(最新整理)二次函数与四边形的综合

1、(完整)二次函数与四边形的综合(完整)二次函数与四边形的综合 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)二次函数与四边形的综合）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整)二次函数与四边形的综合的全部内容。红河谷小区a幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 电话：1

2、361969919112二次函数的综合应用一、典例精析考点一：二次函数与等腰三角形、直角三角形1(2010鄂州）如图，在直角坐标系中,a（-1，0），b(0,2），一动点p沿过b点且垂直于ab的射线bm运动，p点的运动速度为每秒1个单位长度,射线bm与x轴交与点c（1）求点c的坐标（2）求过点a、b、c三点的抛物线的解析式（3）若p点开始运动时，q点也同时从c出发，以p点相同的速度沿x轴负方向向点a运动,t秒后,以p、q、c为顶点的三角形为等腰三角形(点p到点c时停止运动，点q也同时停止运动）求t的值（4）在(2）(3）的条件下，当cq=cp时，求直线op与抛物线的交点坐标解：(1）点c的坐标

3、是(4，0）；（2)y= x2+x+2（3)设p、q的运动时间为t秒，则bp=t,cq=t以p、q、c为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论若cq=pc，如图所示，则pc= cq=bp=t有2t=bc=，t=若pq=qc，如图所示，过点q作dqbc交cb于点d，则有cd=pd由abcqdc，可得出pd=cd=,，解得t=若pq=pc,如图所示，过点p作peac交ac于点e,则ec=qe=pc,t=（t),解得t=（4）当cq=pc时，由（3）知t=,点p的坐标是（2,1）,直线op的解析式是：y=x,因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1，直线op与抛物线的交点坐标为

4、（1+，）和（1，）2、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，abc是直角三角形,acb=90，ac=bc，oa=1,oc=4，抛物线y=x2+bx+c经过a，b两点,抛物线的顶点为d（1)求b,c的值；（2）点e是直角三角形abc斜边ab上一动点（点a、b除外),过点e作x轴的垂线交抛物线于点f,当线段ef的长度最大时，求点e的坐标;（3）在（2）的条件下：求以点e、b、f、d为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点p,使efp是以ef为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点p的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由已知得:a（1，0）,b（4，5）,二次函数y=x2+bx+c的图象

5、经过点a(1，0),b（4,5），&1b+c=0&16+4b+c=5，解得：b=2，c=3;（2）如图：直线ab经过点a（1，0），b（4，5），直线ab的解析式为：y=x+1，二次函数y=x22x3，设点e（t，t+1)，则f（t,t22t3），ef=(t+1）（t22t3）=(t32）2+254，当t=32时，ef的最大值为254，点e的坐标为(32，52）；(3）如图：顺次连接点e、b、f、d得四边形ebfd可求出点f的坐标（32,154）,点d的坐标为（1，4）s四边形ebfd=sbef+sdef=12254(432）+12254（321)=758；如图:）过点e作aef交抛物线于点p

6、,设点p（m，m22m3)则有：m22m2=52，解得：m1=2262，m2=2+262，p1（2262,52），p2(2+262，52），）过点f作bef交抛物线于p3，设p3（n，n22n3）则有：n22n2=154，解得：n1=12，n2=32（与点f重合，舍去），p3（12，154），综上所述:所有点p的坐标：p1（2262，52），p2（2+262，52)，p3（12，154）能使efp组成以ef为直角边的直角三角形考点一:二次函数与四边形3。已知抛物线与轴的一个交点为a（1,0)，与y轴的正半轴交于点c 直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点b的坐标； 当点c在以ab为直

7、径的p上时，求抛物线的解析式； 坐标平面内是否存在点,使得以点m和中抛物线上的三点a、b、c为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由4、如图，rtabo的两直角边oa、ob分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，o为坐标原点，a、b两点的坐标分别为（-3，0)、(0,4）,抛物线经过b点,且顶点在直线上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若dce是由abo沿x轴向右平移得到的，当四边形abcd是菱形时，试判断点c和点d是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若m点是cd所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点m作mn平行于y轴交cd于点n设点m的横坐标为t，mn的长度为

8、求与t之间的函数关系式，并求取最大值时,点m的坐标解：(1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 所求函数关系式为： （2)在rtabo中,oa=3,ob=4,四边形abcd是菱形bc=cd=da=ab=5 （5分）c、d两点的坐标分别是（5，4）、（2，0） （6分)当时， 当时，点c和点d在所求抛物线上（7分)（3）设直线c:，则解得: （9分）mny轴，m点的横坐标为t，n点的横坐标也为t则， ，（10分）， 当时，此时点m的坐标为(，)（12分)5、(2011成都）如图，在平面直角坐标系xoy中，abc的a、b两个顶点在x轴上，顶点c在y轴的负半轴上已知|oa|：ob=1：5，ob

9、=oc，abc的面积sabc=15，抛物线y=ax2+bx+c（a0)经过a、b、c三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设e是y轴右侧抛物线上异于点b的一个动点，过点e作x轴的平行线交抛物线于另一点f，过点f作fg垂直于x轴于点g，再过点e作eh垂直于x轴于点h，得到矩形efgh则在点e的运动过程中，当矩形efgh为正方形时，求出该正方形的边长；（3)在抛物线上是否存在异于b、c的点m，使mbc中bc边上的高为?若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）oa：ob=1：5，ob|=|oc|,设oa=m，则ob=oc=5m,ab=6m，由abc=12aboc=15,得126m5m

10、=15，解得m=1（舍去负值），a（1,0），b(5，0),c（0，5)，设抛物线解析式为y=a（x+1）(x5)，将c点坐标代入，得a=1，抛物线解析式为y=(x+1）（x5)，即y=x24x5；（2)设e点坐标为（m，m24m5),抛物线对称轴为x=2，由2(m2）=eh，得2（m2）=(m24m5)或2（m2)=m24m5,解得m=110或m=310， m2，m=1+10或m=3+10，边长ef=2（m2)=2102或210+2；（3）存在由（1）可知ob=oc=5，obc为等腰直角三角形，直线bc解析式为y=x5，依题意,直线y=x+9或直线y=x19与bc的距离为72，联立&y=x+

11、9&y=x24x5，&y=x19&y=x24x5，解得&x=2&y=7或&x=7&y=16，m点的坐标为（2,7），(7,16）6、（09綦江)如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为,过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结(1）求该抛物线的解析式；（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为,连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求

12、出最小值及此时的长xymcdpqoab解：(1）抛物线经过点，二次函数的解析式为:（2）为抛物线的顶点过作于,则，xymcdpqoabneh当时，四边形是平行四边形当时，四边形是直角梯形过作于，则（如果没求出可由求)当时，四边形是等腰梯形综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形（3）由（2）及已知，是等边三角形则过作于，则=当时，的面积最小值为此时二、能力提升1、(2011菏泽）如图，抛物线y=12x2+bx2与x轴交于a,b两点，与y轴交于c点，且a(1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点d的坐标;(2)判断abc的形状，证明你的结论；（3)点m（m，0)是x轴上

13、的一个动点，当mc+md的值最小时，求m的值解：(1）把点a（1,0）的坐标代入抛物线的解析式y=12x2+bx2，整理后解得b=32,所以抛物线的解析式为y=12x232x2(2分）顶点d（32，258）;(3分)(2）ab=5ac2=oa2+oc2=5,bc2=oc2+ob2=20,ac2+bc2=ab2，abc是直角三角形(6分）（3）作出点c关于x轴的对称点c，则c（0，2)，oc=2连接cd交x轴于点m,根据轴对称性及两点之间线段最短可知，mc+md的值最小设抛物线的对称轴交x轴于点e,comdemomem=oced，m32m=2258， m=2441（10分)点评：本题着重考查了待

14、定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质,关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形2。(2010孝感）如图（1)，矩形abcd的一边bc在直角坐标系中x轴上，折叠边ad,使点d落在x轴上点f处，折痕为ae,已知ab=8，ad=10，并设点b坐标为（m，0），其中m0。（1)求点e、f的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接oa，若oaf是等腰三角形,求m的值; （3）如图（2),设抛物线y=a(xm6)2+h经过a、e两点,其顶点为m，连接am，若oam=90，求a、h、m的值. 解：（1)四边形abcd是矩形，ad=bc=10，ab=cd=8

15、，d=dcb=abc=90.由折叠对称性：af=ad=10，fe=de。在rtabf中，bf=。fc=4。在rtecf中，42+(8-x）2=x2，解得x=5。ce=8x=3.b(m，0），e(m+10,3）,f(m+6，0）.（2）分三种情形讨论:若ao=af，abof，ob=bf=6.m=6.若of=af，则m+6=10，解得m=4。若ao=of，在rtaob中，ao2=ob2+ab2=m2+64，（m+6)2= m2+64，解得m=.综合得m=6或4或。（3)由(1）知a（m，8),e（m+10，3）。依题意，得，解得m(m+6，1）。设对称轴交ad于g。 g（m+6,8），ag=6，g

16、m=8（1）=9.oab+bam=90，bam+mag=90， oab=mag。又abo=mga=90, aobamg。 ，即. m=12。3（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系oxy中，已知点a(,0)，点c（0，3)，点b是x轴上一点(位于点a的右侧)，以ab为直径的圆恰好经过点c（1）求acb的度数；（2）已知抛物线yax2bx3经过a、b两点,求抛物线的解析式；（3）线段bc上是否存在点d,使bod为等腰三角形若存在,则求出所有符合条件的点d的坐标；若不存在，请说明理由解： （1） 以ab为直径的圆恰好经过点c acb=（2) aocabc a（，0),点c（0，3), b(4,

17、0) 把 a、b、c三点坐标代入得 (3） od=ob ， d在ob 的中垂线上，过d作dhob,垂足是h 则h 是ob 中点。dh= d bd=bo 过d作dgob,垂足是g og：ob=cd：cb dg:oc=1：5 og:4=1:5 dg：3=1:5 og= dg= d(,)3、（09柳州）如图11，已知抛物线（)与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点c，顶点为d(1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点a的坐标；（2）以ad为直径的圆经过点c求抛物线的解析式；点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标 4、如图已知点a (-2，4)

18、和点b （1，0）都在抛物线上（1）求、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点a的对应点为a,点b的对应点为b，若四边形a abb为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线ab 的交点为点c,试在轴上找点d，使得以点b、c、d为顶点的三角形与相似bao1111xyab解:(1)根据题意,得： 解得 （2）四边形a abb为菱形，则a a=bb= ab=5 = 向右平移5个单位的抛物线解析式为 （3)设d(x，0)根据题意，得:ab=5， a=b ba ybao1111xcbd） abcbcd时，abc=bcd ，bd=6x, 由 得 解得x=3， d（3,0）abcbdc时, 解得 5、（2011河北）如图，在平面直角坐标系中,点