（x 在0,ah单调递减，在 徑卞上单调递增，所以: 7 33丿 当一亡（0, 2 V即0 a 6时，f（X ）在0,-1上单调递减，在一，2】上单调递增，311 33所以9半一冬辰。13 丿 339综上所述,g(a0,a 02a E C c J-,0 ca 6 3 V372(2 -a ),a 6址），即 a 36时，f（X ）在0,2上单调递减，所以 g（a）= f（2）=J2（2 a）。(ii )令6 兰 g (a )兰2。若a 0，无解;若0a6，由一6

10、 J2(2-a)2 解得 6a2 + 3j2。综上所述，a的取值范围为3a2+3j2。三.求导后，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。例1已知函数f(X)=ax2 +X求函数的单调区间 2f (x) =ax +1例2已知函数f(X)=ln X _ax求函数的单调区间1f (x) =- -aX例3设R，函数,x 1试讨论函数F(x)的单调性。解： f(x) J,1,F(X)= f(X)-kx, X亡 R1f21k(1-x) ,x1O-X)I 1 + 2kJ, , X1L 27有实根,因此，对参数k分k0两种情况讨论。I 1I-kx,x c1,F(x) = f

11、(x) kx = 1-X,F (x) =-Jx -1 -kx,x 知k的取值进行讨论。考虑导函数F (X)=0是否有实根，从而需要对参数2(一)若 xc1，则 F(x) J M当k 0在(垃,1)上恒成立，所以函数 F(x)在 d上为增函数;-；)。由于当 k0，所以xx2。1由 F (X)a0，得 1-芈Tkvx1 ；由 F(x)0,得 x0时，函数F(x)在(-2,1)上为减函数，在(1- ,1)上为增函数。WkVk1 + 2k Jx -1若x1，贝y F(x) = -；o由于当k0时，F(x) = 0无实根，而当k0和kcO两种情况讨论。（1）当k0时，F（x）0在1,址）上恒成立，所以

12、函数 F（x）在1,址）上为减函数;(2)当 kv0时，F(x)_27x-1一k (Jx 一 1 + 12k丿ox-11 1由 FWe 得 x 十泰;由 F(X)0,得 -4k因此，当k cO时,函数F(x)在k,1+yL 4k丿上为减函数，在卜4k,、+oc上为增函数。/综上所述:(1)当k aO时，函数11F（x）在（二,1）上为减函数，在（1 ,1）上为增函数，在1,母）上TkTk解：函数为减函数。当k =0时，函数当k 0,讨论函数 f (x) =lnx+a (1-a ) x2-2 (1-a ) x 的单调性。2f(x)的定义域为(0,均.f (X) = 2a(1 a)x -2(1-a

13、)x+1f 1 )当 a 工1时，方程2a(1-a)x 2 -2(1-a)x +1=0 的判别式也=12(1a -J当0 a 0, f x）有两个零点,3X丄_匠远曰丄+如-1)1)( 1)2a 2a(1-a)2a 2a(1-a)且当0 C X V X1或XX2时，f （X）0, f（X）在（0,X1）与（X2,+=勺内为增函数;当 X1 c X c X2时，f （X）c 0, f（X）在（X1,X2）内为减函数;1当a 1时，也0,所以f （X）在（0,邑）内为增函数;31当a =1时，f （X）=- A 0（x 0）, f（X）在（0,母）内为增函数; XxiJ(3a 1)(a 1)12a

14、2a(1-a)xi1J(3a-1)(a _1)=+2a 2a(1 _a)a Y (J(a_1)(3a_1)2a(1 -a)l2a4a1(3a -1)(a -1)22 24a (1 _a)3a _11 -a +3a 12a _4a-4a2(1-a) = 4a2(1-a) =4a2(1-a) *+ J(3a_1)(a_1) 01 J(3a 1)(a _1)X1 =1 2a所以在定义域(0 , +8)内有唯一零点x1,且当 0CXVN时，f(x)0, f(x)在(0,X|)内为增函数；当 xx,时，f(x)v0,f(x)在(x1)内为减函数。f (X)的单调区间如下表:0a J3(0, Xi)(X1

15、,X2)(X2，畑)(0,F(0, X1)(X1，址)1X1 2aJ(a-1)(3a-1)2a(1-a)x?右唱IF)因函数的零点的个数不确定而引起的讨论。1例.已知函数f(x)=1 n X, g(x)= -x2 +a(a为常数)，若直线I与y=f(x) 2和y=g(x)的图象都相切，且I与y=f(x)的图象相切于定点P( 1，f( 1).(1)求直线I的方程及a的值;(2)当 kR 时,讨论关于X的方程f(x 2+1)-g(x)=k的实数解的个数.解：(1)v(x)=1，二 f (1) =1k1=1,又切点为 P( 1, f (1),即(1, 0).l 的解析式为 y=x-1 ,X=x-1T

16、l 与 y=g(x)相切， 由 1 y= x2 +a,消去 y 得 x2-2x+2a+2=0, = (-2 ) 2-4 (2a+2) =0,得 a=- 2 2I 11(2)令 h (X) =f(x 2+1)-g(x)=1 n(x 2+1) x2 + 2 2 1、 2xx(x -1)(x +1)，则 XV1 或 Ocxcl 时，h(x)O,h(x)为增函数,-h (x)=2 -x=-、一L1 +x1 + X-1 x 1 时，1故x=1时，h (X)取极大值1n2, x=0时，h (x)取极小值一。2因此当 k( 1n2, +8),原方程一解；当k=1 n2时，原方程有两解;1n2时，原方程有四解

17、;11当k=1时，原方程有三解；当k0时，若对Tx亡0,3 有f(X)4恒成立，求实数 a的取值范围.解：因为 f(x)=x 3-6ax 2+9a2x, x3-6ax 2+9a2x-4 0f(X是增函数，在(a,3a上f (x)0 f (x是增函数。所以函数在 x=a时，f(X极大=f (a )，所以函数在x=a时，f (x极小=f (3a )因对Vx亡0,3 有f(x) 0当两个极值点都在指定区间0,3内时。即03aw 3，也就是0a0时为什么分为0a3两类。要讲清楚)在(0,a上f(X )0 f(X是增函数，在(a,3a上(x )0 f (x是增函数。所以函数在x=a时，f(X极大=f (

18、a )，所以函数在x=a时，f (x极小=f (3a )f(X max =maxf (a )f(3、f(xmin =minf(0)f(3a J等价于f Mtf(3卜4兰0Wx亡0,31有f(X)4恒成立,p ca 1a3 Ya3 +9a3 4 02p7-54a+27a -4 0p Va 1解得a兰1 应I 99当两个极值点有一个在指定区间0,3内时。即03时，也就是1a0时为什么分为0a3两类。要讲清楚)在(0,a 上 f(x)0f(x是增函数，在(a,3 上 L(x)0f(x )是减函数，所以函数在x=a时，f(x极大=f(a ),f(X max =f (a ) f(X min =min f

19、(0，)f p yFf3解得13兰1+2用f（a）-43时，（当a0时为什么分为0a3两类。要讲清楚）在 0,3上 f -（X ）0 f（X 是增函数，f（X Lax =f（3）=4a34 ；108_4 0 与 f（x）-40 矛盾。W亡0,3 有f（X）4恒成立，等价于综上：对川0,3有f（X）4恒成立时，实数a的取值范围是0aM+2-9例4设函数f（X ） = x2 +bln （x+1 ），其中b H0，求函数f （x ）的极值点。2b 2x +2x+b解：由题意可得 f（X ）的定义域为（一 1,咼），f （x）=2x+=x + 1 x+1,f（X ）的分母x+1在定义域（-1,址）上恒

20、为正，方程 2x2 +2x + b = 0是否有实根，需要对参数 b的取值进行讨论。1 2 1（1 ）当也=4 -83 时，方程2x2+2x + b=0无实根或只有唯一根x =,所以2 2g（x ） = 2x2 +2x+b 0,在（-1,）上恒成立，则f （x ）30在（-1,）上恒成立，所以函数f （x ）在（-1,母）上单调递增，从而函数 f（x）在（-1 ）上无极值点。(2)当 =4-8b aO ,1 2 即b_l，所以为芒（_1,址）,X2 壬（_1 严）。X(T,X2 )X2（X2，母）f(x)0+f（X）递减极小值递增此时，f（X ）与f（X ）随X的变化情况如下表:(ii )当

21、Ocbc1 时2由此表可知：当b cO时，f (X )有唯一极小值点X2 = -1 +号-2b。1 - j1-2b1 + J1 - 2bX1 = 1, X2 = 1X1 (-1,母),X2亡(一1,咼卜此时, f ( X )与f (X )随X的变化情况如下表:X(-1, )X1(冷 X2 X2(X2,母f(x)+00+f (X)递增极大值递减极小值递增_1 _ J1 _2b1 w 和一个极小值点1由此表可知：当0寸时，f(x )有一个极大值点X,-1 + j1-2bX2 =。2综上所述:(2)1当0 cb 5时，f(X )无极值点。 从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，有了方向和

22、切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。(19)( I )小问5分，(n )小问7分)已知函数 f(X)=ax3+x当b 0时，f (X )有唯一极小值点X = 一1 +山+bx (其中常数 a,b R), g(x) = f (x) + f(x)是奇函数(I )求f(X)的表达式；(n)讨论g(x)的单调性，并求 g(x)在区间1,2上的最大值和最小值1) ilTja愈細厂芸曲宀+ b.因此茗匕 = /(t) + / *(=(U? + f % + I * (b * 2” + b 谢为毘奇茵Sts以龙弋).即对fFS实tt或南血(三鼻)+ (衍 + 1)(+

23、 (6 +2)(-巧 + 6 5N心 + 3o +4 (i + 2” + b】从而，上 m槻柱=认剤t/E的轿析泌式为*巧一 yJ*(叮由(门知富一眾心紳)=小令&3 7餐跖八禺升=75 当工A疗时点S) 上地雷；当t 0.从丽夙徑区间J血； 上址增函山面讨论落心)在区冏1.2上的S火值与最小値只艇在蠡，盪.2时取得.而密=害 ffCV2) .(2)-专-因此g(H)ItK何1*2上的大的为 !k(75)逹、用小值为黑(2)罟1 _ a(21)已知函数 f(x) =1nx-ax+-1(a迂 R)X1(I)当a = 1时，求曲线y = f(X)在点(2, f(2)处的切线方程；(II )当a时，

24、讨论f(x)的单调性.22x2 + x 2解：(I)当 a=1 时，f(x)=| nx + x+1,x(0,亦)，所以 f(x)= _ ,x(0,畑)XX因此，f=1，即 曲线y = f (x)在点(2, f (2)处的切线斜率为1,又f=ln 2 + 2,所以y = f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 y-(ln2 + 2)=x-2,曲线即 x - y +1 n 2 = 0.(n)因为1 a1f(x) =lnx-ax+-1，所以 f(x)=-aXX2 ax - X +1 - ax22),X 忘(0,址)，令 g(x) =ax -x+1-a, (0,址(1 )当 a = 0时，h(x)

25、 = -X +1, X 亡(0, +K)所以，当x(0,1时,h(x) A0,此时f(x)v0，函数f (x)单调递减;当x(1,xc)时，h(x)0，此时f(x)A0,函数f(x)单调递(2 )当 a 工 0时,由f (x)=0即 ax2 - X +1 - a = 0，解得 X1 = 1,X21当a =-时，X1 = X2, h(x)吕0恒成立,2此时(x) 0，函数f(x)在(0, +8)上单调递减;11当0 02ax“0,1)时，h(x) aO,此时f(x)c0,函数f (x)单调递减;1(1- -1)时，h(x) cO,此时 f(X)aO,函数 f (x)单调递增； a1x0，此时仪)

26、0，此时 f(x)0，函数 f (x)单调递减;X迂(1,母)时，h(x)c0，此时(x)。，函数f(x)单调递增。综上所述:当a g(X2)，求实数b取值范围.1 a解：(I)因为 f(X)=1n X - ax 中-1，所以 fx2令 h(x)=ax x+1a,X迂(0，母Cl)当0 = 0 时,血(疋)=-忑+ 1,疋(0,40),听以 当工亡1)时，紅x)Ch此时/(盂)0,函数/(盂)单调递减;当xeQw)时，AW0,函数/(对单调递増.(2)当也芒0时.由/(x) = 0,即处2开+ 1也=0,解得JT】=1,2 = 1 a1 当a = 5时，=x2,h(x)0恒成立，此时f (x)

27、0，函数f (x)在(0, +、)上单调递减; 当 0V a1 0 ,2 ax(0,1)时，h(x) 0,此时f (x)V 0，函数f(x)单调递减；1 x(1,1)时h(x)v0 ,此时f (x)0 ,函数 f (x)单调递增； a1 x( T,畑)时，h(x) 0,此时f (x)V 0 ,函数f (x)单调递减; a当av0时，由于-K 0,ax0,1) , h(x) 0,此时 f(x)v0，函数 f (x)单调递减；x(1，址)时，h(x)0，函数f (x)单调递增.综上所述：0(n)因为 a= (0, 1)，由(I)知，X1=1，X2=3世(0,2)，当 (0,1)时，f(x)Y0，函

28、数 f(x)单42调递减；g(x) 】min =g(2) =84b 0b (2, P)兰丄b 寸一，邑 当 (1,2)时，f (x)0,函数 f (x) 2 L 8 丿1单调递增，所以f(x)在(0, 2)上的最小值为f(1) = - 1 。2由于“对任意x,巳0,2)，存在X2亡1,2】，使f(X1)g(X2)”等价于“g(x)在1,2 上的最小值不大于f (X)在(0,2 )上的最小值-丄”(*)2又 g(x)=(x-b)2+4b2 ,花忘 1,2】，所以当b Y1时，因为g(x)】min = g(1) =5 2b0，此时与(*)矛盾当b亡1,2 时，因为g(x)min =4-b2 3 0

29、，同样与(*)矛盾1 17当 (2,址)时，因为g(x) Ln = g(2) =8 -4b，解不等式8-4b 2 8综上，b的取值范围是17,1。L8,丿(21)已知函数f(x)=(a+1)l nx+ax2+1.(i)讨论函数f (x)的单调性;(n)设 a 0时，f (X)0，故f(x)在(0,+处)单调增加;当aW 1时，f(x) 0,故f(x)在(0,+处)单调减少;当一1 a0;x (Ja+12a+ 处)时，f (X)X2.由于aW 2,故f(x)在(0,+处)单调减少.所以f (xi) - f (冷)4 Xj X2等价于f(X,) f (X2) 4x1- 4X2,即 f(x 2)+

30、4x 2f(x i)+ 4x 1.令 g(x)=f(x)+4x, 则g(x)X+ 2ax+42ax2 +4x +a +1于是g (X)Yx2 +4X-1(2XT)2 w 0.从而g(x)在(0, +处)单调减少，故g(x 1) w g(x 2),Xi X2 .即 f(x 1)+ 4x 10时，f(X)0，故f(x)在(0, +7 单调增加;当a 1时，f (X) 0；2aX珂J-葺时，f(x) 0.故f(x)在(0,J-单调增加，在1 2a畑)单调减少.当-1 a X2，而a 4 X1 X2等价于/x1,X2 (0,畑),f(X2)+4X2f(X1 )+4x1a + 1令 g(x) = f (

31、x) +4x，贝y g (x) =+ 2ax + 4X等价于g(x)在(0, +8)单调减少，即+2ax+40.X2 2 2Vx-1(2x-1)2-4x2-2(2x-1)2从而a 0)。2(I)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1 , f (1)处的切线方程；(n)求f(x)的单调区间。1+xT + 2X2 1 解：(I)当 k=2 时，f(x)=l n(1+x)-x + x2, f(x) =3由于f(1)=l n2 , f(1) = 2,所以曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为yTn2 今XT)即3x2y+2l n2-3=0(II ) f (x)=x(kx+k -1)1 +

32、x,X 巳1,p).当 k=0 时，f(x) =-.所以，在区间( 1,0) 上,1 + Xf(x)0；在区间(0,址)上，f(x)0.故f(x)得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,+).当 0 ck 0 ；在区间(,0) 上, f(x)c0kk1 k1 k当k 1时,所以没在区间故f(x)得单调递增区间是(-1,二上)和(0,址)，单调递减区间是(,0)kkf(x)。如果存在实数a和一 ax +1)，则称函数f(X)20、(本小题满分16分)设f(X)是定义在区间(1,xc)上的函数，其导函数为函数 h(x),其中 h(x)对任意的 x(1,xc)都有 h(x) 0,使得 f(X

33、)= h(x)(x2具有性质P(a)。(1)设函数f(X)=lnx+A1)，其中b为实数。X +1(i)求证：函数f(X)具有性质P(b) ； (ii)求函数f (x)的单调区间。已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x(1), x1 1,P 1 , 若I g(a) -g( p)|1 时，h(x)= 0 恒成立,X (x+1)2x(x+1)2x(x + 1)2函数f(X)具有性质P(b)；bb2(ii)(方法一)设 (x)=x2bx+1 =(x)2+1，申(X)与 f(x)的符号相同。24b2当1 一。,2 cb时，W(X)AO, f(x):0,故此时f (x)在区间(1,咼)上递增;4

34、当b =：t2时，对于X 1，有f(X)0，所以此时f (X)在区间(1,邑)上递增;当b 1，总有申(X)0, f(x):0，故此时f(x)在区间(1,址)上递增;(方法二)当 b x2 -2x+1 =(x -1)20所以f(x) 0，故此时f(x)在区间(1XC)上递增;当b2时，W(x)图像开口向上，对称轴x=b:1，方程W(x)=0的两根为：b + Jb 42b-Jb2-4而 b+Jb2 -4 b-Jb2 -42 , 2当 X迂(1,b +2 4)时，(X) 0，f(x)0，故此时 f (X)在区间(1丿+，2 )上递减;同理得：f(x)在区间b+Jb -4,母)上递增。综上所述，当b

35、2时，f (X)在上递减；f (X)在b+J匸4卞)上递增。(2)(方法一)由题意，得：g(x) =h(x)(x2-2x +1) = h(x)(x-1)2又h(x)对任意的x0,所以对任意的 (1,+)都有g(x)0, g(x)在(1,+)上递增。又 a+P =x1 + X2,aP =(2m1)(x, X2)。X2,1当 m A , m H1 时，a P，且 a -x, =(m 1% +(1-m)X2, P -X2 =(1 -m)x, +(m -1)X2， (0： 召)9-阳)工-啟-1)2(疋1-花尸 0t a *2 或& Ct /? Xj -若055 则/W/W/CXj)/C3),呂9)-

36、g(0)七笛)-吕区)不合题意.h, X. ffJXi+ (1 -1即L；w；爲？解得曲宀产a当髀时，工=0、0Tg(a)-g3)l0,且 0：-巧=ni(3q 无),0-=也1 一 工2),2同理有仆05 0对于任意的(1,母0都成立。所以，当xaI时，g(x) =h(x)(x1)2 0，从而g(x)在区间(1,母)上单调递增。当 m c (0,1)时，有 a =口为 +(1 m)X2 mx- +(m)x x-,a =mx1 +(1 m)X2 mx2 +(1 -m)X2 =X2，得a亡(为，X2)，同理可得P巳捲，)，所以由g(x)的单调性知 g(a)、g( P疋(g(Xi),g(X2)，从

37、而有 I g(a) g(P)| g(Xi) g(X2)|，符合题设。当 m mx2 +(1 -m)X2 = X2，P =(m)x1 +mx2 1”A 及g(x)的单调性知g(P) g(xi) cg(X2)| g(xi) g(X2)|，与题设不符。当mb时，同理可得a X2，进而得| g(a)-g(P)| | g(Xi)-g(X2)|，与题设不符。因此综合、得所求的m的取值范围是(0，1)。待研究的以下问题在求函数的单调区间时涉及的分类讨论问题； 在求函数的极值与最值问题引出分类讨论问题; 在涉及函数的零点时引起的分类讨论问题； 参考资料：导数的应用与分类讨论【例1】 设函数 f (X) =2x3-3 (a+1) x2+6ax+8，其中 aE R.(I) 若f (X)在x=3处取得极值，求常数 a的值；上为增函数，求 a的取值范围.(a+1) x+6a=6 (x-a ) (x-1 ).(n)若 f(X)在(-8,0)解： (I) f (X) =6x2-6/ f (X)在x=