(最新整理)二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有答案)

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2、。 . 二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形,有以下常风的基本形式（1）抛物线上的点能否构成平行四边形(2）抛物线上的点能否构成矩形,菱形,正方形特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法,数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。二、例题精析【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、（2013河南)如图,抛物线与直线交于两点,其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点,交于点.（1）求抛物线的解析式；（2)若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四

3、边形是平行四边形？请说明理由。【解答】(1）直线经过点, 抛物线经过点, 抛物线的解析式为（2)点的横坐标为且在抛物线上 ，当时，以为顶点的四边形是平行四边形 当时,，解得：即当或时,四边形是平行四边形 当时，解得：（舍去)即当时，四边形是平行四边形练习1：（2013盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点a(1，0）、b（3,0)，与y轴相交于点c，点p为线段ob上的动点（不与o、b重合）,过点p垂直于x轴的直线与抛物线及线段bc分别交于点e、f，点d在y轴正半轴上，od=2，连接de、of（1）求抛物线的解析式；（2)当四边形odef是平行四边形时，求点p的坐标;考点:二次函数

4、综合题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）平行四边形的对边相等，因此ef=od=2，据此列方程求出点p的坐标；解答：解:（1）点a（1,0）、b（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，解得a=1,b=2,抛物线的解析式为：y=x2+2x+3（2）在抛物线解析式y=x2+2x+3中,令x=0，得y=3,c（0,3）设直线bc的解析式为y=kx+b，将b（3，0），c（0，3）坐标代入得：,解得k=1，b=3，y=x+3设e点坐标为（x，x2+2x+3)，则p（x，0），f（x,x+3），ef=yeyf=x2+2x+3(x+3）=x2+3x四边形odef是平行四边形，ef=od=

5、2，x2+3x=2,即x23x+2=0，解得x=1或x=2，p点坐标为（1，0）或（2，0）点评:本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质,只要求出其对称中心的坐标,即可利用待定系数法求出所求直线的解析式练习2:已知抛物线的顶点为a(2，1）,且经过原点o，与x轴的另一交点为b。(1)求抛物线的解析式；(2)若点c在抛物线的对称轴上,点d在抛物线上,且以o、c、d、b四点为顶点的四边形为平行四边形，求d点的坐标；aabbooxxyy图图(3)连接oa、ab，如图，在x轴下方

6、的抛物线上是否存在点p，使得obp与oab相似？若存在，求出p点的坐标；若不存在，说明理由.练习3：（本题满分12分）如图，抛物线与轴交于点c，与轴交于a、b两点，（1）求点b的坐标；(2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3)设点e在轴上，点f在抛物线上，如果a、c、e、f构成平行四边形，请写出点e的坐标（不必书写计算过程)caboyx答案：24、解：（1） c （0，3) 1分又tanoca=a(1，0）1分又sabc=6ab=4 1分b（，0）1分（2）把a（1，0）、b(,0）代入得： 1分，2分 顶点坐标（，）1分（3）ac为平行四边形的一边时 e1析(，0） 1分 e2(，0）1分 e

7、3（,0)1分ac为平行四边形的对角线时 e4(3,0）1分练习4:（2011南宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点a（3，0)、b（0,3），点p是直线ab上的动点，过点p作x轴的垂线交抛物线于点m，设点p的横坐标为t（1）分别求出直线ab和这条抛物线的解析式（2）若点p在第四象限,连接am、bm，当线段pm最长时，求abm的面积(3）是否存在这样的点p,使得以点p、m、b、o为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点p的横坐标;若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式；三角形的面

8、积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型分析：(1）分别利用待定系数法求两函数的解析式:把a（3，0)b（0，3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可；(2）设点p的坐标是（t,t3），则m（t，t22t3），用p点的纵坐标减去m的纵坐标得到pm的长，即pm=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=时,pm最长为=，再利用三角形的面积公式利用sabm=sbpm+sapm计算即可；（3)由pmob，根据平行四边形的判定得到当pm=ob时，点p、m、b、o为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当p在第四象限：pm=ob=3

9、，pm最长时只有，所以不可能；当p在第一象限：pm=ob=3,（t22t3）（t3）=3;当p在第三象限：pm=ob=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值解答：解：（1）把a(3，0）b（0，3）代入y=x2+mx+n,得解得，所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线ab的解析式是y=kx+b，把a（3，0)b（0，3）代入y=kx+b,得，解得，所以直线ab的解析式是y=x3；（2）设点p的坐标是（t，t3），则m（t，t22t3）,因为p在第四象限,所以pm=（t3）（t22t3）=t2+3t,当t=时，二次函数的最大值，即pm最长值为=，则sabm=sbpm+sa

10、pm=（3）存在，理由如下：pmob,当pm=ob时，点p、m、b、o为顶点的四边形为平行四边形，当p在第四象限:pm=ob=3，pm最长时只有，所以不可能有pm=3当p在第一象限：pm=ob=3,（t22t3）（t3）=3,解得t1=，t2=(舍去）,所以p点的横坐标是；当p在第三象限：pm=ob=3，t23t=3，解得t1=（舍去）,t2=,所以p点的横坐标是所以p点的横坐标是或【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】三、形成提升训练(下面两题难度较大）1、(2007义乌市）如图，抛物线与x轴交a、b两点(a点在b点左侧)，直线与抛物线交于a、c两点，其中c点的横坐标为2（1） 求a、b

11、 两点的坐标及直线ac的函数表达式；（2） p是线段ac上的一个动点,过p点作y轴的平行线交抛物线于e点，求线段pe长度的最大值;（3）点g是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点f，使a、 c、f、g这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的f点坐标；如果不存在，请说明理由 a2、如图，抛物线经过三点。(1）求抛物线的解析式；(2）在抛物线的对称轴上有一点p，使pa+pc的值最小，求点p的坐标；（3）点m为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点n，使以a,c，m,n四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点n的坐标;若不存在,请说明理由.xyaocb（第26题图）解析：解

12、：（1）设抛物线的解析式为 ， xyaocb（第26题图）pnmh 根据题意,得，解得抛物线的解析式为： (3分)（2）由题意知，点a关于抛物线对称轴的对称点为点b，连接bc交抛物线的对称轴于点p，则p点 即为所求。设直线bc的解析式为，由题意，得解得 直线bc的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是，当时，点p的坐标是。 (7分）（3）存在 (8分）(i)当存在的点n在x轴的下方时,如图所示，四边形acnm是平行四边形，cnx轴，点c与点n关于对称轴x=2对称,c点的坐标为,点n的坐标为 （11分）（ii）当存在的点在x轴上方时,如图所示,作轴于点h，四边形是平行四边形，,rtcao rt,。点c的坐标为,即n点的纵坐标为，即解得点的坐标为和.综上所述,满足题目条件的点n共有三个，分别为， (13分）3、（2007河南）如图,对称轴为直线的抛物线经过点a(6,0)和b（0，4）（1)求抛物线解析式及顶点坐标;（2）设点e(，）是抛物线上一动点，且位于第四象限