固体物理学：第一章 第三节 倒点阵

1、第一章 晶体的结构及其对称性,1.3 倒点阵,一、点阵傅里叶变换、倒点阵,实空间 - 倒空间,一个物理问题，可以在实空间（坐标空间）描述，也可以在倒空间（动量空间、波矢空间）描述。 量子力学的坐标表象和动量表象。 实空间和倒空间是可以通过傅里叶变换转换的,正点阵：晶体正空间的性质，可以由晶体的点阵来描述。平移矢量描述了所有的结点，而空间密度函数则用数学形式把点阵表示出来了： 将正点阵做傅里叶变换,我们定义倒空间的三个基矢,bi具有长度分之一的量纲，同时满足与正空间的基矢的正交性,有了倒空间的基矢，那么其中的矢量k可以表示为基矢的线性组合： 同时实空间的正格矢Rl: 这里的k1,k2,k3可以不

2、为整数，k矢量是倒空间的任意矢量。而正格矢是离散的，不能任意取。两者的内积：(利用到基矢的正交性,把两者的内积代入前面的傅里叶变换公式,利用Poisson求和公式（其中n,h为整数,这里的h必须为整数，所以其中的大Kh矢量为： 很显然，我们得到的正点阵的傅里叶变换也是多个函数之和。这个和正空间的表达形式非常相似。只不过倒空间，只有当 k=Kh 时候才会非零数值。而在实空间，是在Rl处密度不为零,我们把有Kh表达式所决定的点阵称为正点阵的倒点阵。 把 称为倒点阵的基矢。 由这三个基矢围城的平行六面体称为倒点阵的初基元胞，它们的体积为： 每个倒点阵的初级元胞只含有一个倒结点。 每个晶体结构都有两个

3、点阵：正点阵和倒点阵。倒点阵是正点阵的傅里叶变换,这里的系数都是整数,二 倒点阵的性质,1. 正点阵、倒点阵的基矢相互垂直,类似可以得到其它6个乘积，最后综合得到,另外，假设正点阵和倒点阵的基矢分别用矩阵A和B表示，那么上述的正交性可以写成： 利用伴随矩阵的定律（其中A*是A的伴随矩阵）。而伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置。 所以可以得到B矩阵的形式：A的代数余子式矩阵除以A的行列式，再乘以2pi,同时，正格矢和倒格矢内积满足(n为整数,2.倒点阵元胞体积反比于正点阵元胞体积,由倒格矢求出倒点阵元胞体积,利用矢量计算公式,A B C,3. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵,A为正点阵矩阵，B为倒点阵

4、的矩阵。同时假设C为倒点阵B的倒点阵。利用正交性,B是非奇异矩阵，它的转置和求逆互换得到： A=C,4. 布里渊区 （Brillouin zone,前面我们提到，由倒格矢围成的平行六面体为倒点阵的初基元胞。但一般我们很少用这种取法。 通常我们采用倒点阵的WS元胞。 倒点阵的WS元胞，就是倒点阵的第一布里渊区。 倒点阵的WS元胞取法和正点阵的完全一样。首先要画出倒点阵。然后去一个结点为原点，做它到其最近邻连线的中垂面。所有中垂面围成的体积就是倒点阵的WS元胞，也就是第一布里渊区,XCrySDen,5. 倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性,设g是正点阵的一个点群操作，Rl为正格矢，g Rl也是正格

5、矢，其逆操作对Rl作用后也是正格矢。操作后的R矢量如果满足下面关系，那么说明操作后仍然是正格矢,我们只需要证明同样的操作作用到倒格矢上得到的新的矢量仍然与正格矢正交即可,gKh与正格矢正交，所以g作用倒格矢后仍然是倒格矢。即g也是倒格矢的点群操作。所以正点阵和倒点阵具有相同的宏观对称性,6. 正点阵的一族晶面（h1 h2 h3）垂直于倒格矢Kh，且晶面间距为,对于互质的晶面指数（h1 h2 h3）的晶面，它与坐标轴的交点为,考虑该晶面内的一个矢量,计算该面内矢量与K的点乘,也就是说两者相互垂直。同样考虑另外一个面内矢量， 显然它也与K垂直。因此K必然垂直于该晶面。 所以K的方向就是晶面法线的方向，只要把它和某一个轴上的截距作内积，就可以得到在法线方向的投影，即晶面间距,7.正点阵的周期函数V(r)=V(r+R),可以按倒格矢Kh展开为傅里叶级数,考虑级数,作平移,由于,所以,即V(r)是正点阵的周期函数,对公式 两边乘以 ，然后再正点阵初基元胞内积分,令,其中h,h都是整数， x则是变量，可以非整数,很容易计算得到,其中m为整数,那么体积元,积分得到,所以最后得到傅里叶系数V(K)的形式,即,例子,1.证明fcc点阵和bcc点阵互为倒点阵,fcc的正格矢,按照倒格矢定义,即,这个正是bcc正点阵的基矢。 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵,2. 求立方晶系晶面