6 4微分方程应用汇总

1、6.4,微分方程应用实例,许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系,但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的,得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众,多领域都有非常重要的应用,用微分方程寻求实际问题中未知函数的,一般步骤,分析问题，建立微分方程，确定初始条件,求出微分方程的通解,由初始条件确定通解中任意常数，得方程相应,的特解，即为所求函数,一、嫌疑犯问题,受害者的尸体于晚上,7,30,被发现。法医于晚上,8,20,赶到凶案现场，测得尸体体温为,32.6,一小时后,当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为,31.4,室温在,几小时内始终保持,21.1,此案最大的嫌疑犯是张某

2、,但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一,直在办公室上班,5,00,时打了一个电话，打完电话后,就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案,现场）步行需,5,分钟，现在的问题：是张某不在凶案现,场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外,37,37,4,31,1,6,32,0,20,8,被排除在嫌疑犯之外,嫌疑犯之外，否则不能,则他可被排除在,如果此时张某在办公室,时刻,的,间，也就是求,要确定受害者死亡的时,是正常的，即,假设受害者死亡时体温,为，则,并记晚,设表示时刻尸体的温度,解,d,T,C,t,T,C,T,C,t,C,T,人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能,消失，尸

3、体的温度受外界温度的影响。假定尸体温度的变,化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体,温度与室温的差，即,t,k,kt,e,t,T,k,e,T,C,C,T,Ce,t,T,k,t,k,dt,dT,110,0,5,11,1,21,110,0,103,115,ln,4,31,5,11,1,21,1,5,11,6,32,1,21,1,1,21,1,21,于是,所以,又因为,所以,因为,此微分方程的通解为,可分离变量的微分方程,为常数，这是一个一阶,其中,嫌疑犯之外,在,因此张某不能被排除,在下午,即被害人死亡时间大约,分,小时,分,小时,分,小时,所以,分,小时,小时,所以,时，有,当,23

4、,5,23,5,57,2,20,8,57,2,95,2,37,5,11,1,21,37,110,0,d,t,T,t,e,C,T,变化规律,间,随时,量,盐水，试求容器内含盐,的速度抽出混合均匀的,淡盐水，同时以,的速度注入的,公斤，现以,公斤盐水，内含食盐,设容器内有,二。含盐量问题,t,x,L,L,kg,L,min,2,01,0,min,2,10,100,t,t,t,x,t,x,t,t,t,x,t,t,t,t,x,t,t,dx,t,x,x,x,t,t,t,x,x,t,x,x,t,x,d,2,2,3,100,d,3,01,0,d,d,2,2,3,100,d,2,3,100,d,3,01,0,d

5、,d,d,于是可得方程,公斤,的盐量为,近似看作不变，故抽出,的时间间隔内浓度可以,到,时刻盐水的浓度为,公斤），由于,注入盐水中所含盐量为,抽出盐水中所含盐量,注入盐水中所含盐量,量为,时间内，含盐量的改变,注意到在,变到,时间间隔内，含盐量从,到,考虑从时刻,用方法,微分方程的一种常,微元分析法，这是建立,的分析得出微分方程的,增量,的微小,我们采用通过对,的变化规律,随时间,为了求出含盐量,解,2,4,4,2,100,10,9,100,01,0,10,9,100,100,01,0,10,0,03,0,100,2,t,t,x,t,x,C,t,C,t,t,x,x,x,t,dt,dx,规律为,

6、的变化,随时间,所以容器内含盐量,有初值条件可得,的通解,可得此方程,程，且有初值条件,这是一阶线性非齐次方,或,本章小结,一,可分离变量的方程,1,分离变量,2,两端积分,隐式通解,解法,分离变量法,dx,x,f,dy,y,g,一,基本概念,微分方程,微分方程的阶,微分方程的解,通解,初始条件,特解,常微分方程,线性微分方程,常系数线性微分方程,线性相关,可分离变量的方程,线性无关,齐次线性方程,非齐次线性方程,特征方程,特征根,二,基本公式和方法,回顾本章知识内容,2,线性非齐次方程,dx,x,P,e,x,C,y,令,1,齐次的方程,dx,x,P,Ce,y,解法,常数变易法,0,的,通,解

7、,为,y,x,P,dx,dy,x,Q,y,x,P,dx,dy,C,dx,e,x,Q,e,y,dx,x,P,dx,x,P,通解为,三,一阶线性方程,二）齐次方程,x,y,f,dx,dy,解法,作变换,u,x,y,解法,x,P,y,令,特点,y,不显含未知函数,2,y,x,f,y,型,1,x,f,y,n,型,解法,代入原方程,得,x,P,x,f,P,dx,dP,x,P,y,y,P,y,令,特点,x,不显含自变量,3,y,y,f,y,型,解法,代入原方程,得,P,y,f,dy,dp,P,dy,dp,P,y,四,可降阶的高阶微分方程,解法,降阶法,接连积分,n,次，得通解,五,二阶线性微分方程解的性质

8、,0,y,x,q,y,x,p,y,2,2,1,1,y,C,y,C,y,通解为,x,f,y,x,q,y,x,p,y,2,2,1,1,y,y,C,y,C,y,通解为,六,二阶常系数齐次微分方程,解法,特征方程法,0,2,q,pr,r,0,为常数,q,p,qy,y,p,y,特征根的情况,通解的表达式,实根,2,1,r,r,实根,2,1,r,r,复根,i,r,2,1,x,r,x,r,e,C,e,C,y,2,1,2,1,x,r,e,x,C,C,y,2,2,1,sin,cos,2,1,x,C,x,C,e,y,x,七,二阶常系数非齐次线性微分方程,x,f,qy,y,p,y,型,1,x,P,e,x,f,m,x

9、,解法,待定系数法,x,Q,e,x,y,m,x,k,设,是,特,征,重,根,是,特,征,单,根,不,是,特,征,根,2,1,0,k,型,sin,cos,2,x,B,x,A,e,x,f,x,sin,cos,x,D,x,C,e,x,y,x,k,设,1,0,是,特,征,方,程,的,单,根,时,不,是,特,征,方,程,的,根,时,i,i,k,基本概念,一阶方程,类,型,1,直接积分法,2,可分离变量,3,齐次方程,4,线性方程,可降阶方程,线性方程,解的结构,定理,1,定理,2,定理,3,二阶常系数线性,方程解的结构,二阶常系数线,性齐次方程的解,f(x,的形式及,二阶常系数非齐次,线性方程的解,二阶

10、方程,待,定,系,数,法,特征方程法,本章主要内容,例,1,求微分方程,的通解,0,y,y,解,分离变量,dx,y,dy,dx,y,dy,两边积分,0,y,dx,dy,因,1,ln,C,x,y,1,C,x,e,y,x,C,e,e,y,1,为任意常数,C,Ce,y,x,另解,特征方程法,0,y,y,因为,所对应的特征方程为,r+1=0,特征根,r= -1,为所求通解,为任意常数,C,Ce,y,x,解,三,代,公,式,例,2,求微分方程,的通解,x,y,y,sin,解一,齐次方程的通解为,因该方程对应的齐次方程,的特征方程为,0,y,y,0,1,2,r,特征根为,i,r,i,r,2,1,x,C,x

11、,C,Y,sin,cos,2,1,又因为,sin,sin,0,x,e,x,y,y,1,0,其中,i,i,恰是特征单根,故设特解为,sin,cos,x,B,x,A,x,y,代入原方程得,0,2,1,B,A,x,x,y,cos,2,1,所求通解为,x,x,x,C,x,C,y,Y,y,cos,2,1,sin,cos,2,1,解二,该方程对应的齐次方程,的,通解为,x,C,x,C,Y,sin,cos,2,1,0,y,y,因为该方程的自由项,f(x)=sinx,为,的虚部,ix,e,可设辅助方程,0,i,e,e,y,y,ix,x,由于,恰是特征方程,特征单根,0,1,2,r,i,设,为,的一个特解,ix,p,Axe,y,将其代入,整理得,1,2,iA,2,i,A,即,ix,p,Axe,y,ix,xe,i,2,sin,cos,2,x,i,x,x,