332简单线性规划最终版教程

1、x,y,o,复习,1,直线的截距,注意：截距不是距离，有正负,y=x+1,y= -x+3,横截距：直线与,X,轴,交点横坐标,纵截距：直线与,Y,轴,交点纵坐标,复习,2,在同一坐标系上作出下列直线,2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7,0,2,0,2,平行,的直线与,形如,结论,y,x,t,t,y,x,x,Y,o,观察图像：形如,2x+y=t,t0,的直线有什么特,点,复习,二元一次不等式（组）表示平面区,域的方法,O,x,y,1,1,x+y-1=0,x+y-10,x+y-10,3,二元一次不等式组,表示的平面区域是各个不,等式表示的平面区域的交,集，即各个

2、不等式表示的,平面区域的公共部分,1,直线定界,Ax+By+C=0,注意实线和虚线的区别,2,特殊点定域：一般的,选取原点,0,0,问题,1,某工厂用,A,B,两种配件生产甲,乙两种产品,每,生产一件甲种产品使用,4,个,A,配件耗时,1h,每生产一件乙,种产品使用,4,个,B,配件耗时,2h,该厂每天最多可从配件厂,获得,16,个,A,配件和,12,个,B,配件,按每天工作,8,小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么,8,2,1,所需时间,12,4,0,B,种配件,16,0,4,A,种配件,资源限额,乙产品,1,件,甲产品,1,件,资,源,分析：把问题,1,的有关数据列表表示如下,设甲,乙

3、两种产品分别生产,x,y,件,2,8,4,16,4,12,0,0,x,y,x,y,x,y,将上面不等式组表示成平面上的区域,设甲,乙两种产品分别生产,x,y,件,由己知条件可得,y,4,8,4,3,o,区域内所有坐标为整数的点,P(x,y,安排生,产任务,x,y,都是有意义的,思考,若生产,1,件甲种产品获利,2,万元,生产,1,件乙,种产品获利,3,万元,采用哪种生产安排利润最大,若设利润为,z,则,z=2x+3y,这样上述问题转化为,当,x,y,在满足上述约束条件时,z,的最大值为多,少,分析：设,甲,乙两种产品分别生产,x,y,件,则利润可以表示为,2x+3y,2,3,2,z,2,把,z

4、=2x+3y,变形为,y,x,这是斜率为,3,3,3,z,在,y,轴上的截距为,的一族与,y,x,平行直线,3,z,求截距,的最值,即可得,z,的最值,3,z=2x+3y,表示与,2x+3y=0,平行的一组直线,2,8,4,16,4,12,0,0,x,y,x,y,x,y,问题,求利润,z=2x+3y,的最大值,14,3,2,2,4,max,Z,转化为,求直线,的截距,的最,大值,2,3,3,z,y,x,3,z,0,x,y,4,3,4,8,2,3,y,x,M,4,2,1,4,2,y,x,2,8,4,16,4,12,0,0,x,y,x,y,x,y,象这样关于,x,y,一次不等,式组的约束条件称为,

5、线性约束,条件,Z=2x+3y,称为目标函数,因这里,目标函数为关于,x,y,的一次式,又,称为,线性目标函数,在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统,称为,线性规划,满足线性约束的解,x,y,叫做,可行解,所有可行解组成的集合叫做,可行域,使目标函数,取得最值,的可行解叫做这个,问题的,最优解,变式,若生产一件甲产品获利,1,万元,生产一件乙产品获利,3,万元,采用哪种,生产安排利润最大,2,8,4,16,4,12,0,0,x,y,x,y,x,y,0,x,y,4,3,4,8,1,3,3,z,y,x,N,2,3,1,4,2,y,x,变式,求利润,z=x+3y,的最大值,max,2,3,3,1

6、1,z,解线性规划问题的步骤,2,移：在线性目标函数所表示的一组平行线,中，利用平移的方法找出与可行域,有公共点且纵截距最大或最小的直线,3,求：通过解方程组求出最优解,4,答：作出答案,1,画：画出线性约束条件所表示的可行域,练习,解下列线性规划问题,1,求,z=2x+y,的最值，使式中的,x,y,满足约束条件,1,1,y,y,x,x,y,x,O,y,A,B,C,y=x,x+y=1,y=-1,2x+y=0,1,1,y,y,x,x,y,B:(-1,-1,C:(2,-1,Zmin=-3,Zmax=3,目标函数,Z=2x+y,线性规划,问题,设,z,2,x,3,y,式中变量满足,下列条件,求,z,

7、的最大值与最小值,目标函数,线性目标函数,线性约,束条件,任何一个满足,不等式组的,x,y,可行解,可行域,所有的,最优解,线性规,划问题,2,8,4,16,4,12,0,0,x,y,x,y,x,y,解决线性规划问题的步骤,画,画出线性约束条件所表示的可行域,答,做出答案,求,根据观察的结论，先求交点的坐标，再,求出最优解,移,在目标函数所表示的一组平行线（与目标函,数中,z=0,平行）中，利用平移的方法找出与可行域,有公共点且纵截距最大或最小的直线,小结,小,结,本节主要学习了线性约束下如何求目,标函数的,最值问题,正确列出变量的不等关系式,准确,作出,可行域,是解决目标函数最值的关健,线性

8、目标函数的最值一般都是在可行域,的,顶点或边界,取得,把目标函数转化为某一直线,其斜率与,可行域边界所在直线,斜率的大小关系,一定要,弄清楚,体验,二,最优解,一般在可行域的,顶点,处取得,三、在哪个顶点取得不仅与,B,的符号有关,而且还与直线,Z=Ax+By,的,斜率,有关,一,先定,可行域和平移方向，再找最优解,3,2,利润,万元,8,2,1,所需时间,12,4,0,B,种配件,16,0,4,A,种配件,资源限额,乙产品,1,件,甲产品,1,件,资,源,把问题,1,的有关数据列表表示如下,设甲,乙两种产品分别生产,x,y,件,0,x,y,4,3,4,8,y,4,8,4,3,o,M,0,x,

9、y,4,3,4,8,2,3,3,z,y,x,M,4,2,1,4,2,y,x,y,4,8,4,3,o,M,2x+3y=0,x,y,o,简单的线性规划问题（二,一,复习概念,y,x,4,8,4,3,o,把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为,它是关于变量,x,y,的一次解析式,又称线性目标函数,满足线性约束的解,x,y,叫做可行解,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值,问题，统称为,线性规划问题,一组关于变量,x,y,的一次不等式，称为,线性约束条件,由所有可行解组成,的集合叫做可行域,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做,这个问题的最优解,可行域,可行解,最优解,二,回顾,

10、解线性规划问题的步骤,2,移,在线性目标函数所表示的一组平行线,中，利用平移的方法找出与可行域有,公共点且纵截距最大或最小的直线,3,求,通过解方程组求出最优解,4,答,作出答案,1,画,画出线性约束条件所表示的可行域,练习,解下列线性规划问题,1,求,z=2x+y,的最大值，使式中的,x,y,满足约束条件,1,1,y,y,x,x,y,x,O,y,A,B,C,y=x,x+y=1,y=-1,2x+y=0,1,1,y,y,x,x,y,B:(-1,-1,C:(2,-1,Zmin=-3,Zmax=3,目标函数,Z=2x+y,例,2,一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产,1,车,皮甲种肥料的主要原料是

11、磷酸盐,4t,硝酸盐,18t,生产,1,车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐,1t,硝酸盐,15t,现库存磷酸盐,10t,硝酸盐,66t,在此基础上生,产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料,各多少车皮，能够产生最大的利润,解：设,x,y,分别为计划生产甲、乙两种混合,肥料的车皮数，于是满足以下条件,x,y,o,4x,y,10,18x,15y,66,x,0,y,0,解,设生产甲种肥料,x,车皮、乙种肥料,y,车皮,能够产生利润,Z,万元。目标函数为,Z,x,0.5y,可行域如图,把,Z,x,0.5y,变形,为,y,2x,2z,它表示斜率,为

12、,2,在,y,轴上的截距为,2z,的一组直线系,x,y,o,由图可以看出，当直线经过,可行域上的点,M,时,截距,2z,最大，即,z,最大,答,生产甲种、乙种肥料各,2,车皮，能够产生最大利,润，最大利润为,3,万元,M,容易求得,M,点的坐标为,2,2,则,Z,max,3,3,制定投资计划时，不仅要考虑可能获得,的盈利，而且要考虑可能出现的亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据,预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为,100和50，可能的最大亏损率分别为,30和10. 投资人计划投资金额不超过,10,万元，要求确保可能的资金亏损不超过,1.8,万,元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少,

13、万元，才能使可能的盈利最大,解题回顾,要能从实际问题中，建构有关线,性规划问题的数学模型,关键求出,约束条件和目标函数,解：设投资方对甲、乙两个项目各投资,x,y,万元,依题意线性约束条件为,0,0,18,3,10,y,x,y,x,y,x,目标函数为,y,x,Z,5,0,作出可行域,可知直线,Z=x+0.5y,通过点,A,时利润最大,由,6,4,18,3,10,y,x,y,x,y,x,6,4,A,7,5,0,6,4,max,Z,万元,答,练习题,1,某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分,别为,3000,元,2000,元，甲、乙产品都需要在,A,B,两,种设备上加工，在每台,A,B,上加

14、工,1,件甲所需工时分别,为,1h,2h,加工,1,件乙所需工时分别为,2h,1h.A,B,两,种设备每月有效使用台时数分别为,400h,和,500h,如何,安排生产可使收入最大,解,设每月生产甲产品,x,件，生产乙产品,y,件，每月收,入为,Z,千元，目标函数为,Z,3x,2y,满足的条件是,x,2y,400,2x,y,500,x,0,y,0,Z,3x,2y,变形为,它表示斜率为,的直线系,Z,与这条直线的截距有关,2,2,3,z,x,y,2,3,X,Y,O,400,200,250,500,当直线经过点,M,时，截距最大,Z,最大,M,解方程组,500,2,400,2,y,x,y,x,可得,

15、M,200,100,Z,的最大值,Zmax,3x,2y,800,千元,故生产甲产品,200,件,乙产品,100,件，收入最大,为,80,万元,小,结,二元一次不等式,表示平面区域,直线定界,特殊点定域,简单的线性规划,约束条件,目标函数,可行解,可行域,最优解,应,用,求解方法：画,移、求、答,作,业,课本,P106 4,x,y,o,简单的线性规划问题（三,复习回顾,二元一次不等式,表示平面区域,直线定界,特殊点定域,简单的线性规划,约束条件,目标函数,可行解,可行域,最优解,应,用,求解方法：画,移、求、答,例,要将两种大小不同规格的钢板截成,A,B,C,三种规格，每张钢板可同时截得三种,规

16、格的小钢板的块数如下表所示,规格类型,钢板类型,第一种钢板,第二种钢板,A,规格,B,规格,C,规格,2,1,2,1,3,1,今需要,A,B,C,三种规格的成品分别为,15,18,27,块，问各截这两种钢板多少张可得所需三,种规格成品，且使所用钢板张数最少,解：设需截第一种钢板,x,张、第二种钢板,y,张，可得,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,2,x+y,15,x+2,y,18,x+3,y,27,x,0, x,N,y,0 y,N,经过可行域内的整点,B(3,9,和,C(4,8,且和原点距,离最近的直线是,x+y=12,它们是最优解,答,略,作出一组平行

17、直线,z= x+y,目标函数,z=x+y,B(3,9,C(4,8,A(18/5,39/5,打网格线法,在可行域内打出网格线,当直线经过点,A,时,z=x+y=11.4,但它不是最优整数解,将直线,x+y=11.4,继续向上平移,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,直线,x+y=12,经过的整点是,B(3,9,和,C(4,8,它们是最优解,作出一组平行直线,z,x+y,目标函数,z = x+y,B(3,9,C(4,8,A(18/5,39/5,当直线经过点,A,时,z=x+y=11.4,但它不是最优整数解,作直线,x+y=12,x+y=12,解得,交点,B,C,的坐标,B(3,9,和,C(4,8,调整优值法,2,x+y,15,x+2,y,18,x+3,y,27,x,0, x,N,y,0 y,N,x,0,y,1,线性规划的讨论范围,教材中讨论了,两个变量的线性规划问题，这类问题可,