第十二讲函数列与函数项级数

1、第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列（一）函数列的收敛与一致收敛 1 逐点收敛函数列，若对，数列都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ，称为的极限函数简记为2 逐点收敛的定义对 ，及 ， ，当 时，恒有3 一致收敛若函数列与函数都定义在区间 I 上，对 ，当 时，对一切恒有，则称函数列在区间 I 上一致收敛于记为 . 4 非一致收敛，对，及，使得 例 12 . 1 证明在逐点收敛，但不一致收敛证明：当时， ，当 时，即极限函数为但 非一致收敛，事实上，取。对，取 ，取 此时，即 5 一致收敛的柯西准则函数列在 I 上一致收敛对 ，当 n

2、 , m N 时，对一切，恒有6 非一致收敛的柯西准则函数列在 I 上非一致收敛，对，及，使得例12 . 2 用柯西准则证明：在上一致收敛； ( 2 )在上非一致收敛证明： ( 1 ）对，取，当 时 对一切 有 即在上一致收敛 ( 2 ）取，对 ，取，取，则有即在上非一致收敛 7 充要条件函数列在 I上一致收敛于 注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷例 12.3 讨论函数列的一致收敛性解： 求极限函数当时，当时，即极限函数为 即（二）极限函数的性质 1 连续性若满足： ( 1 ）对每一个n，在区间 I 上都连续； ( 2 ) ; 则 在 I 上连续，即 注：其逆否命

3、题：若都连续，但极限函数f不连续，则必不一致收敛可用此命题再对例12.1及例 12 . 3 进行判断 2 可积性若满足：（ 1 ）对每一个 n , 在区间上都连续；( 2 ）；则在上可积，且3 可微性若满足： ( 1 ）对每一个 n ，在区间上都连续； ( 2 ）使; ( 3 ）. 则在上可导，且，即 注：以上三个定理的条件仅为充分条件 4 狄尼定理若函数列对每一个 n , 都在上连续，对每一点， 为单调的，且，则在连续的充要条件是证明：充分性显然，下证必要性（反证法）假设由定义，对，及，使得特别地，当取k时，分别存在，及使得 （ * ) 并且不妨设 由已知，对固定的x是单调的，不妨设为单调递

4、增且，即于是式（ * )可写为 （ * )由于为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为，即.因 ，对上述的，当 时恒有.特别地，有 （* )当时，由单调性及式（ * )有 注意到 及的连续性，令取极限得 此与（* )式矛盾，即必一致收敛于f. 二、函数项级数（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛 1 逐点收敛为定义在区间 I上的函数列，称为函数项级数若对，级数都收敛则称函数项级数在区间 I 上逐点收敛，称为和函数称 为部分和函数，为第n项余项函数 逐点收敛于 2 一致收敛若，则称函数项级数在区间 I 上一致收敛于和函数一致收敛于3 一致收敛柯西准则函数项级数在区间 I 上一致收敛对，当时，对任意的自

5、然数p，及对一切，恒有 注：由此可得到函数项级数在区间 I 上一致收敛的必要条件：一般项一致收敛于零逆否命题：若一般项不致收敛于零则函数项级数在区间 I 上必不一函数项级数收敛。4 非一致收敛柯西准则函数项级数在区间 I 上非一致收敛对及 和 ，使得例 12 . 4 讨论函数项级数在下列区间上的一致收敛性： ; . 解法 l （用定义）：显然当时， 则 . 所以，函数项级数在 一致收敛；在 上非一致收敛解法 2 （用柯西准则）： 因为，对，当时，于是对任意的自然数 p ，有 由柯西准则，在 上一致收敛 因 ，所以，当时，取对 ，取 ，取，则由柯西准则知，在上非一致收敛（二）函数项级数一致收敛判

6、别法 1 . M 判别法若，而收敛，则在区间 I 上一致收敛，且绝对收敛 2 阿贝尔判别法若满足： ( l ）在区间 I 上一致收敛； ( 2 ）对固定的单调，且一致有界：即存在常数 M ，使，则在 I 一上一致收敛 3 狄利克雷判别法若满足： ( 1 ) ; ( 2 ) 单调且在I上一致收敛于零，则在 I 上一致收敛例 12 . 5 讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性：( 1 ） ; ( 2 ）解： ( 1 ）因 ，而收敛，由 M 判别法，一致收敛( 2 ）记，则收敛，从而关于 一致收敛，对固定单调递增且有界：，对 由阿贝尔判别法知，一致收敛（三）和函数的性质 1 连续性若满足： ( 1 ）对每一个在区间 I 上连续； ( 2 ）函数项级数卜致收敛的，则和函数在 I 上连续，即 .注：逆否命题：若都连续，而和函数 f 不连续，则必不一致收敛2 可积性 条件同上，则在上可积，且3 可微性 满足： ( l ）对每一个在区间 I 上连续； ( 2 ）存在，使收敛； ( 3 ）在 I 上一致收敛则 可导，且 注：以上条件仅为充分条件 4 狄尼