电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)全套完整版要点

1、电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵 )( 第二版 )全套第 一章题解1-1 已 知 三 个 矢 量 分 别 为aex 2ey3ez ；b 3exey2ez ； c2exez 。试 求 | a |, | b |, | c | ； 单位 矢 量 e a , eb , e c； a b ； a b ； ( ab ) c 及( a c ) b ； ( ac ) b 及 ( a b ) c 。解 aax2ay2az212223 214bbx2by2bz232122214cc x2c y2c z222021 25eaaa1ex 2ey3eza1414ebbb13exey2ezb1414eccc12exez

2、c55a b ax bxay byazbz3 2 6 1exeyezexeyezabaxayaz1237ex 11ey5ezbxbybz312exeyezabc711511ex3ey22ez2011exexexexey ez因a c axayaz1232ex 5ey 4ezc xc yc z201exeyez则a cb2546ex8ey13ez312a c b2 35 1 13 2 15a bc7 205119 。1-2 已 知 z 0平 面内 的 位置 矢量 a 与 x 轴 的夹 角为 ，位置矢 量 b 与 x 轴 的夹 角为 ，试 证cos()coscossinsin证 明 由 于两 矢量

3、 位于 z0 平面 内， 因 此均 为二 维矢 量，它们可 以分 别表 示 为aexa coseya sinbexb coseyb sin已知 a ba b cos，求得cosa b coscosa b sin sina b即cos()cos cossin sin1-3已 知 空 间 三 角 形 的 顶 点 坐 标 为 p1 (0, 1,2) ，p2 (4, 1,3) 及 p3 (6,2,5) 。试 问： 该 三角 形是 否是 直角 三角形； 该 三角 形 的面 积是 多少 ？解由题 意知， 三 角形三个 顶点的 位置 矢量 分别 为p1ey2ez ；p24exey3ez ；p36ex2ey5

4、ez那么， 由顶 点 p1 指向 p2 的 边 矢量 为p2p14exez同理，由 顶点 p 2 指 向 p 3 的 边矢 量由 顶点 p 3 指 向 p1 的 边2矢量分 别为p3p22exey8ezp1p36exey7ez因两个 边矢 量 (p2p1 ) ( p3p2 )0 ，意 味 该两 个边 矢量 相互垂直 ，所 以该 三 角形 是直 角三 角形 。因p2p1421217p3p22 2128269 ，所以三 角形 的面 积 为s1 p2p1 p3p20.5117321-4 已 知矢 量 a ex yey x ， 两点 p1 及 p 2 的 坐标 位置 分别为 p1 (2, 1,1) 及

5、 p2 (8,2, 1) 。若 取 p 1及 p 2 之 间的 抛物 线x 2y2或直 线1 2 为积 分路 径， 试求 线 积分p1p pp2a dl 。解 积 分 路 线 为 抛 物 线 。 已 知 抛 物 线 方 程 为 x2y 2 ,d x4 y d y ，则pppp2 d y 2 y31111114p2a d ly d x x d y4y 2 d y 2 y2 d y6 yp2p2p22 积 分路 线为 直线 。 因 p1 , p2 两 点位 于 z1 平 面内，过 p1 , p2 两 点的 直线 方程 为 y 121 x2 ， 即 6y x 4 ，82d x6 d y ，则pp11

6、14 y14。a d l6y d y 6 y 4 d y 12 y22p2p21-5 设 标量xy 2yz3 ，矢量 a 2ex2eyez ，试求标 量函数 在点 (2,1, 1) 处沿 矢量 a 的方 向上 的方 向导 数 。解已知 梯度exeyyezex y2ey (2 xy z2 ) ez3 yz2xz那么， 在点 (2,1, 1) 处的梯 度为3ex3ey3ez因此，标 量 函数在点 (2,1, 1) 处 沿矢 量 a 的 方向 上的 方向导数 为aex3ey3ez2ex2eyez26311-6试 证式 （ 1-5-11 ）， 式（ 1-5-12 ）及 式（ 1-5-13 ）。证 明式

7、 （ 1-5-11 ） 为， 该式 左边 为exeyezxyzexxxeyyyezzzexxeyyezzexxeyyezz即，。根 据上 述 复合 函数 求导 法则同 样 可证 式（ 1-5-12 ）和式（ 1-5-13 ）。1-7已 知 标量 函数sinxsiny e z ，试 求该 标量 函2 3数 在点 p(1,2,3) 处 的 最大 变化 率及 其方 向 。解 标量 函 数在 某点 的 最 大 变化 率即 是 函 数 在该 点的 梯度值。 已知 标量 函 数 的 梯度 为exeyezxyz那么excos x siny e zey3sinx cos y e z22323ez sinxsi

8、ny e z234将 点 p(1,2,3)的坐 标代 入， 得333pey 6eez 2e。那么， 在 p 点 的最 大变 化率 为peye 3ez3 e 3e 3227626p 点最 大变 化率 方向 的方 向余 弦为cos0 ； cos；cos272227271-8 若 标量 函数 为x 22 y23z2xy 3x 2 y 6z试求在 p(1, 2,1) 点 处的 梯度 。解 已知 梯度exxeyez， 将 标量 函数 代yz入得ex 2x y 3 ey 4y x 2 ez 6z 6再 将 p 点的坐 标代 入，求 得标量 函 数在 p 点处 的梯 度为p3ex9ey1-9 试 证式 （

9、1-6-11 ） 及 式（ 1-6-12 ）。证 明 式 （ 1-6-11 ） 为ca ca ，该 式左 边为cacaxcaycazcaxayazc axyzxyz即cac a式 （ 1-6-12 ）为aa a，该 式左 边为aaxayzazxyaxaxayayazazxyzxyz5aa；即aaa1-10试求 距 离 | r1r2 | 在 直 角坐 标 、 圆柱 坐 标及 圆 球 坐标中的 表示 式。解在直 角坐标 系 中r1r2x2x12y2y12z2z12在圆柱 坐标 系中 ，已 知 xr cos， yr sin， zz ，因 此r1r2r2 cos2 r1 cos2r2 sinr1 si

10、n2z2z12121r22r122r2 r1 cos21z2z12在球坐 标系 中，已 知 xr sincos, yr sinsin, zr cos,因此r1 r2r2 sin2 cos 2r1 sin1 cos2r2 sinsinr1 sin1 sin2r221221cos 2 r1 cos 1r22r122r2r1 sin 2 sin1 cos21cos 2 cos11-11已 知 两 个 位 置 矢 量 r1 及 r2 的 终 点 坐 标 分 别 为(r1 , 1 , 1 ) 及 (r2 , 2 , 2 ) ，试 证 r1 与 r 2 之 间 的夹 角为cossin1 sin 2 cos

11、( 12 )cos 1 cos 2证 明根 据题 意， 两个位 置矢 量在 直角 坐标 系中可表 示为r1ex r1 sin 1 cos 1eyr1 sin1 sin 1ezr1 cos 1r 2ex r2 sin 2 cos 2ey r2sin2 sin 2ezr2 cos 2已 知两 个矢 量 的标 积为 r1r2r1r2 cos，这 里 为两 个 矢量 的夹角。 因此 夹角 为cosr1r2r1r2式中6r1 r2r1r2 (sin 1 cos 1 sin 2 cos 2sin 1 sin 1 sin 2 sin 2cos 1 cos 2 )r1 r2r1 r2因此，cossin1sin

12、2 (cos1cos 2sin 1 sin2 ) cos 1 cos 2sin1sin2 cos(12 )cos 1 cos21-12 试 求 分 别 满 足 方 程 式f1 (r )r0 及f 2 ( r )r 0 的 函数 f1 (r ) 及 f 2 (r ) 。解在球 坐标系 中 ，为了满 足f 1 r rf1 rr f1 rrf1r3 f1 r0rr即要求 r d f1 r3 f1 r0d f1 r3d r ，求 得d rf1 rrlnf 1 r3ln rln c即f1cr3r在 球坐 标系 中 ，为 了满 足f 2 r rf2 rrf2 rr0由于f2 rr 0 ，r 0 ，即 上式

13、 恒 为零 。 故 f 2 r 可以是 r的 任意 函数 。1-13试证 式（ 1-7-11 ） 及式 （ 1-7-12 ）。证 明 式（ 1-7-11 ）为ca ca （ c 为常 数）令 a ax exayeyazez ， cacax ex cayeycazez ，则exeyezexeyezcaxyzcyzcaxcaxcaycazaxayaz 式（ 1-7-12 ） 为aaa7令 a ax ex ayeyazez ，aax exayeyazez ，则exeyezayzazayexxyzaxayazxazzax eyayaxezxyazzay exazax eyxayax ezyxzyaza

14、yexazaxeyayaxezyzxzxyaa若将式 （ 1-7-12 ） 的 右边 展开 ，也 可证 明 。1-14 试 证r 0 ，r0 及r0。rr 3证 明 已 知在 球坐 标系中 ，矢 量 a 的旋 度为ereer 2 sinr sinrararrar sina对于 矢量 r ，因 arr ， a 0 ， a 0 ，代 入 上式 ，且因 r 与 角度 ， 无关 ， 那么 ，由 上式 获知r0 。对于 矢量 r ， 因 ar1， a0 ， a0 ， 显然r0 。rr对于 矢量 r3 ，因 ar12 ， a0 ， a0 ，同 理获 知rrr0。r 31-15若 c 为 常数 ， a 及

15、k 为常 矢量 ，试 证 ：8eck rckeck r ；( aeck r ) ck aeck r ；( aeck r ) ck aeck r 。证 明 证 明eck rc keck r 。利用公 式ff，则eck reck rck rceck rk r而k rkx x k y y kz zex kxeyk yezkz k求得eck rc keck r 。 证 明aeck rck aeck r 。利用公 式aaa，则aeck raeck reck ra aeck r再利用 的 结果 ， 则aeck rck aeck r 证 明aeck rck aeck r 。利用公 式aaa ，则aeck r

16、eck raeck raeck ra再利用 的 结果 ， 则aeck rck aeck r 。1-16试证2 e krk 2 e kr， 式中 k 为 常数 。rr证 明已 知在 球坐 标系 中21r 2112rrsinr 2r 2 sinr 2 sin22则2 e kr1r2e kr1r21ekrkkrrr2rrrr2r2err91re krkre kr1k e kr1krk e krk2 e krr 2r 2r即2 e krk 2 e krrr1-17 试 证 (e ) e ( e)e1| e |22证 明利 用公 式a babbaabba令上式 中的 abe ， 则22 ee 2ee 2

17、 ee 2e ee将上式 整理 后， 即 得eeee12。e21-18已知 矢量 场 f 的 散度fq (r ) ， 旋度f 0 ，试求该 矢量 场。解根据 亥姆 霍兹 定理 ， f r ra r ， 其中r1vf r d v ； a r1vf rdv4rr4rr当f 0 时 ， 则 a r0 ， 即 f r r。 那 么 因fqr，求 得 r1qrd vq4v rr4r则f r r4qerr 21-19已知 某 点在 圆柱 坐标 系中 的位 置为 4, 2, 3 ， 试3求该点 在相 应的 直 角坐 标系 及圆 球坐 标系 中的 位置 。解 已知 直角 坐标 系和 圆柱 坐 标系 坐标 变量

18、 之间 的转 换关系为10xr cos ， yr sin， zz因此， 该点 在直 角 坐标 下的 位置 为x4 cos 22 ; y4 sin22 3 ; z = 333同 样， 根 据球 坐标 系和 直角 坐标 系坐 标 变量 之间 的转换关 系，rx2y2z2 ；arctanx2y 2；arctan yzx可得该 点在 球坐 标 下的 位置 为r 5 ；arctan412053 ；31-20已知 直 角坐 标 系 中的 矢量 aaexbey cez ，式 中a, b, c 均 为常 数 ， a 是 常矢 量 吗？ 试求 该矢 量在 圆柱 坐标系及 圆球 坐标 系 中的 表示 式。解 由

19、于 a 的 大 小及 方 向 均 与 空 间 坐 标 无 关， 故 是 常 矢量。已 知直 角 坐标 系和 圆柱 坐标 系坐 标变 量 之间 的转 换关系为rx 2y 2；arctan y ；zzx求得ra 2b2；arctan b ；zcasinb； cosaa 2b 2b 2a 2又 知矢 量 a 在 直角 坐标 系 和圆 柱坐 标系 中各 个坐 标分量之 间的 转换 关 系为arcossin0axasincos0ayaz001az将上述 结果 代 入， 求得11ab0ara2b2a2b2aa2b2aba0b0a2b2a2azb2cc001即该矢 量在 圆柱 坐 标下 的表 达式 为aer

20、a 2b 2ez c直 角坐 标 系和 球坐 标系 的坐 标变 量之 间 的转 换关 系为rx2y2z2 ；x2y 2arctan yarctanz；x由此求 得r2b22；a 2b2bacarctan；arctanca矢 量 a 在 直角 坐标 系和 球 坐标 系中 各个 坐标 分量 之间的转 换关 系为arsincossinsincosaxacoscoscossinsinayasincos0az求得arsincossinsincosaa2b2c2acoscoscossinsinb0asincos0c0即该矢 量在 球坐 标 下的 表达 式为a era2b2c2 。1-21已 知圆 柱 坐

21、标系 中的 矢 量 a aerbe cez ， 式 中a, b, c 均为 常数 ，a 是常 矢 量吗 ？试 求a 及a 以及 a在相应 的直 角坐 标 系及 圆球 坐标 系中 的表 示式 。解 因为 虽然 a, b, c 均 为常 数， 但是 单位 矢量 er和 e 均为变矢 ，所 以 a 不是 常 矢量 。12已 知圆 柱坐 标 系中 ，矢 量 a 的散 度为11aazararzr rr将 a aerbe cez 代 入， 得1aarar 0 0rr矢 量 a 的旋度 为erezereezrerrrb ezazrzrrarra azarbc已 知直 角 坐标 系和 圆柱 坐标 系坐 标变

22、量 之间 的转 换关系为x r cos ;yr sin;zzcosxx ;sinx 2yyx 2y2ay2a又知矢 量 a 在 直角 坐标 系和 圆 柱坐 标系 中各 个坐 标分量之间的 转换 关系 为axcossin0araysincos0aaz001az将上述 接结 果代 入 ，得xy0xb yaxaaaaayyx0bybaaxazca001c即该矢 量在 直角 坐 标下 的表 达式 为axb y exyb x ey cez ，其 中 x2y 2a2 。aa矢 量 a 在 圆柱 坐标 系和 球 坐标 系中 各个坐 标 分量 之间的转 换关 系13arsin0cosaracos0sinaa0

23、10az以及 sina ， cosc ， 求得rraca2c20arrrarracab000rarcbb0 10即该矢 量在 球坐 标 下的 表达 式为 ar erbe 。1-22已知圆球 坐 标系 中 矢量 a aerbece ，式中 a, b,c 均为 常数 ， a 是常 矢 量吗 ？试 求a 及a ，以 及 a在直角 坐标 系及 圆 柱坐 标系 中的 表示 式。解因为 虽然 a, b, c 均 为 常数 ，但 是单 位矢 量 er ， e ， e均为变 矢， 所以 a 不 是 常矢 量 。在 球坐 标系 中 ，矢 量 a 的散 度为a1r 2 ar1sina1ar 2rr sinr si

24、n将矢量 a 的 各 个分 量代 入， 求得a2ab cot 。rr矢 量 a 的旋度 为ereer 2 sinr sinrararrar sinaereer 2 sinr sinrrb erarbr sin c14利 用矢 量 a 在 直角 坐标 系和 球坐 标系 中 各个 坐标 分量之间 的转 换关 系axsincoscoscossinaraysinsincossincosaazcossin0axsinx2y2x2y2cosy2x 2y2z2ax2，求 得以及，yzzsincosx 2y2x2y 2z2a该矢量 在直 角坐 标 下的 表达 式为abxzcyexybyzcxeyxy 2x2a

25、 x 2y 2x2a x 2y 2y 2b x2y 2ezza利 用矢 量 a 在 圆柱 坐标 系 和球 坐标 系中 各个 坐标 分量 之间 的转 换 关系arsincos0arrz0arb zaaaa001a001bcazcossin0azr0czbaara求得其 在圆 柱坐 标 下的 表达 式为arbz ercezbar ez 。a1-23 若 标 量 函 数1 (x, y, z)xy 2 z ，2 ( x, z)rz sin ，sin，试求21 ，2及2。3 ( r, , )223r222解211102xz02xz12y2z2x15211222r222rrr 22z2r1rz sin1r

26、z sin0rrr 221r 23131233rrsinr 2r 2 sinr 2 sin 221r 22sin1sincos0r 2rr 3r 2 sinr 22sincos2sin 21r 4r 4 sinr 4 sin1-24若a(x, y, z)xy2 z3exx3 zeyx2 y 2eza(r , z)er r 2 cosez r 3 sina(r ,)er r sine 1 sine12cosrr试求a ，a 及2 a 。解 aaxayazy 2 z30 0 y2 z3 ；yxzexeyezexeyezaxyzxyzaxayazxy2 z3x3 z x2 y22 x2 yx3ex 3xy2 z22xy2ey3x2 z2xyz3 ez ；2 a ex2 axey2 ayez2 az2xz36xy 2z ex6xzey2 y22 x2 ez ；a1rar1aaz13cos03r cosrrzrrrr16ereezereezrrrrazrzrarraazr 2 cos0r 2 siner r 2 cose2r sinez r 2 sinrrer r cos2e r sinez r sin2a