普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,扫描版,含答案)

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）第 i 卷（选择题共50 分）一、选择题：本题共10 小题，每小题 5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1、若集合 ai, i 2 ,i 3 ,i 4（ i是虚数单位）， b1, 1，则 a b 等于111,1d.a.b.c.2、下列函数为奇函数的是a. yx b. ysin xc. ycosx d. y exe xx2y21e :f1 , f2 ，点 p 在双曲线 e 上，且 pf13 ，3、若双曲线916的左、右焦点分别为则 pf2 等于a.11b.9c.5d.34、为了解某社区居民的家庭

2、年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x（万8.28.610.011.311.9元）支出 y（万6.27.58.08.59.8元）?根据上表可得回归直线方程bxybx，据此估计， 该社区一户ya，其中 b 0.76, a收入为 15 万元家庭年支出为a.11.4 万元b.11.8 万元c.12.0 万元d.12.2 万元x2 y0,xy0,5、若变量 x, y满足约束条件x2 y2 0,则 z 2xy的最小值等于53a. 2b. 2c.2d.26、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为a.2b.1c.0d.1- 1 -7、若 l , m是两

3、条不同的直线，m垂直于平面，则“ lm”是“ l / /”的a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件8、若 a,b是函数 fxx2pxq p0,q 0的两个不同的零点，且a, b, 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq 的值等于a.6b.7c.8d.9ab ac , ab1, actabc9 、 已 知t， 若 点p 是所 在 平 面 内 一 点 ， 且ab4acapabac，则 pbpc的最大值等于a.13b.15c.19d.2110、若定义在 r上的函数 fx满足 f 01 ，其导函数f x满足 fx k 1 ，则下列

4、结论中一定错误的是f1111f11f1kkkfk 1k 1k 1k 1k 1a.b.kc.d.第 ii 卷（非选择题共100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分 .把答案填在答题卡的相应位置 .x252的展开式中， x的系数等于.（用数字作答）11、12、若锐角abc 的面积为 103 ，且 ab5, ac8，则 bc 等于.13、如图，点 a 的坐标为1,0，点 c 的坐标为2,4f x x2，若在矩形 abcd，函数内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于.f xx6, x2,3loga x, x 2,（ a0且 a114、若函数）的值域是4,，则实数 a的取值范

5、围是.15、一个二元码是由0 和 1x1 x2xnnn *组成的数字串，其中xk k1,2,n位码元，二元码是通信中常用的码，但在通称为第 k信过程中有时会发生码元错误（即码元由0 变为 1，或者由1 变为 0 ）- 2 -x4x5x6x70,x2x3x6x70,已知某种二元码x1x2x7x1x3x5x70,的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为： 00 0,011,1 0 1,1 1 0其中运算定义为： 00=0， 01=1,10=1,1 1=0现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于.三、解答题 :大小题共6 小题

6、，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分13 分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1 个进行尝试 .若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为x，求 x 的分布列和数学期望 .17.（本小题满分13 分）如图，在几何体 abcde中，四边形 abcd是矩形， ab 丄平面 beg，be丄 ec，ab

7、=be=ec=2，g， f 分别是线段 be， dc 的中点 .(1)求证： gf/ 平面 ade(2)求平面 aef与平面 bec所成锐二面角的余弦值.18. (本小题满分 13 分 )2+ y2x22= 1(a b 0)(0,2）2已知椭圆 e： ab过点2 .，且离心率为 e=(1)求椭圆 e 的方程；(-9 ,0)(2)设直线 l；x=my-1（ m r）交椭圆 e 于 a， b 两点，判断点 g4与以线段ab 为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分 13 分）已知函数 f( x) 的图像是由函数g(x) = cos x 的图像经如下变换得到：先将g( x) 图像上所有点

8、- 3 -的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移个单位长度 .(1)求函数 f( x) 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于 x 的方程 f( x) +g( x) = m 在 0.2 内有两个不同的解， 1)求实数 m 的取值范围；2)证明： cos( - )=-120.（本小题满分14 分）已知函数 f( x) = ln(1+ x) ， g（ x） =kx（ k r）(1)证明：当 x 0时， f( x) x ；(2)证明：当 k 0 ,使得对任意的 x（ 0， t ）恒有 f( x) g( x)；(3)确定 k 的所以可能取值，使得存在t 0 ，对

9、任意的 x（ 0， t ），恒有 | f( x) - g ( x) | 0故|gh| |ab|(- 9 ,0)所以2 ，故 g4在以 ab 为直径的圆外.解法二： (1) 同解法一 .ga = (x1 +99(2)设点 a( x1 y1),b( x2 , y 2), y1),gb = ( x2+, y2 ).，则44y1+ y22m, y1y 2=3=2 + 2，由所以m2 + 2m- 7 -从而= (m2+1) y1 y 2 +5m( y1+ y 2 ) +25=5m2-3(m 2 +1)+25=17m2 + 2 04162(m 2 + 2)m 2 + 21616(m 2 + 2).(- 9

10、 ,0)故点 g4在以 ab 为直径的圆外 .19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想 . 满分 13 分 .解法一： (1) 将 g (x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变）得到y = 2cos x 的图像，再将 y = 2cos x 的图像向右平移y = 2cos(x - p )个单位长度后得到2 的图像，故 f( x) = 2sin x从而函数 f( x) = 2sin x 图像的对称轴方程为f( x) + g(

11、x) = 2sin x + cos x = 5( 2sin x + 1cos x)(2)1)55= 5 sin( x +j)(其中 sin j=12,cos j =)55sin( x +jmm| 0时， f ( x) 0时， f( x) g(0) = 0故对任意正实数x0 均满足题意 .- 9 -(3)- 10 -(3)- 11 -21.选修 4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分 .解：31123a12242212所以22(2)由 ac=b得 ( a- 1 a)c = a- 1b ,3113ca 1b= 21222=20123故1选修 4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想 .满分 7 分.解：(2)依题意，圆心c 到直线 l 的距离等于2，即|1 - (- 2) + m |= 2，解得 m=-3? 2 22选修 4-5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能